第六章实数6.1.1平方根第一课时

1、第六章 实数6.1.1平方根 第一课时【教学目标】 知识与技能：通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念,会求非负数的算术平方根并会用符号表示；过程与方法：通过生活中的实例,总结出算术平方根的概念,通过计算非负数的算术平方根,真正掌握算术平方根的意义.情感态度与价值观：通过学习算术平方根, 熟悉数与人类生活的密切联系,建立初步的数感和符号感,开展抽象思维,为学生以后学习无理数做好准备 教学重点：算术平方根的概念和求法.教学难点：算术平方根的求法.教具准备：三块大小相等的正方形纸片；学生计算器.教学方法：自主探究、启发引导、小组合作【教学过程】一、情境引入：问题：学校要举行美术作品比赛,小欧很快

2、乐,他想裁出一块面积为225dm的正方形画布,画上自己得意的作品参加比赛,这块正方形画布的边长应取多少？二、探索归纳：1.探索：学生能根据已有的知识即正方形的面积公式：边长的平方等于面积,求出正方形画布的边长为5dm_,一一 一,、,E 、 4接下来教师可以再深入地引导此问题：如果正方形的面积分别是 1、9、16、36、25 2,那么正方形的边长分别是多少呢？学生会求出边长分别是 1、3、4、6、-5,接下来教师可以引导性地提问：上面的问题它们有共同点吗？它们的本质是什么呢？这个问题学生可能总结不出来,教师需加以引导.上面的问题,实际上是一个正数的平方,求这个正数的问题.2.归纳：算术平方根的

3、概念：一般地,如果一个正数 x的平方等于a,即x2=a那么这个正数x叫做a的算术平方根. 算术平方根的表示方法：a的算术平方根记为 /a,读作“根号a或“二次很号a",a叫做被开方数.三、应用：例1、求以下各数的算术平方根 100 49 17(4) 0. 0001 0649解：由于,102=100 所以100的算术平方根是10,即v?00 =10,所以49的算术平方根是 -,即J=764864 8(4 '77 47 4由于 一|=1 一 ,所以1的算术平方根是 一,即1=一 ；13/993V 93由于0.012=0.0001,所以0.0001的算术平方根是0.01,即.0.0

4、001 =0.01;由于02=0 ,所以0的算术平方根是 0,即J0=0 .注：根据算术平方根的定义解题,明确平方与开平方互为逆运算；求带分数的算术平方根,需要先把带分数化成假分数,然后根据定义去求解；0的算术平方根是0.由此例题教师可以引导学生思考如下问题：你能求出一1,-36,-100的算术平方根吗？任意一个负数有算术平方根吗？归纳：一个正数的算术平方根有1个；0的算术平方根是0;负数没有算术平方根.即：只有非负数有算术平方根,如果x= %：后有意义,那么x>0, a> 0.注：a>0且Ja >0这一点对于初学者不太容易理解,教师不要强求,可以在以后的教学中慢慢渗透

5、.例2、求以下各式的值：(1)、V4(2)、(3) (_11)2(4) v62例3、求以下各数的算术平方根：,、一 2321 3 4(-10)(4)-106根据学生的学习水平和理解水平可进行如下总结：1、由 d62 =6 ,可得 Va2 =a(a> 0)2、由 <(-11)2 =11 可得 va2 =- a(a< 0)教师需强调a=0时对两种情况都成立.四、随堂练习：1、算术平方根等于本身的数有.2、求以下各式的值1 W (3)52(4)(-7)225五、课堂小结1、这节课学习了什么呢？2、算术平方根的具体意义是怎么样的？3、怎样求一个正数的算术平方根？六、布置作业课本第44

