第一讲指数函数

1、 第一讲 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算一、 知识梳理：1、 根式11、根式的有关概念次方根的定义：若，则叫做的次方根。当为奇数时，正数和负数都有次方根。其中正数的次方根依然是正数，负数的次方根依然是负数。当为偶数时，只有正数才有次方根，且正数的次方根有一正一负两个，这两个次方根互为相反数。0的任何次方根都是0.叫做根式，叫做根指数，叫做被开放数。1.2、开次方和次乘方的混合运算开方和乘方是互逆运算，如果开发的次数和乘方的次数相同，那么有以下公式： 对先开次方，再乘以次乘方，有公式：。 对进行次乘方，再开次方，有公式：2、 分数指数幂2.1、正数的分数指数幂的意义正数的正分数指数幂的意

2、义是；正数的负分数指数幂的意义是；0的正分数指数幂等于0，,0 负分数指数幂没有意义。2.2、有理数指数幂的运算性质；。3、 无理指数幂定义：若是无理数，则称称为无理指数幂。运算性质：无理指数幂的运算性质类似于有理指数幂的运算性质，即是无理数，有下列性质： ； 。无理指数幂的近似值：无理指数幂通常用近似逼近的方法将其转化为有理指数幂，用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值不断逼近无理指数幂的准确值。二、 典例精讲：例1 求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。分析：依据公式运算即可，但运算时要注意根据指数的奇偶情况。解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）方法点拨：当为

3、奇数时，；当为偶数时，要注意的奇偶性对式子的影响。例2 用分数指数幂表示下列各式：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）。分析：运用分数指数幂的意义。解：（1）；（2）； （3）； （4）；（5）； （6）。方法点拨：分数指数幂的指数在进行约分运算时，要注意底的正负。例3 求下列各式的值：（1）； （2）。分析：既含有分数指数幂，又有根式，应该把根式统一化成分数指数幂的形式，便于运算，如果根式中根指数不同，也应化为分数指数幂的形式。解：（1）原式=。（2）原式=。方法点拨：根式的运算一般化为分数指数幂的形式，由分数指数幂运算公式化简求值。例4 计算下列各式的值：（1）；（2）；

4、（3）。分析：利用分数指数幂的运算性质进行计算。根式先化为分数指数幂再计算。解：（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=。规律总结：本例是利用分数指数幂的运算性质进行运算，思路是利用分数指数幂的运算性质进行化简，直至计算出最简结果，这要求同学们一定要在记准、记熟的运算性质的基础上，结合问题灵活地进行运算。例5 已知，求下列各式的值。（1）； （2）； （3）。分析：从已知条件中解出的值，然后再代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值。解：（1）将两边平方，得，即。（2）将（1）式平方，有，所以。（3）由于，所以。方法点拨：对条件求值问题一定要弄清已知与

5、未知的联系，然后采用整体代换的方法求值。三、变式训练：1、 化简下列各式：（1）； （2）；（3）；（4）；（5）;(6)。2、 把下列各式中的写成分数指数幂的形式。（1）；（2）；（3）；（4）。3、 化简求值（式中字母都是正数）：（1）；（2）；（3）；（4）。4、求值：。5、化简。6、（1）已知，求值；（2）已知，且，求值。2.1.2指数函数及其性质一、知识梳理1、指数函数的定义一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为。指数函数的定义是一种严格的形式定义，也即是说，前的系数必须是1，指数的位置上只能有一个光秃秃的，像，等都不是指数函数。2、指数函数的图像和性质2.1、指数函

6、数的图像和性质一般地，指数函数的图像和性质如下表所示。底数图像定义域值域性质过定点，即时，在上是减函数在上是增函数2.2、不同底数的指数函数图像的渐进趋势比较同一坐标系中，画出不同底数的指数函数的图像如图所示。画出直线与四个指数函数，的交点依次为，所以有，因此可得出以下结论：（1） 当时，在轴左侧，的图像比的图像更靠近轴；在轴右侧，的图像比的图像更靠近轴。即底数大于0小于1时，底数越小，图像越靠近坐标轴。（2） 当时，在轴右侧，的图像比的图像更靠近轴；在轴左侧，的图像比的图像更靠近轴，即底数大于1时，底数越大，图像越靠近坐标轴。2.3、与的图像的关系当，且时，函数与的图像关于轴对称。3与指数有

