整式的乘法与因式分解知识点知识讲解

1、精品文档整式乘除与因式分解.知识点重点-m a骞的运算性质:an= am+nm、n为正整数同底数哥相乘,底数不变,指数相加.例:(-2a)2(-3a2)32.amnm、n为正整数哥的乘方,底数不变,指数相乘.例:(-a5)53.abn为正整数积的乘方等于各因式乘方的积.例:(a2b)3练习:(1) 5x3c 22x y(2) 3ab (4b2)(3) 3ab 2a,、2 2(4) yz 2y z一 2 、3(5) (2x y)(4xy2)1 3(6) a b3C 5, 26a b c2 2ac )_m _n _4. a a = am n(aw0, m、n都是正整数,且 m > n同底数骞

2、相除,底数不变,指数相减.例：(1) x8+x2(2) a4+a(3)(ab) 5+ ( ab) 2(4)(-a) 7 + (-a)(5)(-b) 5+(-b)25 .零指数哥的概念:a0= 1aw0任何一个不等于零的数的零指数哥都等于l.例：假设2a 3b01成立,那么a,b满足什么条件?1一 p6 .负指数哥的概念：a p= a任何一个不等于零的数的一aw 0, p是正整数p是正整数指数哥,等于这个数的p指数哥的倒数.也可表示为：m(mw0, nw0, p为正整数)7 .单项式的乘法法那么:单项式相乘,把系数、同底数哥分别相乘,作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母,那么连同它的指数

3、作为积的一个因式.例：1 3a2b1 . 22abc -abc313324(2) ( -m n) ( 2m n) 28 .单项式与多项式的乘法法那么:精品文档精品文档单项式与多项式相乘,用单项式和多项式的每一项分别相乘,再把所得的积相加.2 91例：(1) 2ab(5ab 3a b)(2) (-ab2ab) -ab3 22222 3(3) (-5m n) (2n 3m n )(4) 2(x y z xy z ) xyz9.多项式与多项式的乘法法那么：多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘,再把所得的积相加.例：(1)(1 x)(0.6 x) (2) (2xy)(

4、x y) (3) ( 2m n)2练习：1 .计算 2x 3 (2xy)(1xy) 3 的结果是2. (3X 10 8)X(4X 10 4)=23,假设n为正整数,且x 2n=3,那么(3x 3n) 2的值为 4.如果(a nb - ab m) 3= a 9b15,那么mn的值是1 .5. a 2(2a 3a) = 6. ( 4x 2+6x 8) ( x 2) =27. 2n( 1 + 3mn 2)= 8,假设 k(2k-5) + 2k(1 -k) = 32,贝U k=9. ( 3x 2) + (2x 3y)(2x 5y) 3y(4x 5y) =10. 在(ax 2+bx3)(x 2 ；x+8

5、)的结果中不含 x 3和 x 项,那么 a= _, b=11. 一个长方体的长为 (a+4)cm,宽为(a - 3)cm,高为(a + 5)cm,那么它的外表积为 ,体积为 .12. 一个长方形的长是 10cm,宽比长少6cm,那么它的面积是 ,假设将长方形的长和都扩大了2cm,那么面积增大了.10 .单项式的除法法那么：单项式相除,把系数、同底数哥分别相除,作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母,那么连同它的指数作为商的一个因式.例：(1) 28x4y2+7x3y (2) -5a5b3c+ 15a4b (3) (2x2y) 3 (-7xy2) + 14x4y311 .多项式除以单项式的法那

6、么：项除以这个(2) (5a3b 10a2b2 15ab3) ( 5ab)多项式除以单项式,先把这个多项式的每一 单项式,再把所得的商相加.例：(1) (3x2y 6xy) 6xy练习：1 .计算: 精品文档精品文档3 4 27xy12 27xy(2)_ 2 32x y3 2 22xy(3)16ab(4)3 2n4x yn 32xy(5)4 1092 1032.计算:(1) 16x3y31 : -x 21 22xy315xy(3)1a1b2n. nb3.计算:(1) 4 x(2) 16a4.假设(ax3my12)43x3y2n)=4x 6y8 ,易错点：在嘉的运算中,由于法那么掌握不准出现错误