6、页习题第1、2题七、教学反思6.1.2平方根第2课时【教学目标】知识与技能：会用计算器求算术平方根；了解无限不循环小数的特点；会用算术平方根的知识解决实际问题.过程与方法：通过折纸熟悉第一个无理数 J2 ,并通过估计它的大小熟悉无限不循环小数的特点.用计算器计算算术平方根,使学生了解利用计算器可以求出任意一个正数的算术平方根,再通过一些特殊的例子找出一些数的算术平方根的规律,最后让学生感受算术平方根在实际生活中的应用. 情感态度与价值观：通过探究 J2的大小,培养学生的估算意识,了解两个方向无限逼近的数学思想,并且锻炼学生克服困难的意志,建立自信心,提升学习热情.教学重点：熟悉无限不循环小数的

7、特点,会估算一些数的算术平方根.会用算术平方根的知识解决实际问题.教学难点：熟悉无限不循环小数的特点,会估算一些数的算术平方根.教学方法：自主探究、启发引导、小组合作教学过程：一、通过实验引入：怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？如图,把两个小正方形沿对角线剪开,将所得的4个直角三角形拼在一起,就得到一个面积为2的大正方形.你知道这个大正方形的边长是多少吗？设大正方形的边长为 x,那么x 2=2,由算术平方根的意义可知 x= & ,所以大正方形的边长为22.二、讨论也的大小：由上面的实验我们熟悉了 22 ,它的大小是多少呢？它所表示的数有什么特征呢？下面我们讨论、/

8、2的大小.略,见书42页如此进行下去,我们发现它的小数位数无限,且小数局部不循环,像这样的数我们成为无限不循环小数. <2 =1.41421356.注：这种估算表达了两个方向向中间无限逼近的数学思想,学生第一次接触,不好理解,教师在讲解时速度要放慢,可能需要讲两遍.72 =1.41421356.,是个无限不循环小数,但是很抽象,没有方法全部表示出来它的大小,类似这样的数还有很多,比方J3等,圆周率兀也是一个无限不循环小数.三、用计算器求算术平方根：大多数计算器都有“ 、厂键,用它可以求出一个有理数的算术平方根或近似值.例1、用计算器求以下各式的值：13136; 2 22 精确到 0.00

9、1解答略 注：不同品牌的计算器,按键的顺序可能有所不同.四、探索规律：1利用计算器计算,并将计算结果填在表中,你发现了什么规律?.J0.625,625V62?5J625.70,0625.2用计,算器计算 J3 结果精确到0.001,并利用你发现的规律写出J丽3、V300 >300000的近似值.你能根据 血的值求出 国的值吗?五、实际应用：例1、小丽想用一块面积为 2400cm的正方形纸片,沿着边的方向裁出一块面积为 2300cm的 长方形纸片,使它白长与宽之比为 3: 2,不知道能否裁出来,正在发愁,小明见了说： “别发愁,一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.你同意小明的说法

10、吗？小丽能否用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？分析：学生一般认为一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.通过计算和讲解纠正这种错误的熟悉解略,见书44页六、随堂练习：书44页,练习1、2题七、课堂小结1、被开方数增大或缩小时,其相应的算术平方根也相应地增大或缩小,因此我们可以利用 夹值的方法来求出算术平方根的近似值；2、利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的近似值；3、被开方数扩大或缩小与它的算术平方根扩大或缩小的规律是怎样的呢？4、怎样的数是无限不循环小数？八、布置作业课本第47页习题6、1第5题 教学反思:6.1.3平方根第三课时【教学目标】知识与技能了解平方根的概念,会用根号表示正

11、数的平方根；了解开平方与平方互为逆运算,会用平方运算求某些非负数的平方根过程与方法通过学习平方根,进一步建立数感和符号感, 开展抽象思维.通过对正数平方根特点的探究, 了解平方根与算术平方根的区别和联系,体验类比、化归等问题解决数学思想方法的运用, 提升学生对问题的迁移水平.情感、态度与价值观通过对实际生活中问题的解决,让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的.通过探究活动培养动手水平和锻炼克服困难的意志,建立自信心,提升学习热情.教学重点：了解开方和乘方互为逆运算, 弄懂平方根与算术平方根的区别和联系.教学难点：平方根与算术平方根的区别和联系. 教学方法：自主探究、启发引导、小组合作教学过程一

