空间解析几何习题答案解析

1、、计算题与证明题1 .已知 | a | 1, |b| 4, |c| 5,并且 a b c 0.计算 a b b c c a.解：因为 |a| 1, |b| 4, |c| 5,并且 a b c 0所以a与b同向，且a b与c反向因此 a b 0, b c 0, c a 0所以 a b b c c a 02 .已知 |ab|3,|ab|4,求 |a|b|.解：| a b | a b cos 3(1)|a b| a bsin 4(2)222(1)22 得 a b 25所以a b 54.已知向量x与a(,1,5, 2)共线，且满足a x解：设x的坐标为x, y,z ,又a 1,5, 2贝Ua x x

2、5y 2z 33,求向量x的坐标.(1)又x与a共线，则x a 0即10 252y 5z i z 2x j 5x y k 0所以 2y 5z2 z 2x 2 5x y 20即 29x2 5y2 26z2 20yz 4xz 10xy 0又x与a共线，x与a夹角为0或cos0 1x a22222x y z 152整理得23z 一103.x2 y2 z2 v 30(3)1 1 11联立1、2、3解出向量x的坐标为 ,1, 16 .已知点A(3,8,7), B( 1,2, 3)求线段AB的中垂面的方程.解：因为 A 3,8,7 , B( 1,2, 3)AB中垂面上的点到 A、B的距离相等，设动点坐标为

3、 M x, y,z ,则由MA MB得222222,x 3 y 8 z 7 x 1 y 2 z 3化简得2x 3y 5z 27 0这就是线段 AB的中垂面的方程。7 .向量a, b, c具有相同的模，且两两所成的角相等，若a, b的坐标分别为(1,1,0)和(0,1,1),求向量c的坐标.解：a b c r且它们两两所成的角相等，设为则有 a b 1 0 1 1 0 1 1则cosa bal b12 r(3)134313设向量c的坐标为x, y,z1d贝Uac1x1y0zxya b cos r r 21(1)r1bc 0x 1y 1zy zbc cosr r 21rcvx2 y2 z2rV12

4、1202 超所以 x2y2 z2 2xx 1联立(1)、(2)、(3)求出 y 0或yz 1z1 ,1 41所以向量c的坐标为1,0,1或 1,4, 13 3 38.已知点 A(3,6,1), B(2, 4,1) , C(0, 2,3), D( 2,0, 3),(1)求以AB, AC , AD为邻边组成的平行六面体的体积.(2)求三棱锥A BCD的体积.求BCD的面积.(4)求点A到平面BCD的距离.解：因为 A3,0,1 , B 2, 4,1 , C 0, 2,3 , D 2,0, 3所以 AB 1, 10,0AC3, 8,2AD5, 6, 4(1) AB, AC,AD是以它们为邻边的平行六

5、面体的体积1100V 3823 100 00 120 12176564(2)由立体几何中知道，四面体ABCD (三棱锥A BCD)的体积Vt1V617688(3)因为BC2,2,2 , BD4,4, 4BC BD所以BC BD16 216i 16j 0k16 2 16 J2 ,这是平行四边形BCED的面积因此S BCD - S 口 BCED 1 16.28.222(4)设点A到平面BCD的距离为H ,由立体几何使得三棱锥A BCD的体积1 一 Vt S bcd H3所以H3VTS BCD3 88118 2211 221 .求经过点 &3,2,1)和8( 1,2, 3)且与坐标平面xOz垂直的平

6、面的方程.解：与xoy平面垂直的平面平行于y轴，方程为Ax Cz D 0(1)把点A3,2,1和点B1,2, 3代入上式得3A C D 0(2)A 3C D 0(3)由(2), (3)得 A D, C D 22代入(1)得 Dx Dz D 022消去D得所求的平面方程为x 2 z 0x y z .2 .求到两平面：3x y 2z 6 0和：上1距离相等的点的轨迹方程.25 1解；设动点为 M x,y,z ,由点到平面的距离公式得|3z y 2z 6| 5x 2y 10z 10|222222,312,5210所以3x y 2z 614一 1295x 2y 10z 102:6:5,求 的求出m66