7、关的复合函数的定义域和值域3.1、含指数函数的复合函数的定义域（1）由于指数函数的定义域是，所以函数的定义域与的定义域相同。（2）对于函数的定义域，关键是找出的值域的哪些部分在的定义域中。3.2、含指数函数的复合函数的值域（1）在求形如的函数值域时，先求得的值域(即函数中的范围)，再根据的单调性，列出指数不等式，得出的范围，解的值域。（2）在求形如的函数值域时，易知（或根据对限定的更加具体的范围，列指数不等式，得出的具体范围），然后在上，求的值域即可。4、指数函数单调性的应用4.1、幂的大小比较（1）比较与的大小，可利用的单调性来判断，如。（2）比较与的大小，可利用与图像与坐标轴的靠近程度不同

8、来画出与的草图，观察它们与直线的交点，交点在上方的对应幂值更大，反之更小。（3）与比大小，一般可引进中间量或，让与分别于中间量先比大小，然后得出与的大小关系。如。核心提示：对于多个幂的大小比较，可先粗略估计各幂的大小：是正还是负，比1大还是比1小等等，然后进行分组比较，这样可大大减少比较的次数。4.2、解指数不等式解指数不等式的一般方法是在不等式中去掉指数，以下是去指数的两种类型：（1） 当时，；（2） 当时，5、指数函数的图像的变换5.1、平移变换把的图像向左平移个单位，则得到函数的图像；若向右平移个单位，则得到函数的图像；若向上平移个单位，则得到函数的图像；若向下平移个单位，则得到函数的图

9、像；以上平移规律简记为“左加右减，上加下减”。5.2、对称变换函数的图像与函数的图像关于轴对称；函数的图像与函数的图像关于轴对称；函数的图像与函数的图像关于原点对称；函数的图像关于轴对称。二、典例精讲例1、指出下列函数哪些是指数函数。（1）；（2）；（3） ；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）。分析：根据指数函数的定义进行判断。解：由定义，形如的函数叫做指数函数，由此可以确定（1）（5）（8）是指数函数；（2）很明显不是指数函数；（3）是-1与指数函数的积；（4）中的底数，所以不是指数函数；（6）是二次函数，不是指数函数；（7）底数不是常数，不是指数函数。规律总结：基本初等函数：一次函数、

10、二次函数、指数函数及后面将要学到的对数函数、幂函数，都有一定的形式，要注意定义的要求。例2 函数的图像有什么特征？你能柑橘图像指出其值域和单调区间吗？分析：这是关于指数型的复合函数。解答这类题目，可先考虑指数的情况。解：因为故当时，函数为；当时，函数为。如图：其图像由和的合并而成。而和的图像关于轴对称，所以原函数关于轴对称。由图像可知值域是，递增区间是，递减区间是。规律方法：处理函数图像问题的常用方法：一是抓住图像上的特殊点；二是利用图像的变换；三是利用函数奇偶性与单调性。例3 比较大小（1）；（2）；（3）。分析：对同底的可依据指数函数的单调性来进行比较，对不同底的一般是采用“中间量法”来比

11、较。解：（1）考虑指数函数，因为，所以在上是增函数。因为，所以。（2）考虑指数函数，因为，所以在上是减函数。因为，所以。（3）由指数函数的性质知，而，所以。规律总结：（1）对于同底数幂，利用相应指数函数的单调性可以判断相应函数值的大小。（2）当底数不相同，指数相同时，可根据图像进行研究。（3）当底数和指数都不相同时，可引入第三个数进行比较。例4 求下列函数的定义域与值域。（1）；（2）。分析：由于指数函数的定义域是，所以函数与函数的定义域相同，在定义域内可利用指数函数的单调性来求值域。解：（1）令，得，所以，定义域为。因为，所以，所以的值域为（2）定义域为，因为，所以。故的值域为。方法点拨：求

12、与指数函数有关的函数的值域时，要充分考虑利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性，第（1）小题切记不能漏掉。例5 已知，求函数的最大值和最小值。分析 令，则函数的最值转化为二次函数在区间上的最值问题。解：设，因为，所以，则，故当，即时，取得最大值12，当，即时，取得最小值-24。规律总结：类似于本题中的函数是很常见的一种函数，用换元法解决非常简便（令），但要注意换元后新变量的取值范围。例6 已知。（1）判断函数的奇偶性；（2）证明是定义域内的增函数；（3）求的值域。分析：利用定义判断函数得到奇偶性和单调性，求值域时除用单调性外，还可用变量分离法。解：（1）的定义域为。因为，所以为奇函数。（2）证明：。任取则。因为 ，所以 ，所以 ，所以，所以是定义域内的增函数。（3） 解法1：令，所以 。因为 ，即，所以 。所以 的值域为。解法2：，因为 ，所以 那么 ，所以 所以 的值域为。规律总结：（1）奇偶性只能用定义做出判断。（2）单调性由定义或复合函数的单调性作出判断。例7 解不等式解 三、 变式训练1、 函数是指数函数，求的值。2、若函数的图像经过第一、三、四象限，则一