2020年高考数学一轮总复习三角函数、三角形、平面向量专题07三角化简的技巧与方法文(含解析)_第1页
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文档简介

1、专题07三角化简的技巧与方法一、本专题要特别小心:1 .角的范围问题2 .角的一致性问题3 .三角化简形式、名称、角的一致原则4 .角成倍角的余弦之积问题5 . “1”的妙用6 .辅助角的替换作用7 .角的范围对函数性质的影响8 .用已知角表示未知角问题二.方法总结:1 .三角函数的求值主要有三种类型,即给角求值、给值求值、给值求角2 .三角函数式的证明应从消去等式两端的差异去思考,或“从左证到右”或“从右证到左”或“从两边到 中间”去具体操作.3 .证明三角函数式恒等式,首先观察条件与结论的差异,从解决差异入手,确定从结论开始,通过变换将 已知表达式代入得出结论,或变换已知条件得出结论,常用

2、消去法等 三【题型方法】St 1 r(a'-)=s(一)用已知角表示未知角1 . (2018年全国卷II文)已知【答案】.【解析】:Sir tana - tan 4tana - 111 十 tuna 5解方程得3 tana =-22034P ( 55|).练习1.已知角a的顶点与原点 O重合,始边与X轴的非负半轴重合,它的终边过点(I)求sin ( a +兀)的值;_5(n )若角B满足sin ( a + B ) = &求cos B的值.45616【答案】(I)与;(n) 稿或黄.【解析】(I)由角口的终边过点所以(n)由角口的终边过点d=一513得, 枭 12 卬式 +户)=

3、±r由E = « + N)-我得。邻=也式。+外尔遍+ sag+同处加,5616cosB =cosB =所以 6 口或 65.点睛:三角函数求值的两种类型:(1)给角求值:关键是正确选用公式,以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数 (2)给值求值:关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用;变换待求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的练习2.已知口亦为锐角,【答案】(1);(2)4tava = d 32_由底4)=-5.(1)求w2b的值;(2)求的值.【解析】(1)因为tatia= Asina

4、tana =cosa4, 所以 sina = -cosao因此,cos a =25ro2(r - Zrfjjf a - I -25(2)因为“#为锐角,所以律+ AW(O.又因为因此mg + W=-2.f加(b= Jl -+户)二,所以tana =因为 3,所以2iuna 24tan2a =-1 -tan2 atan(a-ff) - m技2c - fad- P)| 因此,mn2a ian(a p')1 + t an 2atan(a + 0)点睛:应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”.(2)变名:通过变换函数名称达到减少

5、函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升哥与降哥”等(3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常值代换”、练习3.“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等【解析】:的内角满足:'变 母制;1 +可3'”前3”内(二)'T的变通1JmNr.M钝 3k,一丁例2.已知f(x)Ljii Xsin 2x2sin("- sin gtan2=2,求f( a )的值;(2)若xC诵,万,求f(x)的取值范围.已知山1成的内角34满足:%r=四或堀内填为 sinX【答案】(1)【解析】(1)f(x)

6、= (sin 2x+sin xcosx)+ 2sin1 cos 2x 1 . c+-sin 2x +sin(2K+万 J=十1(sin 2x cos 2x) + cos 2x =-(sin 2x + cos 2x) +.一.2s由 tan a = 2,得 sin 2 a =4M 1/ s-WVd 3c0s 2 "I存市曜所以 f( a ) = (sin 2 a + cos 2 a ) + =(2)由(1)得 f(x) = (sin 2x + cos 2x) +;=亚sin(2x+S +1.由xCJ JL12' 2ZB 5 n c 71 5 n,倚记w2x+L7所以f(x)的取

7、值范围是0,练习1.已知tana 一5,则.讷2仃二(15A. 17B.17C. 17D.817【答案】B【解析】,故选B。.Isinaecsasrn 0 +c<w o_2_2_ 153 5 - 174 tan<t 5 3(三)降骞公式的灵活应用 例3.已知函数.二+(1)求函数*)的单调递增区间;百驾(2)求函数卜二,(的-2在& 6上的零点.+ kir 彳 + %开(上 Z)【答案】(1);1较)I?.【解析】(1) 不)=。$油法:融旧-8£1u 5、 1.=35inZr + 普1" -cffs2-i) -(14- co.tZrJ=3s<n2

8、x - 3m$2pc + 2=2庐&in(Zx- ?)TT TT< 2jc - < + 2kak E 7 3 2.函数八心的单调递增区间为-卷 + m,而+ #巾上") J. £jL 4(2)由网:-2. = 2寸?占/打(2X- -)=0?<,:=上%(GW E)URJInrr 2n 77r(i上的零点是花 2n 7tf?y'T练习 1.cos 475-sin 475°A.B.的值为(2C.【解析】由题意,可知=eF得-§林7M = 315。*故选:A.练习2.已知f(x尸J3sin(x+)cos(x+ ,21)+ c

