北京师大附中2015-2016学年高一数学上学期期中试卷(含解析)

1、2015-2016学年北京师大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填在答题卡上）1设集合A=1，0，1，B=xR|x0，则AB=（）A1，0B1C0，1D12函数的定义域是（）A（，2）B2，+）C（，2D（2，+）3已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（2）的值为（）ABC2D24已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（）AabcBcabCacbDbca5下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上单调递增的函数是（）Ay=2x3By=|x|+1Cy=x2+4Dy=2|x

2、|6设函数y=x3与y=（）x的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）7已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x0时，f（x）=x32x2，则x0时，函数f（x）的表达式为f（x）=（）Ax3+2x2Bx32x2Cx3+2x2Dx32x28函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex关于y轴对称，则f（x）=（）Aex+1Bex1Cex+1Dex1二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在答题纸上）9满足关系式2，3A1，2，3，4的集合A的个数是10函数f（x）=2ax+13（a0，且a1）的图象

3、经过的定点坐标是11某辆汽车每次加油都把油箱加满，如表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为升12已知定义域为（0，+）的函数f（x）满足：（1）对任意x（0，+），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x（1，2时，f（x）=2x给出如下结论：对任意mZ，有f（2m）=0；函数f（x）的值域为0，+）；存在nZ，使得f（2n+1）=9；“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在kZ，使

4、得（a，b）（2k，2k+1）”；其中所有正确结论的序号是三.解答题（本大题共3小题，共40分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上）13A=x|x23x+2=0，B=x|ax2=0，若BA，求a14已知函数且f（1）=2（1）求实数k的值及函数的定义域；（2）判断函数在（1，+）上的单调性，并用定义加以证明15已知二次函数f（x）的图象过点（0，4），对任意x满足f（3x）=f（x），且有最小值是（1）求f（x）的解析式；（2）求函数h（x）=f（x）（2t3）x在区间0，1上的最小值，其中tR；（3）在区间1，3上，y=f（x）的图象恒在函数y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围四、

5、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案的序号填在答题纸上）16如图，函数f（x）的图象为折线 AC B，则不等式f（x）log2（x+1）的解集是17函数的单调递增区间是18（lg2）2+lg2lg5+的值为19设函数f（x）=，若a=1，则f（x）的最小值为；若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上）20为配合国庆黄金周，促进旅游经济的发展，某火车站在调查中发现：开始售票前，已有a人在排队等候购票开始售票后，排队的人数平均每分钟增加b人假设每个窗口的售票速度为c人/min，且当开放2个窗口时，2

6、5min后恰好不会出现排队现象（即排队的人刚好购完）；若同时开放3个窗口，则15min后恰好不会出现排队现象若要求售票10min后不会出现排队现象，则至少需要同时开几个窗口？21已知定义域为R的函数是奇函数（1）求f（x）；（2）判断函数f（x）的单调性（不必证明）；（3）解不等式f（|x|+1）+f（x）022对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间m，nD，同时满足：f（x）在m，n内是单调函数；当定义域是m，n时，f（x）的值域也是m，n则称m，n是该函数的“和谐区间”（1）证明：0，1是函数y=f（x）=x2的一个“和谐区间”（2）求证：函数不存在“和谐区间”（3）已知：函数（a

7、R，a0）有“和谐区间”m，n，当a变化时，求出nm的最大值2015-2016学年北京师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填在答题卡上）1设集合A=1，0，1，B=xR|x0，则AB=（）A1，0B1C0，1D1【考点】交集及其运算【分析】由A与B，求出两集合的交集即可【解答】解：A=1，0，1，B=xR|x0，AB=1，故选：D2函数的定义域是（）A（，2）B2，+）C（，2D（2，+）【考点】函数的定义域及其求法【分析】：根据函数有意义的条件可知求解即可【解答】解：根据函数有意义的条件可知x

