勾股定理的证明及其应用

1、勾股定理的证明及其应用第一章 前言勾股定理是几何学中的明珠， 所以它充满魅力， 千百年来， 人们对它的证明 趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有 尊贵的政要权贵， 甚至有国家总统。 也许是因为勾股定理既重要又简单， 更容易 吸引人，才使它成百次地反复被人研究，反复被人论证。1940年出版过一本名 为毕达哥拉斯命题的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明 方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余 种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。 这是任何定理的证 明无法比拟的。在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的

2、十分简洁，有的因 为证明者身份的特殊而非常著名。在国外，尤其在西方， 勾股定理通常被称为毕达哥拉斯定理 这是由于他们 认为最早发现直角三角形具有 “勾2+股2=弦2”这一性质并且最先给出严格证明的 是古希腊的数学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580公元前500）实际上，在更早期的人类活动中， 人们就已经认识到这一定理的某些特例 除 我国在公元前1000多年前发现勾股定理外， 据说古埃及人也曾利用 “勾三股四弦 五”的法则来确定直角但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑比如，美 国的数学史家M克莱因教授曾经指出： 我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥 拉斯定理我们知道他们有拉绳人（测

3、量员），但所传他们在绳上打结，把全长 分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文 件上得到证实”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的 古巴比伦的泥版书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题： “一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角 有多远？ ”这是一个三边为3:4:5三角形的特殊例子； 专家们还发现，在另一块版 板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共 记载着15组勾股数这说明，勾股定理实际上早已进入

4、了人类知识的宝库勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一。 例如从勾股定理出发逐渐 发展了开平方、 开立方；用勾股定理求圆周率。 据称金字塔底座的四个直角就是 应用这一关系来确定的至今在建筑工地上，还在用它来放线，进行“归方”， 即放“成直角”的线。正因为这样，人们对这个定理的备加推崇便不足为奇了。1955年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成。这张邮票是纪念二 千五百年前希腊的一个学派和宗教团体 毕达哥拉斯学派， 它的成立以及在 文化上的贡献。邮票上的图案是对勾股定理的说明。希腊邮票上所示的证明方法， 最初记载在欧几里得的几何原本里。尼加拉瓜在1971年发行了一套十枚的纪念邮票，主

5、题是世界上“十个最重 要的数学公式”，其中之一便是勾股定理。2 ABCD是 一个直角梯形，它的面积等于2第二章勾股定理的证明1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散 步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么， 时 而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去， 想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着 一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说： 请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和

6、4,那么斜边长为多少呢？ ” 伽菲尔德答道：是5呀。”小男孩又问道：如果两条直角边长分别为5和7,那 么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不假思索地回答道：那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说：先生，你能说出其中的道 理吗？ ”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。于是，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终 于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。勾股定理几种引人入胜的证明方法总统证法以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三-ab角形的面积等于 2.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A

7、、E、B三点在一条直线上 RtEAD也RtCBE, / ADE = / BEC. / AED + / ADE = 90o, / AED + / BEC = 90o. / DEC = 180o 90o= 90 o.DEC是 一个等腰直角三角形，12C它的面积等于 2.又 /DAE = 90o,/EBC = 90o, AD/BC.12c112a b 2 ab c2 2 2.2 .2 2a b c .点评：这一证明由于用了梯形面积公式，从而使证明相当简洁。人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为 “总统”证法。2.2在拼合中发现与验证例1、如图是用硬纸板做成的四个全等的

8、直角三角形，两直角边长分别是a，b，斜边长为 c 和一个边长为 c 的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.(1) 画出拼成的这个图形的示意图.(2) 证明勾股定理.思路点拨：由图片可知直角三角形的斜边 与正方形的边长相等，得出它们将互相重合， 通过操作发现，四个直角三角形可能在正方形 的外部，也可能拼在正方形的内部，从而得到 两种拼法，并借助面积法进而可验证出勾股定 理。解析：方法一解：(1)如图(2)证明：大正方形的面积表示为(a b)2,212 21大正方形的面积也可表示为 c24 ab,(a b)2c24 ab，2 2a2b22ab c22ab，a2b2c2.即直角三角形两直

