微分中值定理及其应用31

1、吉首大学本科生毕业论文微分中值定理及其应用陈 锋（吉首大学数学与统计学院， 湖南 吉首 416000） 摘 要：微分中值定理是数学分析中非常重要的基本定理, 它是沟通函数与其导数的桥梁.本文以例题形式综合、总结了微分中值定理在求极限、证明不等式以及确定根的存在性等几个方面的应用,以加深对微分中值定理的理解. 关键词：微分中值定理；拉格朗日中值定理；泰勒公式.The Differential Mean-value Theorem and It ApplicationChen Feng(College of Mathematics and Statistical Institute, Jishou

2、 University,Jishou Hunan,416000)Abstract：The mid-value theorems is very important in mathematics analysis, it is the basic theorem communication function of the relationship between its derivative bridges. This paper introduced the case form mid-value theorem in the mathematical analysis, this paper

3、 discusses the application of mid-value theorem in the limit, proof inequality; and determine the existence of root from several aspects such as the application to deepen the understanding of differential mid-value theorem. Key Words: Differential mean value theorem in ；Lagrange；Taylor formula. 1 引言

4、 导数是刻画函数在某一点变化率的数学模型，它所反映的是函数在一点处的局部变化性态，但在理论研究和实际应用中，常常需要把握函数在某区间上的整体变化性态，那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何种关系，微分中值定理正式对这一问题的理论诠释.微分中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系.微分中值定理既是利用微分学知识解决应用问题的数学模型，又是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型，是微分学的基本定理，在数学分析中占有重要的地位，是研究函数在某个区间的整体性质的有力工具.其中，拉格朗日定理是核心，罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是其推广.本文以例题形综合、总结了微分中值

5、定理在求极限、证明不等式以及确定根的存在性等几个方面的应用,以加深对微分中值定理的理解.其中证明某区间上满足一定条件的中值点的存在性问题，是微分中值定理的重要应用，也是本文探讨的重点.充分理解并掌握微分中值定理的相关知识，能够利用微分中值定理解决实际应用问题.2 预备知识 由于微分中值定理与连续函数紧密相关，因此有必要介绍一些闭区间上连续函数的性质、定理.定理2.11(有界性定理) 若函数在闭区间上连续，则在有界.即常数,使得有.定理2.21 (最大值、最小值定理) 若函数在闭区间上连续，则在上有最大值与最小值.定理2.31(介值定理) 设函数在闭区间上连续，且若为介于与之间的任意实数(或)，

6、则至少存在一点使得.3 相关的几个重要定理定理3.12(费马定理) 设在的某领域内有定义,且在点可导，若为的极值点，则必有定理3.22(罗尔定理) 若函数满足如下条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3）,则在内至少存在一点,使得定理3.32(拉格朗日中值定理) 若函数满足如下条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；则在内至少存在一点,使得定理3.42(柯西中值定理)设函数和满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3）和不同时为零；（4）,则存在，使得定理3.52(泰勒公式) 若在上有直到阶连续导数，在区间存在阶导数，则,有4 微分中值定理的应用4.1证明等

7、式例1 设函数在()上连续，在上可导，证明：存在使得.证明：设，显然它在上与都满足柯西中值定理条件，故存使 整理得例23 设在上有三阶导数，且，设，试证在内至少存在，使得证明：由题设可知, 在上存在，又,由罗尔中值定理，使得又，可知在满足罗尔中值定理,于是，使得又对存在使4.2证明不等式不等式是数学中的重要内容和工具.在微分学中,微分中值定理在证明不等式中起着很大的作用.主要体现在两个方面：(1)已知函数导数利用拉格朗日定理证明涉及函数（值）的不等式.(2)已知函数的高阶导数利用泰勒公式，证明涉及函数（值）或低阶导函数（值）的不等式.例 3 证明不等式 证明：令,则在上满足中值定理的条件,所以