7、；有关多项式的乘法计算出现错误；误用同底数哥的除法法那么；用单项式除以单项式法那么或多项式除以单项式法那么出错；乘除混合运算顺序出错.12 .乘法公式：平方差公式：(a+b) (ab) =a2 b2文字语言表达：两个数的和与这两个数的差相乘,等于这两个数的平方差.完全平方公式：(a+ b) 2= a2+2ab+ b2(ab) 2= a2-2ab+b2文字语言表达：两个数的和(或差)的平方等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍.例 1:(1) (7+6x)(7-6x) ;(2) (3y + x)(x-3y) ;(3) (-m + 2n)(-m-2n).精品文档精品文档例 2: (x

8、+6)2(2) (y-5)2(3) (-2x+5)练习:1、a54a2 3/ 3 2、22 、3 /2.3x(x y )2(x y) ( xy )=2、6a4b3 12a3b4 8a3b2 2a3b222223、x2 9y2 (x )2 ； x2 2x 35 (x 7)(2.13114、 x 5 ,那么 x3- =; x =xxx5、假设9x2 mxy 16y2是一个完全平方式,那么m的值是6、多项式x3 x2,x2 2x 1,x2 x 2的公因式是 x37、 因式分解： 8 °272_128、因式分解：4m 2mn n .49、计算：0.131 8 0.004 8 0.002 8

9、.2210、x y x y (x y) A,贝U A=易错点：错误的运用平方差公式和完全平方公式.13.因式分解(难点)因式分解的定义.把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.掌握其定义应注意以下几点：(1)分解对象是多项式,分解结果必须是积的形式,且积的因式必须是整式,这三个要素缺一不可;(2)因式分解必须是恒等变形；(3)因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系.因式分解与整式乘法是互逆变形,因式分解是把和差化为积的形式,而整式乘法是把积化为和差的形式. 二、熟练掌握因式分解的常用方法.1、提公因式法精品文档精品文档(1)

10、掌握提公因式法的概念；(2)提公因式法的关键是找出公因式,公因式的构成一般情况下有三局部：系数一各项系数的最大公约数； 字母一一各项含有的相同字母；指数 一一相同字母的最低次数；(3)提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式.需注意的是,提取完公因式后,另一个因式的项数与原多项式的项数一致,这一点可用来检验是否漏项.(4)注意点：提取公因式后各因式应该是最简形式,即分解到“底；如果多项式的第一项的系数是负的,一般要提出“一号,使括号内的第一项的系数是正的.例：(1) 8a3b2 12ab3c(2) 75x3 y5 35x2y42、公式法运用公式法分解因式的实质是把

11、整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：平方差公式：a2-b2= ( a+ b) (a b)完全平方公式：a2+2ab+b2= ( a+b) 2a22ab+b2= (a b) 2例：(1) a2b2 0.25c2(2) 9(a b)2 6(b a) 14222223) a x 4a x y 4x y22(4) (x y) 12(x y)z 36z练习:2一一 、.一、,一 . 2.2 一.1、右x 2(m 3)x 16是完全平万式,那么 m的值等于.2、x x m (x n)那么m=n =3、 2x3y2与12x6y的公因式是./ i,t - m n /2、/2/24、i-trr,n=4、右

12、x y =(x y )(x y )(x y ),贝U m=.2222422_4、 5、在多项式m n , a b ,x 4y , 4s 9t中,可以用平方差公式分解因式的有 ,其结果是.6、假设x2 2(m 3)x 16是完全平方式,那么 m=.2、 c / C-、加I /220042005 c20067、 x ()x 2 (x 2)(x )8、 1 x x x x 0,贝Ux .9、假设 16(a b)2 M25是完全平方式 M=. 10、x2 6x _ (x 3)2,x2 9 (x 3)2精品文档精品文档222211、假设9x k y是完全平万式,那么 k=. 12、假设x 4x 4的值为

13、0,那么3x 12x 5的值是22213、右 x ax 15 (x 1)(x 15)那么 a=. 14、右 x y 4, x y 6那么 xy .215、万程x 4x 0 ,的解是易错点：用提公因式法分解因式时易出现漏项,丢系数或符号错误； 分解因式不彻底.中考考点解读：整式的乘除是初中数学的根底,是中考的一个重点内容.其考点主要涉及以下几个方面：考点1、哥的有关运算例1. (2021年湘西)在以下运算中,计算正确的选项是()(A) a3 a2 a6(B) (a2)3 a5(C) a8 a2 a4(D) (ab2)2 a2b4分析:哥的运算包括同底数哥的乘法运算、哥的乘方、积的乘方和同底数哥的