9、角边的平方和等于斜边的平方.方法二解：(1)如图(2)证明：大正方形的面积表示为：c2，又可以表示为:12 212 2 2ab 4 (b a),c ab 4 (b a) ， c 2ab b 2ab 2 2c2a2b2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.点评： 品味各种拼图， 方法各异， 妙趣横生， 证明思路别具匠心, 极富创新。它们充分运用了几何图形的截、害IJ、拼、补来证明代数式之间的恒等 关系，既具严密性，又具直观性，深刻体现了形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特魅力。c2S2S3S4S5b2S1S2S6a S3S7S1S5S4S6S7b2S3S7SS2S6中国清代数学家

10、的证法2.3陈杰证法中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的 贡献和地位。尤其是其中体现出来的的思想方法，更具有科学创新的重大意义。 事实上，“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。 正如当 代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是 形影不离地比肩发展着的。十七世纪笛卡尔解析几何的发明，正是中国这种 传统思想与方法在几百年停顿后的重现与接续。”陈杰清末数学家、天文学家。我们看看我国的数学家是怎么证明的。设直角二角形两直角边的长分别为a、b（ba），斜边的长为c.做两个边长 分别为a、b的正方形（ba），把它们拼成如图所示形

11、状，使E、H、M三点在一 条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b上截取ED = a，连结DA DC贝U AD = c. EM = EH + HM = b + a , ED = a， DM = EM ED =b aa = b.又 /CMD = 9G0,CM = a，/AED = 90o，AE = b， RtAED也RtDMC. /EAD =/MDC DC = AD = c. /ADE +/ADC+/MDC =180，6/ADE +/MDC =/ADE +/EAD = 90o,EbDa/ADC = 90o.作AB/ DC CB/ DA贝U ABCD!一个边长为c的正方形. /BAF

12、 +/FAD =/DAE +/FAD = 90o， /BAF=/ DAE.连结ABF和A ADE中, AB =AD = c，AE = AF = b，/BAF/DAE A ABF也A ADE. / AFB =/AED = 90o，BF = DE = a.点B F、G H在一条直线上.在RtAABF和RtABCG中AB = BC = c，BF = CG = a，RtAABF也RtABCG.BdThxs,jrc5 /4F/c7=S2S3S1S6S7=S2S3S4S52=c2 . 2 2a b c.2.4我们当代教材运用的证法2.4.1利用相似三角形性质证明做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长

13、分别为a、b，斜边长为c， 再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等.即2 2121a b 4 ab c 4 ab22222，整理得 a b c.如图，在RtABC中，设直角边AC为c,过点C作CD!AB垂足是D.在AADCW ACB中, / ADC = / ACB = 90o,/CAD =/BACAADCs AACB.AD：AC = AC:AB2即 AC AD ? AB.同理可证，ACDBs AACB从而有2 2-AC BC AD DB ? ABBC的长度分别为a、b,斜边AB的长BC2AB2，即a2

14、b2BD ? AB2c242我们还可以用所学过的相关圆的一些定理来证明在RtABC中，设直角边BC = a,AC = b，斜边AB = c.如图，以B为圆 心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D E,则BD = BE = BC = a.因 为/BCA = 90o，点C在。B上，所以AC是。B的切线.由切割线定理，得AC2AE ? AD-AB BE AB BD联系到三角形中从而证明出a2b2c2.从中我们可以知道，不管我们学习的知 识有多少都是跟前面的知识是有密切的关联。延伸：运用上证明我们可以在高中的几何问题中解决一些相关问题。第三章勾股定理的应用3.1在作图中构建与探究例1、如图，在网

15、格中有一个四边形图案.(1)请你画出此图案绕点0顺时针方向旋转90,180,270的 图案，你会得到一个美丽的图案，千万不要将阴影位置涂错；(2)若网格中每个小正方形的边长为I， 旋转后点A的对应点 依次为A、A、A，求四边形AAAA的面积；(3)这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这 个结论.思路点拨：先动手作图，体验和感知旋转的基本要素，再从具 体情境中借助面积法进一步探求，发现，从而获取与验证勾股定理。解析：(1)如图，正确画出图案，甘21如图，S四边形AAA2A3=S四边形ABB2B3-4SBAA3=(3+5) -4X2X3X5 =34 .故四边形似AAAA的面积为34.(