8、2故选：D3已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（2）的值为（）ABC2D2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】设幂函数y=f（x）=x，把点（，）代入可得的值，求出幂函数的解析式，从而求得f（2）的值【解答】解：设幂函数y=f（x）=x，把点（，）代入可得=，=，即f（x）=，故f（2）=，故选：A4已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（）AabcBcabCacbDbca【考点】对数值大小的比较【分析】看清对数的底数，底数大于1，对数是一个增函数，0.3的对数小于1的对数，得到a小于0，根据指数函数的性质，得到b大于1，而c小

9、于1，根据三个数字与0，1之间的关系，得到它们的大小关系【解答】解：由对数和指数的性质可知，a=log20.30b=20.120=1c=0.21.3 0.20=1acb故选C5下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上单调递增的函数是（）Ay=2x3By=|x|+1Cy=x2+4Dy=2|x|【考点】函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可得到既是偶函数又在（0，+）上单调递增的函数【解答】解：对于Ay=2x3，由f（x）=2x3=f（x），为奇函数，故排除A；对于By=|x|+1，由f（x）=|x|+1=f（x），为偶函数，当x0时，

10、y=x+1，是增函数，故B正确；对于Cy=x2+4，有f（x）=f（x），是偶函数，但x0时为减函数，故排除C；对于Dy=2|x|，有f（x）=f（x），是偶函数，当x0时，y=2x，为减函数，故排除D故选B6设函数y=x3与y=（）x的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）【考点】幂函数的图象；指数函数的图象与性质【分析】构造函数f（x）=x3，利用零点存在定理判断即可【解答】解：令f（x）=x3，f（x）=3x2ln=3x2+ln20，f（x）=x3在R上单调递增；又f（1）=1=0，f（0）=01=10，f（x）=x3的零点在（

11、0，1），函数y=x3与y=（）x的图象的交点为（x0，y0），x0所在的区间是（0，1）故答案为：A7已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x0时，f（x）=x32x2，则x0时，函数f（x）的表达式为f（x）=（）Ax3+2x2Bx32x2Cx3+2x2Dx32x2【考点】函数奇偶性的性质【分析】设x0时，则x0，我们知道当x0时，f（x）=x32x2，所以可求f（x）=x32x2，再由奇函数知f（x）=f（x）即可求解【解答】解：设x0时，则x0，因为当x0时，f（x）=x32x2所以f（x）=（x）32（x）2=x32x2，又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）=f（x），所以

12、当x0时，函数f（x）的表达式为f（x）=x3+2x2，故选A8函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex关于y轴对称，则f（x）=（）Aex+1Bex1Cex+1Dex1【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的图象与图象变化【分析】首先求出与函数y=ex的图象关于y轴对称的图象的函数解析式，然后换x为x+1即可得到要求的答案【解答】解：函数y=ex的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=ex，而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex的图象关于y轴对称，所以函数f（x）的解析式为y=e（x+1）=ex1即f（x）=ex1故选D二、填空题（本大题4

13、小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在答题纸上）9满足关系式2，3A1，2，3，4的集合A的个数是4【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】由题意一一列举出集合A的情况即可【解答】解：由题意知，满足关系式2，3A1，2，3，4的集合A有：2，3，2，3，1，2，3，4，2，3，1，4，故共有4个，故答案为：410函数f（x）=2ax+13（a0，且a1）的图象经过的定点坐标是（1，1）【考点】指数函数的图象变换【分析】根据指数函数的图象和性质即可得到结论【解答】解：由指数幂的性质可知，令x+1=0得x=1，此时f（1）=23=1，即函数f（x）的图象经过的定点坐标是（1，1），故答案为：（

14、1，1）11某辆汽车每次加油都把油箱加满，如表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为8升【考点】函数模型的选择与应用【分析】由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，由此得到该车每100千米平均耗油量【解答】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8故答案是：812已知定义域为（0，+）的函数f（x）满足：（1）对任意x（0，+