14、除法运算.哥的运算是整式乘除运算的根底,准确解决哥的有关运算的关键是熟练理解各种运算的法那么解：根据同底数塞的乘法运算法那么知a3 a2 a3 2 a5,所以(A)错；根据哥的乘方运算法那么知(a2)3 a2 3 a6,所以(B)错；根据同底数塞的除法法那么知a8 a2 a8 2 a6 ,所以(C)错；应选(D).例2. (2021年齐齐哈尔)10m 2, 10n 3,那么103m 2n .分析：此题主要考查哥的运算性质的灵活应用,可先逆用同底数塞的乘法法那么am an am n,将指数相加化为哥相乘的形式,再逆用哥的乘方的法那么(am)n amn,将指数相乘转化为哥的乘方的形式,然后代入求值

15、即可.解：103m2n 103m 102n (10m)3 (10n)2 23 32 72.考点2、整式的乘法运算例 3. (2021年贺州)计算：(2a) (1a3 1) =4分析:此题主要考查单项式与多项式的乘法运算.计算时,根据法那么将其转化为单项式与单项式的乘法运算,注意符号的变化.精品文档精品文档1 31 314斛：(2a) (-a 1) = ( 2a) -a ( 2a) 1 = -a 2a.442考点3、乘法公式一,一,一2例4. (2021年山西省)计算：X 3 x 1 x 2分析:运用多项式的乘法法那么以及乘法公式进行运算,然后合并同类项222解： x 3 x 1 x 2 =x

16、6x 9 (x 2x x 2)22=x 6x 9 x 2 x x 2 = 9x 7.3例5. (2021年宁夏)：a b ab 1,化简(a 2)(b 2)的结果是2分析：此题主要考查多项式与多项式的乘法运算.首先根据法那么进行计算,然后灵活变形,使其出现(a b)与ab,以便求值.3解：(a 2)(b 2) = ab 2a 2b 4=ab 2(a b) 4=1 2 - 4 2.2考点4、利用整式运算求代数式的值221例6. (2021年长沙)先化简,再求值：(a b)(a b) (a b) 2a ,其中a 3, b -.3分析：此题是一道综合计算题,主要在于乘法公式的应用.解：(a b)(a

17、 b) (a b)2 2a222222aba 2ab b 2a2ab11当 a 3, b 时,2ab 2 3233.考点5、整式的除法运算例 7. (2021 年厦门)计算：(2x- y)(2x+ y) + y(y- 6x) 2x分析:此题的一道综合计算题,首先要先算中括号内的,注意乘法公式的使用,然后再进行整式的除法运算.解：(2x y)( 2x+y) + y(y6x) 2x= (4x2-y2+y2-6xy) -2x=(4x2 6xy) -2x=2x- 3y.考点6、定义新运算例8. (2021年定西)在实数范围内定义运算",其法那么为：aba2 b2,求方程(4 3)x 24的解

18、.22分析:此题求解的关键是读懂新的运算法那么,观察的等式a b a b可知,在此题中“定义的是平方差运算,即用“"前边的数的平方减去" 后边的数的平方.精品文档精品文档解：: a b a2 b2 , (4 3) x (42 32) x 7 x 72 x2._22_2_ 7 x 24 . x 25 .x 5.考点7、乘法公式例3 (1) (2021年白银市)当x a y 1时,代数式(x y)(x y) y2的值是.(2) (2021年十堰市)：a+b=3, ab=2,求a2+b2的值.解析：问题(1)主要是对乘法的平方差公式的考查.原式=x 2-y 2 +y 2= x 2 = 3 2=9.问题(2)考查了完全平方公式的变形应用,= (a b)2 a2 2ab b2,a2 b2 (a b)2 2ab 32 2 2 5 .说明：乘法公式应用极为广泛,理解公式的本质,把握公式的特征,熟练灵活地使用乘法公式,可以使运