16、3)结论：勾股定理AB+BC=AC。点评：借助相关图形的旋转作图，进而显现与构建一定的背景图案， 利用相 关面积的计算与推导，在观察中发现，在体验中感悟和学习和探究、 进而发现勾 股定理，从中经历了数学知识的发生，发展，形成过程，也进一步加深对相关定 理的意义理解与掌握，渗透了数形结合的数学思想和面积法等。3.2 木棒能放进木箱吗?例2.有一根长为70cm的木棒，要放在长、宽、高分别是50cm、30cm、40cm的木箱中，能放进去吗?分析：由于木棒长为70cm，远大于各面的边长，而且比每个面的对角线还要长，故按各面的大小都放不进去，但要注意木箱的形状是立体 图形，可以利用空间的最大长度.解：能

17、放进去.如图7,连接A1C1，AC1，在RtAA1B1C1中，A1C12=A1B12+B1C12=502+302=3 400.在RtAAA1C1中，AC12=AA12+A1C12=402+3 400=5 000.因为5000702,所以AC170(cm).所以70cm长的木棒能放入这只木箱中.点评： 解决此题的关键在于明确AC1即为木箱所能容纳的最大长度，这里 充分利用了木箱各相邻边的垂直关系，创造了连续运用勾股定理的条件.3.3在距离最短的计算中构建与应用思路点拨：在平面图形中要解决铺设水管最短的问题，自然离不开构建与 转化“两点之间，线段最短”的数学公理，进而想到将A、B两点中的任一点作出

18、关于直线I的对称点，从而运用两点之间，线段最短解决实际问题。解析：（1）作点A关于河边所在直线I的对称点A,连接A B交I于P， 则点P为水泵站的位置，此时，PAFPB的长度之和最短，即所铺设水管最短；（2）过B点作I的垂线，过A作I的平行线，设这两线交于点C,则 /090又过A作AE丄BC于E,依题意BE=5,AB=13，AAE二AEBE?=13252=144.二AE=12.由平移关系，A C=AE=12,RtB A C中，vB C=7+2=9, A C=12，AA B2二AC+BC=92+122=225,A B=15.vPA=PA,.PA+PBA B=15. 1500X15=22500 （

19、元）我们可以通过所学的知识赵福人类，做到学以致用。例4如图3, 一圆柱的底面周长为24cm,高AB为4cm,BC是直径，一只 蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程大约是（）例3、如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A和李庄B送水，已知张村A、李庄B到河边的距离分别为2km和7km且张、李二村庄相距13km（1）水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中设计出水泵站的 位置；A.6cmC.13cmD.16cmB.12cmA图 4度至少需要多少米？若楼梯宽毯需要花多少元？2米，每平方米地毯需30元，那么这块地分析：把圆柱沿直径BC剪开成两半，展开成平面后可得如图4,则蚂蚁从

20、 点A爬行到点C的最短路程是矩形的对角线AC的长，由已知，AB=4，BC=12,故AC=j4212212.6故选C.点评：解立体图形问题的基本思想是把立体图形平面化， 因此，圆柱问题通 常要把它沿一条母线剪开，然后铺展为矩形，这里要注意到蚂蚁从点A出发到点C,当圆柱沿母线AB展开成矩形时，点C对应的是矩形一边的中点。例5.如图1，学校有一块长方形花铺，有极少数人从A走到B，为了避开拐角C走捷径”在花圃内走出了一条 路”他们仅仅少走了 _ 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草.分析：由图可见，走出来的 路”是直角边分别为3m和4m的直角三角形的斜边，由勾股定理，得该 路”的长为5m,因此，行人仅

21、仅 少走了2米（即10步）路.点评：爱护花草人人有责，仅仅因为少走10步而不惜 踩伤花草，破坏环境的确是大不应该的。由此可见，只有懂 得 三角形两边之和大于第三边”的人才知道走 捷径”的比 经过拐角处的路程近些，但掌握的数学知识如果不能用正当 的行为上，那将是数学的悲哀。例6放学后，小明和小华从校门口分手，分别沿着互相垂直的东北方向和 东南方向回家.若两人行走的速度都是每分钟40米，小明回家用了15分钟，小 华回家用了20分钟，问小明和小华两家相距多远？分析：如图所示，为方便起见，用点O表示校门口，点A和点B分别表示小 明家和小华家，那么要求小明和小华两家相距多远，实际上就是求A、B两点间 的