15、），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x（1，2时，f（x）=2x给出如下结论：对任意mZ，有f（2m）=0；函数f（x）的值域为0，+）；存在nZ，使得f（2n+1）=9；“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在kZ，使得（a，b）（2k，2k+1）”；其中所有正确结论的序号是【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据定义可求出f（2）=0，再逐步递推f（2m）=f（22m1）=2f（2m1）=2m1f（2）=0；分区间分别讨论，得出在定义域内函数的值域；根据的结论x（2m，2m+1），f（x）=2m+1x，求出f（2n+1）=2n+12n1=2n1，再判断是否存在n

16、值；由的结论x（2m，2m+1），f（x）=2m+1x显然可得结论【解答】解：x（1，2时，f（x）=2xf（2）=0f（1）=f（2）=0f（2x）=2f（x），f（2kx）=2kf（x）f（2m）=f（22m1）=2f（2m1）=2m1f（2）=0，故正确；设x（2，4时，则x（1，2，f（x）=2f（）=4x0若x（4，8时，则x（2，4，f（x）=2f（）=8x0一般地当x（2m，2m+1），则（1，2，f（x）=2m+1x0，从而f（x）0，+），故正确；由知当x（2m，2m+1），f（x）=2m+1x0，f（2n+1）=2n+12n1=2n1，假设存在n使f（2n+1）=9，即2n

17、1=9，2n=10，nZ，2n=10不成立，故错误；由知当x（2k，2k+1）时，f（x）=2k+1x单调递减，为减函数，若（a，b）（2k，2k+1）”，则“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”，故正确故答案为：三.解答题（本大题共3小题，共40分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上）13A=x|x23x+2=0，B=x|ax2=0，若BA，求a【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】解一元二次方程先化简集合A，再由子集的定义分集合B是否为空集两种情况讨论，最后综合讨论结果求解【解答】解：解：集合A=x|x23x+2=0=1，2BA，（1）B=时，a=0（2）当B=1时，a=2（3）

18、当B=2时，a=1故a值为：2或1或014已知函数且f（1）=2（1）求实数k的值及函数的定义域；（2）判断函数在（1，+）上的单调性，并用定义加以证明【考点】函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明【分析】（1）由f（1）=2便可求出k=1，并容易求出函数f（x）的定义域；（2）可以判断在（1，+）上为增函数，根据增函数的定义，设任意的x1x21，然后作差，通分，提取公因式，从而可证明f（x1）f（x2），这便可得出f（x）在（1，+）上为增函数【解答】解：（1）f（1）=1+k=2；k=1，定义域为xR|x0；（2）为增函数；证明：设x1x21，则：=；x1x21；x1x20，；f（x1）

19、f（x2）；f（x）在（1，+）上为增函数15已知二次函数f（x）的图象过点（0，4），对任意x满足f（3x）=f（x），且有最小值是（1）求f（x）的解析式；（2）求函数h（x）=f（x）（2t3）x在区间0，1上的最小值，其中tR；（3）在区间1，3上，y=f（x）的图象恒在函数y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围【考点】二次函数的性质【分析】本题（1）用待定系数法设出函数解析式，利用条件图象过点（0，4），f（3x）=f（x），最小值得到三个方程，解方程组得到本题结论；（2）分类讨论研究二次函数在区间上的最小值，得到本题结论；（3）将条件转化为恒成立问题，利用参变量分离，求出函数的

20、最小值，得到本题结论【解答】解：（1）二次函数f（x）图象经过点（0，4），任意x满足f（3x）=f（x）则对称轴x=，f（x）存在最小值，则二次项系数a0设f（x）=a（x）2+将点（0，4）代入得：f（0）=，解得：a=1f（x）=（x）2+=x23x+4（2）h（x）=f（x）（2t3）x=x22tx+4=（xt）2+4t2，x0，1当对称轴x=t0时，h（x）在x=0处取得最小值h（0）=4； 当对称轴0x=t1时，h（x）在x=t处取得最小值h（t）=4t2； 当对称轴x=t1时，h（x）在x=1处取得最小值h（1）=12t+4=2t+5综上所述：当t0时，最小值4；当0t1时，最小