9、os (x+)- - (|I< -),若 f(0)=2,a=f(),b=f(11)1253c=f (24),A. a<c<ba<b<c C.c<a<b.c<b<a【解析】 具,-2ij>if2u4 -£710 .1LT.工65甘7r 衣2 46_47a = f(JT)= sin(四)特殊角的替换作用二工谪2工420十一6由题意得/(0)=疝川2平+_D.【解析】原式=1例4.A.故选:D.练习1.(2351 n70D-=A.【解析】由题意可得:(2、万$刖7。> - E川也。口2 双加 2Q*e$2 raslOsinl

10、中。口* 门 FU - VUJXVmW.%配20"43或130* + 10*)-300 -10*)=:- beH(三婚 i(r + 二 $湎io(三aio。-二疥 io1=. -g£ 1 ITjirnZO"ZsinlO'tfoslO* / a练习2.的借口 11十寸少"门10 )【答案】1【解析】原式=sin50 r sin50:-)、C051P''C051(F八.一。 MmHirwwiu" ex用pkhiif=2sin50 coslO0o SJHT ZfON+U"双门看 U5JR80a= 2sin50 , =

11、 1.m$iCT ms 10° CGsl0n(五)辅助角公式的灵活应用/W = hig«ax* + 2x-l)(j例5.,桁方隹淞 取何值,对八句)玳勺:任意$1m,十 v Jcosjr*总是恒成立,则口的取值范围是(A.w,)10L 63i - 7T7> +8)8040 449,-5【解析】一,成幻=%:联复个一 并、2i4H(Jf+ 彳)总是恒成立,即恒成立;4S点睛:本题主要考查了三角函数的性质,函数恒成立问题等函数的综合应用,难度较大;对于不论七取何值,【答案】D2 4 2sin(2x + -) 2 - 2gqs(2x + );63x e L1*心血 )小就|

12、 2 + 2sin(2x +%) = 箍%对鼠4)/门:任意 102总是恒成立,等价于,求三角函数的限及理雷通过三角运算公先将其化简为,ifftAT + I岳 054最后利用分离参数的思想求参数口的取值范围.练习 1.已知,刑唏+10'=3口540口【解析】由梗 1。+雨C51U=-2«)50二dnltf+mc«10fl =-2c«(10o+S(T)= -2 coS10:-sinl0整理得:mJ3一 *本题正确结果:3练习 2.: _-1由%0 =3C0522ft【答案】32.解析因为3.1 . = 3卬/20)名产加“"T/Trnr7n ,-

13、sin °,8s °,3g二五 jJ加空0" coljz2Oqffn/tFuas*2 r Lr Ir hx at. j、, n-r mu vsj hm &r fW -wax i-r j i iTi/4 M4L-40© 4s"40TKE®LUKI*u4(r=J2co.t40°-g(js40*j = 32所以 (- - 1+心4W门?20口 = 32o?*4,十 64 x4/20口 £如,/ 故答案为:(六) sin x cosx与 sin xgcosx 的关系例6.(1)已知0, srfRCOS2解曲Iq(2

14、)已知,一,msnY5息求Wan的值.【答案】(1) ;sRM皿也9 56【解析】从而,再由Sfl -可知,:灰而;试题分析:(1)根据结曾诺知条式两边平方百洲诲*L cos日=* dn 0co& =(cos 6 51恸的瑞值引巡 回题涌到,襄rt围易得 tan又 0因此考虑采用两角和的正切公式进行求解,利用同角三角函数的基本关系,结合已知条件中给出的角的范试题解析:(1) ,sin-=上那比-+.= i .=> 2 si n 0cos &,917 学 I?in 4 一 徐& , = (sin & + cow 曰厂4 dn 6 cos & = co

15、 s 而- sm:rf? = (cos t9+5in (<05-5111 = 0且 sin,213I-22又丁T -工呢恨一例二垩生竺二二1C0S(4Z - py J J . tand = tan3- +jg=561 -sin 工练习1.若K是三角形的最小内角,则最不僭是千+匚©5A. + , , B2-F-2 C . 1 D . 2【解析】试题分析:因为忻为三角形最小内角,所以.r E (C. -13',设,则f ="山刀 + £osjt =、+,所以,itI1",;y = y-练习2.已知为ect +CO2VCT = 5函数单调递减,所

16、以当,二十时,函数取得最小值,最小值为(1)(2)£ina +- cr),求的值.【答案】(1)1225;(2)【解析】(1 ) ; NW + jg岫 4cos«V =1 _ 125-2S而骐出吃口 二L-I2机(2) . isintf - cosff) = 1 - Zwiitic0ss 二4u又cr EnJTsinaf > o c < 07则 Qnu +=寓2 - uofi口 =-5(七)角的一致性例7.(1)已知函数常任长举/余变点门口+ 3 GlerU<b< 4求也仃的值;(2)若尹孝平 + 2s轴,g>4 mnfiji U (,14Z【