7、193 .已知原点到平面的距离为120,且 在三个坐标轴上的截距之比为方程.解：设截距的比例系数为 k,则该平面的截距式方程为x y z 12 k 6k 5k化成一般式为 15x 5y 6z 30k 0又因点O 0,0,0到平面 的距离为120,则有30kl,12015 25262求出 k 4 286所以，所求平面方程为15x 5y 6z 120 . 286 05 .已知两平面 ：mx 7y 6z 24 0与平面 ：2x 3my 11z 19 0相互垂直，求m 的值.解：两平面的法矢分别为 n1 m, 1, 6 , n22, 3m,11 ,由nJ n2，得2m 21m 66 06 .已知四点

8、A(0,0,0), B(,2, 5,3), C(0,1, 2) , D(2,0,7),求三棱锥 D ABC 中 ABC面上的高.解：已知四点 A 0,0,0, B 2, 5,3 ,C 0,1, 2,D2,0,7，则DA2,0, 7 ,DB 0, 5, 4 , DC 2,1, 9由DA , DB , DC为邻边构成的平行六面体的体积为V DA,DB,DC9070 07z 14所以 7z 14699070 828由立体几何可知，三棱锥ABC的体积为VdABC1V 61 28286143设D到平面ABC的高为则有VD ABC1H 3S ABC所以3VD ABCS ABC又AB2,5,3 ,AC0,1

9、,AB AC7i4j2k所以,ABC因此,1 一一AB2143AC28269697.已知点 A在z轴上且到平面:4x272 4228 69692y 7z 14220的距离为7,求点A的坐标.解：A在z轴上，故设A的坐标为(0 0 z ),由点到平面的距离公式，得j7,42227 2则 z 2. 69那么A点的坐标为 A 0,0,2 698.已知点.A在z轴上且到点B(0, 2,1)与到平面：6x 2y 3z 9的距离相等，求点A的坐标。解：A在z轴上，故设 A的坐标为0,0, z ,由两点的距离公式和点到平面的距离|3z 9222623化简得 40z2 74z 229 0因为 74 2 4 4

10、0 22931164 0y 二都平行的平面的方10方程无实数根，所以要满足题设条件的点不存在。1.求经过点 P(1, 2,0)且与直线 土 义二 二二和个1101程.解：两已知直线的方向矢分别为v11,1,0, v21, 1,0 ,平面与直线平行，则平面的法矢aA, B, C与直线垂直由a，v1,有 AB00(1)由 a，v2,有 AB00(2)联立(1), (2)求得A 0, B0,只有C 0又因为平面经过点P 1,2,0，代入平面一般方程得0 1 02 C 0 D 0所以D 0故所求平面方程Cz0,即z 0,也就是xoy平面。3x-y+2z-1=0平行且与直线2,求通过点P(1, 0, -

11、2),而与平面线的方程.解：设所求直线的方向矢为 v m, n, p ,(1)3m n 2P 0直线与直线上 L2 三相交，即共面 421所以 7m 8n 12 0由(1),(2)得m n p则有42101 1 3 0 0 2m1 28 12n23127P ，即m31478nP503150, p 31 ,得求作的直线方程为,一_ x 33.求通过点A(0,0,0)与直线245031二的平面的方程.11B(y 0) C(z 0)解：设通过点A(0,0,0)的平面方程为A(x 0)Ax By Cz 0(1)x 3 y 4 z 4又直线z 在平面上，则直线的方向矢v与平面法矢n垂直211所以2A B

12、 C 0(2) 直线上的点3, 4,4也在该平面上，则3A 4B 4C 0(3)由(1), (2), (3)得知，将A, B,C作为未知数，有非零解的充要条件为x y z211034 4即8x 5y 11z 0,这就是求作的平面方程。4.求点P(1, 1,0)到直线人工 y- 二的距离.110解：点A 2,0, 1在直线上，直线的方向矢 v 1, 1,0AP1, 1,1，则AP与v的夹角为AP v110-cos : 0AP| v J 1 212 12 Jl21 2所以900因此点P1, 1,0到直线的距离为d AP 1 1 21 2 12333 3x y 2z 6 0 ,5.取何值时直线y与z