22、距离.解：在AOB中因为/AO圧90,所以 AO2BO2= AB2.因为Ad40X15=600,BO= 40X20=800,所以 60028002AB2.所以 AB2= 1000000 ,A吐1000.答：小明和小华两家相距1000米.3.4生活常识的应用铺地毯需要花多少元例7.如图5,在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长A分析：从表面看，每个台阶水平和竖直的长度都求不出来， 但仔细观察发现， 楼梯水平方向的长度和为AC，竖直方向的长度和为BC，要求地毯的长度，只 需利用勾股定理先求出AC,再求AC+BC即可.解：在RtAABC中，AC2+BC2=AB2，所以AC2=AB2-B

23、C2=52-32=25-9=16.所以AC=4（米）.所以地毯长度为AC+BC=4+3=7（米）.所以地毯总面积为7&=14（平方米）.所以需花30X14=420（元）.点评：本题是一道生活中的实际问题，解决此问题的关键是从实际问题中构 建数学模型- 直角三角形，借助勾股定理求出AC的长.例8如图2,A、B、C、D是四个小镇，它们之间（除B、C外）都有笔直 的公路相连接，公共汽车行驶于城镇之间，其票价与路程成正比.已知各城镇间 的公共汽车票价如下：A B:10元；A C:12.5元；A D:8元；B D:6元；C D：4.5元.为了B、C之间的交通方便，要在B、C之间建成笔直公路，请按

24、上述标准计算出B、C之间的公路的票价为多少 元.分析：因为票价与路程成正比，故可将票价视为路程 来处理，即AB=10，AD=8，BD=6，AC=12.5，CD=4.5, 利用勾股定理求解.解：因为票价与路程成正比，故可把票价视为路程来处理.已知：AB=10，AD=8，BD=6，AC=12.5，CD=4.5.因 为AD2+BD2=82+62=64+36=100=102=AB2，所 以 ABD为直角三角形，且/ADB=90连接BC，在RtABDC中,CD=4.5，BD=6，所以BC . 4.5262B、C之间公共汽车票价为7.5元.点评：本题是利用勾股定理来解决生活中的实际问题.本题的技巧是将票价

25、视为路程来处理，这一点与代数中的换元法极为相似.例9如图，一架5米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AC上,这时，梯足B到墙底端C的距离为3米.如果梯子的顶端沿墙下滑1米，那么梯足B将外移多 少米？分析：要求梯足B将外移多少米，只要求BE的长.由于BE= EC- BC,而BC=3米，那么只要求EC的长.又，EC是直角DCE的条直角边，DE= AB= 5米， 根据勾股定理，应先求出DC的长.依题意，要求出DC的长，关键在于求出AC的长.解：在ABC中,因为/ACB= 90,所以 AC2BC2= AB2.因为BC= 3,AB= 5, 所以 AC29= 25.所以 AC2= 16 , AO4.在厶CDE

26、中,7.5.故I)图 2因为/DC巳90,所以 DC2EC2= DE2.因为DC= AC AD= 3,DPAB= 5,所以 9 EC2= 25 , EO4.所以BE= ECBC= 1.答：梯足B将外移1米.点评：从勾股定理的发现至今已有几千年的历史了，而它对各国数学家的魅力依然不减，它也至始至终成为了自然科学，日常生活的工具。它引领着几何领 域的高速发展。因此，不仅勾股定理本身对数学及自然科学的影响巨大，它所体现出来的数学思想方法对社会各方面的发展也有着相当大的影响。例10、 如图6,在无盖的圆柱形桶外，有一只小虫要从桶外的A点爬到桶内的B点如果小虫爬行的是最短途径，它应怎么走？思路点拨：由圆

27、柱形的桶外爬到桶内，应将立体图形转化为平面图形来研究 与解决，再利用这两点中的任一点关于直线EF对称解决路程最短的问题。解析：将桶的侧面展开成如图7的长方形由于点B在背面，作图不便，所 以可作点B关于EF的对称点B，连接AB，交EF于点C.即小虫在桶外从点A爬行到点C后，再向桶内的点B爬去，就是最短途径.点评：从身边熟悉的生活实际取材，倍感亲切，极大的激发了学习兴趣和求 知欲，在例1中通过解决铺设水管的费用问题，不由自主利用A点的轴对称性构 建A B两点之间，线段最短的数学思想，再构造与利用直角三角形的勾股定理解 决水管的长度计算问题。在例4中要注意将立体图形转化为平面图形来分析与解 决。在这

