周期性与对称性

1、精品文档函数之周期性与对称性的理解首先请大家辨析一下这几个等式关系：1) f (x) f(-x 2) =02) f (x) f (x 2) =03) f(x) = f (x 2)4) f (x)二 f(-x 2)5) f(x) f (_x 2) =26) f(x) f(x 2) =2以上6个等式，其中1)、4)、5)是在讲对称性，2)、3)、6)是在讲述周期性。在教学过程中，我们发现很多学生到高三了还无法自如地辨析，其实大家只需记住六字口诀就能加以辨析：“同周期、异对称”1)、4)、5)中x的系数相同，即为周期，2)、3)、6)中x的系数相异，即为对称，这样 我们就能迅速辨析哪些是在讲周期，哪

2、些是对称。那具体周期为多少？具体关于什么对称呢？这又是大家一个容易混淆的点。一、下面先讲对称问题的理解，以1)为例：f(x) f (-x 2) =0我们要从本质上理解这个等式：令第一个括号里的x = %，- x 2 = x2，则满足x1 x 2，即横坐标的和为2，那就意味着两个横坐标的中点为x =1。同样的，令f(x) = y1，f(-x，2) =y2，则满足yy2 =0，即这两个点的纵坐标和为零，那就意味着纵坐标互为相反数。那么如果现在我换种方式描述，我说两个点(为，)与(x2, y2)，满足x1 x 2，y1 y 0，那 我们就可以在平面直角坐标系中把这两个点的对称关系画出来了。由图1我们

3、可以很直观的看出来这两个点关于(1,0 )中心对称，这两个点都在y=f(x)上，从而整个1 A(X1.y1)(1.0)h010函数关于(1,0 )中心对称。同样的，我们分析 4),花+X2 = 2, % = y2，在图像上表示对称关系如下：a B两点关于x=1轴对称，那么以后遇到对称性问题，我们只需在脑海里画两个点，这样函数的对称性就 清晰了。B(x2,y2) 5A(X1Fy1) (1.0)巧01f5同理，我们来看一下 6), X! +X2 =2， yi +丫2 =2，在坐标系下表示两个点后，很容易理 解这个函数关于(1,1)中心对称。 A(X1Py1)(1-1)-10oB(x2sy2) 10

4、所以，我们f(x) f (-x 2) =0与f (x 99)f(-x-97) =0都是表示函数y=f(x)关于(1,0 )中心对称，抓住核心本质，x1 x 2，如 y2 = 0。现在大家再回过头来看几个常见的对称性结论，是不是觉得清晰多了呢？比如： 函数f (x)满足f (x a) = f (b - x)时，函数y = f (x)的图像关于直线a bx对称；2函数f (x)满足f ( a) f( b- x =时，函数y = f (x)的图像关于点(口 C对称；2 2、周期性周期性的证明都是“退一步海阔天空”3)这种类型很直观，周期为 2,2 )、6)属于同一种类型，都是和定型，周期为 4，具体

5、证明大家自己尝试一下，常见的周期性模型也请大家自 己去总结，这个一般的参考书上都有。重要的是它的证明，请大家自己多思考。三、周期性与对称性结合真正让周期和对称结合起来的三个结论很重要，在这里加以阐述1. 如果函数 y=f(x)同时关于(a,0 )、( b,0 )中心对称，那么这个函数的最小正周期为T =2b-a证明：函数关于(a,0)中心对称，则f (_x) f (x 2a) = 0，同理f (_x) f (x 2b) = 0 , 两式相减，得 f(x+2a) = f (x +2b)，从而 T =2b a下面请大家自行证明下面两个结论：2. 如果函数y=f(x)同时关于x=a、x=b轴对称，那

6、么这个函数的最小正周期为T=2b-a3. 如果函数y=f(x)同时关于(a,0 )中心对称，x=b轴对称，那么这个函数的最小正周期为T =4b -a。下面给两个练习让大家熟悉一下：已知定义在 R上的函数 f (x)满足 f(-x)二-f(x)，f(3-x)二 f(x)，则 f(2019)=()A. -3B . 0 C . 1 D . 333定义在R上的奇函数f(x)，对于-xR，都有f( x)=f( x)，且满足f(4) -2 ,443f(2)，则实数 m的取值范围是 .m另外提供一个思考点：对于函数y=f(x)，如果满足f (x 1) = f(-x-1),那么函数f (x)关于y轴对称那么现在请问：y = f