13、轴相交？x 4y z 15 03x y 2z 6 0解：直线 y与z轴相交，则有交点坐标为 0,0, z ,x 4y z 15 0由直线方程得2z 6 0,求得5z 15 07.求过点（3,25）且与两平面x 4z 3和3x y z 1平行直线方程.解：与两平面平行的直线与这两个平面的交线平行,则直线的方向矢垂直于这两平面法矢所确定的平面，即直线的方向矢为i j kv n1n2104311将已知点代入直线的标准方程得4i 13j kx 3 y 24138. 一平面经过直线（即直线在平面上）lz 51x 53-,且垂直于平面4x y z 15 0 ,求该平面的方程.解：设求作的平面为 Ax By

14、 Cz直线匚5 -2 -在该平面上，则有点 3145,2,0在平面上，且直线的方向矢v 3,1,4（2）0垂直，则它们的法矢垂直与平面的法矢n A, B,C垂直所以 5A 2B D 03A B 4C 0又平面与已知平面x y z 11所以A B C 0(4)联立(2),(3),(4) 得 BAd39-7D3434代入（1）式消去D并化简得求作的平面方程为5x 2y 2z 39 03.求顶点为O（0,0,0）,轴与平面x+y+z=0垂直，且经过点（3,2,1）的圆锥面的方程.解：设轨迹上任一点的坐标为P x, y, z，依题意，该圆锥面的轴线与平面 x y z 0垂直，则轴线的方向矢为 v1,1

15、,1 ,又点O 0,0,0与点3,2,1在锥面上过这两点的线的方向矢为li 3,2,1，点O（0,0,0）与点P x, y, z的方向矢为I2 x, y,z，则有I1与v的夹角和12与v的夹角相等，即x 1 y 1 1 13 1 2 111222222. 222222x yz1 11.32 11 11化简得所求的圆锥面方程为.2.2.211x11y11z14xy14yz04.已知平面 过z轴，且与球面x2 y22的圆，求该平面的方程.解：过z轴的平面为 Ax By 0z2 6x 8y 10z 41 0相交得到一个半径为(1)球面方程化为 x 3 2 y 4 2 z表示球心坐标为 O 3,4,

16、5到截面圆的圆心的距离为d;32T J5 ,如题三.4图所示由点到平面的距离公式为3A 4B|.A2 B25化简得 4A2 24BA 11B20次方程地24B . 24B 2 4 4 11B224一111求出 A11B,A211B221 11-分别代入(1)式得一BxBy 0, BxBy02 23消去B得所求平面方程为 x2 y或x y11x 15.求以z轴为母线，直线为中心轴的圆柱面的方程.y 1解：如习题三.5所示，圆柱面在xoy平面上投影的圆心坐标为1.1 ，半径为 J2 ,所以求作的圆柱面方程为- 2/ 2x 1 y 126.求以z轴为母线，经过点A(,4,2,2)以及B(6, 3,7

17、)的圆柱面的方程, .222解：设以z轴为母线的柱面方程为x a y b a2因为点A(,4,2,2), B(6, 3,7)在柱面上，则有4 a 22 b 2R2(2)22_ 26 a 3 b R(3)229则 a 0 b 0R2(4)联立(2),(3),(4) 求出a 型，b 夕，R2a584代入(1)式得所求的柱面方程为225x87 .根据k的不同取值，说明(9 k)x2 (4解：方程 9 k x24 k y21 k z2k9时,(1)式不成立，不表示任何图形；222_， 、 ， xyz4 k 9时,(1)式变为一5 J -2 abc6425225y464k)y2 (1 k)z2 1表示的

18、各是什么图形.1(1)1,表示双叶双曲线k 4时,(1)式变为2 x-2 a2 y_ b22勺 1,表示单叶双曲线；cx21时,(i)式变为 a2 y2 z2 c1,表示椭球面;1时,(1)式变为2 x -2 a2 y b21,表示母线平行于 z轴的椭圆柱面；4时,(1)式变为2 z b71,表示双曲柱面；k 9时,(1)式变为2 y b22 z -2 c1,不表不任何图形；1 .已知 |a| 2, |b| 7, |c| 5,并且 a b c 0.计算 a b b c c a .解：|a| 2, |b| 7, |c| 5,且a b c 0则a与c同向,a、c均与b反向.所以 a b b c c a 02 7cos1800 7 5cos1800 5 2cos0014 35 10393 .已知点A(0,1,4), B( 2,3,0)求线段AB的中垂面的