17、答案】(1)sinZa =-.(2)Zxjutfcjffiir =:整理得,即所以由(1)得2n 2a = d【解析】(1)函数市(且俣有产伞霸焉JT= 0(0 < a < -)(2)因为I - Zs-jji 卯 + 午=解得,JT3后(中)又 2,所以7,且所以所以练习1.(1)化简:.(2)若a、B为锐角【答案】(1) sin(T;siti(7T- a)cos(3- ff)tan(-ar-江)tan(a - 2z)taiiC4-a)5in(5+fl),且,3麴+协二鹤t二13 5lb(2)cos a =.【解析】试题分析:(1)根据诱导公式及同角三角函数关系式将其化简.(2)根

18、据ia、,为锐角,且崖屋融+B)= go.口2CC+G也为锐角.根据同角三角函数关系式可求得的值.叫端午样俱叫格#mccsa .试题解析:解:(1)一3”幻口(一&-初研口-2对,taa(4;r-忆)$山(5 江+(?)51口食匚白弓(兀一口;)一皿5 十出1 LLtan(-«) sin( + a)二工大行(tan 讨(一疝口")3(2)因为口、P为锐角,且,8式(X + B)=二.一峙13 5JL所以,si口(ot + p) =二:-13 516costz =cos(Qac十位一(口 十向j 二一65(A)三角化简与数列综合例8.已知数列 斗 前n项和为Sn,满足

19、落吊Ml的;且a 5,设函数万a)yn2+fi江叭y。的前17项和为(17 A.2【答案】DB. 9C. 11D. 1724sin2工-2 sin" =sin 2工-cos工一112、= 2dn-n+&数列an为等差数列;,一 , - - 二 ' '一,- I.T:-则数列yn的前17项和为汽2 +汽矽+- +八仆)=矶/(2 + /”) + 1 = 17故选:D.一§E 的ic I练习1.设等差数列满足:时,数弼l&J的前门项和*取得最大值,则首项的取值范围是 由题意当且仅当口 = 11时,数列1%)的前n项和取得最大值,A.11010(7

20、T.-)10【答案】D【解析】由,$加%厂0$% +触2gs乜一万打口 "出工叱,加044- %)£ “.=£油(叼 * a7)=克同 * 5d) = 1句阿q 4- %、21 W 个 2a,罐得八1 2 ,2二首项4的取值范围是("'7值I故选:D.练习2.设等差数列an满足,咚记d,金常缨特辑喂箱初产d田=1,0 ,所以4d (0,4),因此,&tn(c? 4 a-)2SS对称轴为-:内牖磅混"xH 3£赦到 唱n石Mn项和Sn取得最大值,-212816. 1610v 16%+区 9y、 ': =ji J

21、;f9所以,解得,因此吉项3 ai的取值范围是,一 .(九)向量与三角函数综合例9.已知。是锐角三角形A小壮的外接圆的圆心,且 “二。,若;"加心+ (""麻=z皿仞 i,inC sinltA. sin& b . cosO C . Lt)nO d .不能确定【答案】An cesB .ms匚-【解析】设外接圆半径为 附,则,+ 4C = 2m出门|5mL sirtff,cost - 一 cdsC .可化为,-(0H-U% + OCOA) = ZTn 点。(* )sinC3加口可知河。与。日的夹角为Z”, 0C与曲的夹角为2±8,题与心的夹角为0,川

22、苗=附&尸二五对与(*j左右分别与力作数量积,可得:。”浒”里、且福泮出节牌:*5品 的前n项和Sn取得最大值,sin(J5 + a-)则首项ai的取值范围是 .【解析】sin*zj4-cos2£24-bcos3 a4cos:-£in3 qsin%)。一8” 用的COS J,22 Si lite + O*). 1sin a4-cos a-cos- sin /(sin % co?根(言叟白纥? - si口里)(sin % cosii- +co$% 出口见)cosH 士 q cosB 上,cosC 一 一 , DA 0口。力工+0(: 0AsinCsinC sinlic

23、osCsinB口r costiiOSt q即, -|srnCstnliJ 2sinCcU +(- 2sM口ro$G =- 2由7T练习1.如图,已知0PQ是半径为 嗣,圆心角为E的扇形,。是该扇形弧上的动点, 其中。在线段OQ±,同m在线段加上,记U?”为。,力UCD是扇形的内接矩形,Q3 - cos2B(1) /C勺周长为(24"的最大值,并求此时 修值【答案】(1) 3; (2) 6【解析】 试题分析:(1)由条件利用直角三角形中的边角关系求出三角形的周长,利用三角函数的倍角公式进行化 简进行求解;(2)结合向量的数量积公式,结合三角函数的带动下进行求解试题解析:(1)耽=g' .二品!哂.二比小祖二/"52iunb4ew平方得,即, ,/%1 + flff26 -解得ts"二3(舍)或2(1 +2ta»2fl)

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