12、、 情境导入如果一个数的平方等于 9,这个数是多少？23教学反思：6.1.3平方根第三课时【教学目标】知识与技能了解平方根的概念,会用根号表示正数的平方根；了解开平方与平方互为逆运算,会用平方运算求某些非负数的平方根过程与方法通过学习平方根,进一步建立数感和符号感, 开展抽象思维.通过对正数平方根特点的探究, 了解平方根与算术平方根的区别和联系,体验类比、化归等问题解决数学思想方法的运用, 提升学生对问题的迁移水平.情感、态度与价值观通过对实际生活中问题的解决,让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的.通过探究活动培养动手水平和锻炼克服困难的意志,建立自信心,提升学习热情.教学重点：了解开方和乘

13、方互为逆运算, 弄懂平方根与算术平方根的区别和联系.教学难点：平方根与算术平方根的区别和联系. 教学方法：自主探究、启发引导、小组合作教学过程一、 情境导入如果一个数的平方等于 9,这个数是多少？讨论：这样的数有两个,它们是 3和3.注意-3 2 =9中括号的作用.又如：x 2 =-4 ,那么x等于多少呢？25二、探索归纳：1、平方根的概念：如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做 a的平方根.即：如果x2=a,那么x叫做a的平方根.求一个数的平方根的运算,叫做开平方.例如： ±3的平方等于9, 9的平方根是土 3,所以平方与开平方互为逆运算.2、观察：课本 P45的图6.1-2.图

14、6.1-2中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程,揭示了开平方运算的本质.并根据这个关系说出 1,4,9的平方根.例4求以下各数的平方根.9(1) 100 (2) (3) 0.25163、根据平方根的概念,请同学们思考并讨论以下问题：正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？一个是正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果,一个是负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算,符号：正数 a的算术平方根可用 声 表示；正数a的负的平方根可用-“,a表不例5求以下各式的值.(1)v56 -、'两(3)士J丝:9归纳：平方根和算术平方根两者既有区别又有联系.区别在

15、于正数的平方根有两个, 而它的算术平方根只有一个； 联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数,根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根.三、练习课本P4 6小练习1、2、3、4四、小结：1、什么叫做一个数的平方根？2、正数、0、负数的平方根有什么规律？3、怎样求出一个数的平方根？数a的平方怎样表示？五、作业P4 7 - 4 8 习题 6、1 第3、8 题.教学反思6.2立方根【教学目标】 知识与技能：了解立方根的概念和表示方法,并会求一个数的立方根；会用计算器求一个数的立方根.过程与方法：从具体的计算出发归纳出立方根的概念,然后讨论立方与开立方的关系,研究立方根的特征,最后介绍实用计算

16、器求立方根的方法.情感态度与价值观：通过探索立方根的特征, 培养学生独立思考和小组交流的水平；通过立方根与平方根的比拟使学生学会类比学习的数学思想；通过探讨一个数的立方根与它的相反数的立方根的关系, 可以将求负数的立方根转化为求正数的立方根的问题,培养学生的转化思想.教学重点：立方根的概念和求法教学难点：立方根的求法.教学过程： 一、情景引入：要制作一种容积为 27m3的正方体形状的包装箱,这种包装箱的边长应该是多少？二、探索归纳：1 .探索：设这种包装箱的边长为xm ,那么x3=27这就是要求一个数,使它的立方等于27.由于33=07 ,所以x =3,即这种包装箱的边长应为3m2 .归纳：立

17、方根的概念：一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做 a的立方根或三次方根.立方根的表示方法：如果x3=8 ,那么x叫做a的立方根.记作x=Va , 遍读作三次根号a.其中a是被开方数,3是根指数,3,a中的根指数3不能省略.开立方的概念：求一个数的立方根的运算,叫做开立方.开立方与立方互为逆运算,可以根据这种关系求一个数的立方根.3、探索立方根的特点：根据立方根的意义填空,思考正数、0、负数的立方根各有什么特点？1由于23=8 ,所以8的立方根是；2由于3=0.064 ,所以0.064的立方根是；3由于3=.,所以0的立方根是；4由于3 =-8 ,所以-8 的立方根是；,一、,、38