8、至少存在一点，使得 例 4 证明当时，有.分析：要证成立，只要证 成立，只要证 成立， 证明：在上定义函数，由在上连续，在内可导,且,于是，即成立.知成立，即成立，所以成立.小结：利用拉格朗日中值定理证明不等式其步骤为：第一步：根据特征不等式构造一个合适的函数，使不等式的一边是函数在区间上的增量；第二步：验证在上满足拉格朗日中值定理的条件，并应用定理使得等式的另一边转化为；第三步：把适当放大或缩小.4.3求极限对于某些求极限的问题,当使用洛必达法则求极限计算量较大时,微分中值定理则为求这样一些较难的极限提供了一种简单有效的方法.选择适当的函数和区间利用拉格朗日中值定理并结合其导数的特点及极限的

9、迫敛性求得最终结果. 例 5 求,其中. 解：对应用拉格朗日中值定理,有= 其中.显然当时，结论也对.4.4 证明方程根的存在性例 64设且满足,证明方程在内至少有一个实根.证明： 引进辅助函数，显然，又是多项式函数，在上连续，在可导，满足罗尔中值定理的条件，故存在使而故方程在内至少有一个实根.4.5函数的单调例 75 证明：若函数在内可导，单调递增，且，则函数在也单调递增. 证明 : 对任意的，且，则在和均满足拉格朗日中值定理的条件，于是分别存在和，使，由于单调递增，且，所以，从而，即函数在也单调递增.证明函数为单调函数一般有两种方法：(1)利用函数单调的定义证明；(2)利用导函数来证明，若

10、在该区间上恒有则为单调增函数；若在该区间上恒有则有为单调减函数.4.6 中值点存在性问题4.6.1 一个中值点的情形4.6.1.1 原函数法例 8 设函数在上连续，在内可导，证明:在内至少存在一点，使得.证明：令，显然在上满足拉格朗日中值定理条件.于是知：在内至少存在一点，使 得，而，即得结论 .例 9 设函数,在上连续在内可导，证明：至少存在一点，使.分析：结论即要证明函数在内有零点，因结论中含有函数导数，故考虑利用罗尔定理，将变形为 ，即要证函数在内有零点，显然与的导数有相同的零点，于是可取原函数.证明：令,显然在上连续，在内可导，且，于是由罗尔定理知至少存在一点，使，而，故，又，于是.4

11、.6.1.2泰勒公式法例 106 设函数在闭区间上具有三阶连续导数，且，.试证：在开区间内至少存在一点，使.证明：由，得在处的二阶泰勒公式为 （介于0与之间，）.由题设知 ， ，两式相减，可得.又在区间连续，从而在上也连续，故在区间上有最大值和最小值.从而有，由介值定理知，至少存在一点，使得.小结：当题设中出现高阶导数（三阶或三阶以上的导数），可考虑使用泰勒公式证明中值点的存在性.4. 6. 2 两个中值点的情形例 11 函数在上连续，在可导，试证:存在，使得.证明:令,易知与在上连续,在可导且.由柯西中值定理知,存在，使得即 ，.而由拉格朗日中值定理知，存在，使得 .由以上两式得:存在，使

12、即 .4. 6. 3含中值点的积分等式的证明例12 设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使.分析：直接证明函数在内至少存在两个不同的零点比较困难，若令，而，故可证在内至少存在两个不同的零点.证明：设，则，.又，由积分中值定理知存在，使得.而时，故.在区间上分别使用罗尔定理，则存在，使得，. 即.例 13 设函数在上连续，且，试证：至少存在一点，使.分析：将结论变形为,容易看出对函数，在上使用柯西中值定理即可.证明：设，显然，在上满足柯西中值定理的条件，则至少存在一点，使得 即.5 总结本文讨论了罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理在证明方程根的存在性、不等式、等式、中值点存在性的应用等几个方面的应用. 微分中值定理是微分学中的基本定理，也是微分学的理论核心，有着广泛的应用.参考文献：1华东师范数学系编.数学分析M.北京：高等教育出版社，2001.2欧阳光中编.数学分析M.复旦大学出版社,2005年1月.3钱吉林.数学