21、值4t2；当t1时，最小值2t+5（3）由已知：f（x）2x+m对于x1，3恒成立，mx25x+4对x1，3恒成立，g（x）=x25x+4在x1，3上的最小值为，m四、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案的序号填在答题纸上）16如图，函数f（x）的图象为折线 AC B，则不等式f（x）log2（x+1）的解集是（1，1【考点】函数的图象【分析】在同一坐标系中画出函数f（x）和函数y=log2（x+1）的图象，数形结合可得答案【解答】解：在同一坐标系中画出函数f（x）和函数y=log2（x+1）的图象，如图所示：由图可得不等式f（x）log2（x+1）的解集是：（1，1，故答

22、案为：（1，117函数的单调递增区间是2，3）【考点】复合函数的单调性【分析】令t=3+4xx20，求得函数的定义域，结合y=，本题即求函数t在（1，3）上的减区间，再利用二次函数的性质可得结论【解答】解：令t=3+4xx20，求得1x3，则y=，本题即求函数t在（1，3）上的减区间利用二次函数的性质可得函数t在（1，3）上的减区间为2，3），故答案为：2，3）18（lg2）2+lg2lg5+的值为1【考点】对数的运算性质【分析】根据lg2+lg5=1，进行计算即可【解答】解：（lg2）2+lg2lg5+=lg2（lg2+lg5）+lg5=lg2+lg5=1，故答案为：119设函数f（x）=，

23、若a=1，则f（x）的最小值为1；若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是a1或a2【考点】函数的零点；分段函数的应用【分析】分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；分别设h（x）=2xa，g（x）=4（xa）（x2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围【解答】解：当a=1时，f（x）=，当x1时，f（x）=2x1为增函数，f（x）1，当x1时，f（x）=4（x1）（x2）=4（x23x+2）=4（x）21，当1x时，函数单调递减，当x时，函数单调递增，故当x=时，f（x）min=f（）=1，设h（x）=2xa，g（x）=4（xa）（x2a）若在x1时，h（x）=与x轴有一个交点

24、，所以a0，并且当x=1时，h（1）=2a0，所以0a2，而函数g（x）=4（xa）（x2a）有一个交点，所以2a1，且a1，所以a1，若函数h（x）=2xa在x1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（xa）（x2a）有两个交点，当a0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2a0时，即a2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是a1，或a2五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上）20为配合国庆黄金周，促进旅游经济的发展，某火车站在调查中发现：开始售票前，已有a人在排队等

25、候购票开始售票后，排队的人数平均每分钟增加b人假设每个窗口的售票速度为c人/min，且当开放2个窗口时，25min后恰好不会出现排队现象（即排队的人刚好购完）；若同时开放3个窗口，则15min后恰好不会出现排队现象若要求售票10min后不会出现排队现象，则至少需要同时开几个窗口？【考点】根据实际问题选择函数类型；简单线性规划【分析】根据条件建立不等式关系，进行求解即可【解答】解：设至少需要同时开x个窗口，则根据题意有，由得，c=2b，a=75b，代入得，75b+10b20bx，x，即至少同时开5个窗口才能满足要求21已知定义域为R的函数是奇函数（1）求f（x）；（2）判断函数f（x）的单调性（不必证明）；（3）解不等式f（|x|+1）+f（x）0【考点】函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法【分析】（1）根据f（x）是R上的奇函数，f（0）=0，求出b的值1即可；（2）化简f（x），判断f（x）在R上为减函数；（3）利用f（x）的单调性与奇偶性，化简不等式并求出解集【解答】解：（1）因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）=0，即=0，解得b=1；从而有；经检验，符合题意；（2）由（1）知，f（x）=+；由y=2x的单调性可推知f（x）在