28、些情境中让我们进一步感知到数学来源生活，又应用于生活，从而激发 在今后的学习，生活中要多关注数学，从数学的角度去观察生活，发现数学，将 一些不相关联的问题或现象利用所学知识转化为所学的问题。勾股定理是数学中的重要定理它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，把数与形统一起来.勾股定理不仅在数学的发展中起着重要的作用，而且在现实世界中有着广泛的应用.第四章 总结我认为研究勾股定理是非常有意义的， 不仅开阔了我们的思维， 而且也培养 了我们探索创新的精神。而且从前一章的应用可以看出它是与我们的实际问题紧 密联系在一起的。很多生活问题都应用到勾股定理， 以此我们历年的中考勾股定 理都是最重要的考点。 那

29、么我们到了高中大学还用到勾股定理吗？我觉得有。 那 么出现在什么地方呢？在中学数学解题中， 求最值的方法颇多， 牵涉到的知识点 有：三角形两边之和大于第三边、两点之图 6间线段最短、勾股定理、均值定理、一 元二次方程判别式、根与系数关系、函数单调性、抛物线最值理论、直线斜率、 直线截距、线性规划、参数及参数方程、弦长公式等。根据圆锥曲线的定义、性 质，结合上述知识点， 可以解决有关圆锥曲线的最值问题。 我们在一些解决极大 值问题中，我们就可以应用勾股定理的性质来说明。 勾股定理的数形结合的典范， 很容易让我们从一个几何问题转移到代数问题上来， 因此我们可以通过这点可以 解决一些关于最值问题。

30、我们可以用面积的最值来求得代数的最值。 勾股定理在 代数和几何中起到了桥梁的作用， 这样我们可以用直观的几何工具来解释抽象的 代数。这种思想解决数学学科的综合问题进一步解决实际性问题有着至关重要的 作用。在求解三角函数值中的应用在三角恒等变形中，经常会遇到“已知a角的一 个三角函数值，求a角的其他三角函数值”。如果到了复习阶段，仍然使用同角公 式进行计算,就会使三角解答题的计算过程变得冗长,带来诸多不便,如果条件允 许,就可以利用直角三角形结合勾股定理快速简洁求解。作为初中数学的内容， 勾股定理具有很强的工具性， 它既为诸多内容提供工具支撑， 又为很多数学问题 提供了新的解决视角，它的应用广泛

31、而灵活。我国著名数学家徐利治先生认为： “数学美包括数学概念的简单性、 统一性， 结构系统的协调性、对称性，数学命题和数学模型的概括性、典型性和普遍性， 还有数学的奇异性。”我们认为，勾股定理具有这些数学美。 “勾方加股方等弦 方”寥寥九字， 却揭示一切不同形状、 不同大小的无穷多个直角三角形三边之间 的本质属性，体现了统一、概括、语言美当它用a + b=c表达时，则更加简洁 明了并全为世界中学生所理解，体现了简单、精练、科学美。它的许多精巧的构 图证明，体现了奇异、和谐、对称美勾股定理和它的逆向应用以及我们对勾股 数的探讨，都无不显示出数学这一审美客体所蕴涵的无穷无尽的魅力。 有意让学 生在勾股定理的学习中去发现和感受数学美， 表现和创新数学美，将会收到意想 不到的效果。在勾股定理的教学中，一个生动的模型，一个妙趣横生的引入，一 个精巧的比喻，一个引人入胜的故事，一个美妙的结论，一个个巧妙的证明，都 能使学生终身难忘。它可使消沉者振奋，使厌学者好学，使落伍者猛进。通过对勾股定理的教育功能的探讨， 我们看到，只要深入挖掘数学教材中的 概念、定理（法则）、公式、例习题等的教育因素，就可以培养学生刻苦钻研的精 神，顽强拼搏的毅力，锲而不舍的个性品质还能