18、一 8 , 5由于=一药,所以一万7的立方根是.学生独立完成后,教师要引导学生从正、负数和零三方面去归纳总结立方根的特点.归纳：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.4.探究互为相反数的两个数的立方根的关系：填空：由于幻二8, -Vs,所以 于=8 V8；由于3二27, -V27,所以V27 -3 27由上面两个例子可归纳出：一般地,斗-a =%'a.注：这个关系对于正数、负数、零都成立.求负数的立方根时,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,然后再确它的相反数.三、应用：例1、求以下各式的值：例3、用计算器计算 V0.000216、3/0.216、标6、W216000

19、的值,你发现了什么？并总结出来.用计算器计算 知100 ,求正01、3/0.0001、V100000的近似值.由此发现：一个数扩大或缩小1000倍时,它的立方根扩大或缩小10倍.四、随堂练习：1、立方根等于本身的数是,如果 油-a =l-a, 那么 &2、-3/64 的立方根是,-4 3 的立方根是3、3 X+16的立方根是4,求2 X+4的算术平方根.4、比拟大小：3 3''11 ,五、课堂小结1 .立方根和开立方的定义.2 .正数、0、负数的立方根的特征.3 .立方根与平方根的异同.六、布置作业课本第5 1 5 2页习题6.2第1、3、5、6题；教学反思：4 .3.

20、1实数第一课时【教学目标】 知识与技能：了解无理数和实数的概念以及实数的分类；知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系.过程与方法：在数的开方的根底上引进无理数的概念,并将数从有理数的范围扩充到实数的范围,从而总结出实数的分类,接着把无理数在数轴上表示出来,从而得到实数与数轴上的点是一一对应的关系.情感态度与价值观：通过了解数系扩充体会数系扩充对人类开展的作用；敢于面对数学活动中的困难,并能有意识地运用已有知识解决新问题. 教学重点：了解无理数和实数的概念；对实数进行分类.教学难点：对无理数的熟悉.【教学过程】一、复习引入无理数：3 475利用计算器把以下有理数 3、写成小数的形式,它们有什么特

21、征？发现上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式归纳：任何一个有理数整数或分数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式,反过来,任何有限小数或者无限循环小数也都是有理数. 通过前面的学习,我们知道有很多数的平方根或立方根都是无限不循环小数,把无限不循环小数叫做无理数. 比方 等都是无理数.3. 14159265.也是无理数. 二、实数及其分类： 1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数.2、实数的分类：根据定义分类如下：3、实数与数轴上点的关系：我们知道每个有理数都可以用数轴上的点来表示.物理是符合是否也可以用数轴上的点表示出来吗？活动1:直径为1个单位长度的圆其周长为 兀,把这个圆

22、放在数轴上,圆从原点沿数轴向右滚动一周,圆上的一点由原点到达另一个点,这个点的坐标就是 兀,由此我们把无理数 兀用数轴上的点表示了出来.活动2：在数轴上,以一个单位长度为边长画一个正方形,那么其对角线的长度就是<2以原点为圆心,正方形的对角线为半径画弧,与正半轴的交点就表示J2 ,与负半轴的交点就是J2.事实上通过这种做法,我们可以把每一个无理数都在数轴上表示出来,即数轴上有些点表示无理数.归纳：实数与数轴上的点是一一对应的.即没一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数.对于数轴上的任意两个点,右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大.三、应用：例1、以下实数中,无理数有哪些？亚,2j 0 0.73, 3.14, V5 , 0,10,121121112.,(-4)2解略注：带根号的数不一定是无理数,比方、；(4)2 ,它其实是有理数4;无限小数不一定是无理数,无限不循环小数一定是无理数.比方0,10.121121112.四、随堂练习：1、判断以下说法是否正确：无限小数都是无理数；无理数都是无限小数；带根号的数都是无理数；所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,反过来,数轴上所有的点都表示有理数；所有实数都可以用