初二-第07讲-无理数与平方根-教案

1、无理数与平方根一、上节课重点回顾慨念正数和员数数铀相反数，地对值、倒裁.近似数国科学记数怯有理鼓，分衿正整数按数、0员整数分濒.正分数员分数571 口法与减法”运算1乘法与除法）混合运笄乘方堂导入数”，即宇宙间的一切现象都能归结为整数与整数A 早在公元前，古希腊数学家毕达哥斯拉认为万物皆之比，也就是一切现象都可以用有理数去描述，后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，他认为在生活之中还存在除有理数之外的另一种数。探究：如图，讲一个长为 4cm,宽为2cm的长方形纸片剪成一个正方形，最后得到的正方形面积是多少？他的边长是整数吗?无理数的概

2、念1、无理数：也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式,小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。例如圆周率兀。2、有理数与无理数的区别：（1）把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数或无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数。（2）所有的有理数都可以写成两个整数之比，而无理数却不能写成两个整数之比。典例分析例1、下列实数中的无理数是（）A. 0.7C.兀【解析】选：C.例2、下列实数中，是无理数的为（）C.B. 0.101001D,肥【解析】故选D.例3、把下列各数分别填在相应的集合中：-% 诋-久【解析】有理数集合：（若，0，帆|，0.23，3.14,

3、），无理数集合:（一,，-Vin,药理歌生r钊拉黑片例4、判断下列说法是否正确，如果正确请在括号内打“M”错误请在括号内打 “ X；并各举一例说明理由.(1)有理数与无理数的积一定是无理数.X(2)若a+1是负数，则a必小于它的倒数.V .1%举一反三1、实数0、癌、4、兀中，无理数有()A. 1个 B. 2个 C. 3个D. 4个【解析】B.2、在一J (-5)2, 2 & 言，0中无理数个数为()A. 1个B. 2个 C. 3个 D. 4个【解析】B.3、下列说法正确的是()A.带根号的数是无理数B.无理数就是开方开不尽而产生的数C.无理数是无限小数D.无限小数是无理数【解析】C.

4、4、有下列说法：(1)无理数就是开方开不尽的数；(2)无理数是无限不循环小数；(3)无理数包括正无理数、零、负无理数；(4)无理数都可以用数轴上的点来表示.其中正确的说法的个数是()A. 1 B. 2C. 3 D. 4【解析】B.A /x就叫做a的算术平吏知”识I要I点L平方根与算数平方根1、算术平方根的概念一般地，如果一个正数x的平方根等于a ,即x2 a ,那么这个正数方根，记做向读作根号a”。注意：(1)特别地，我们规定 。的算术平方根是 0,即J0 0。(2)负数没有算术平方根，也就是说，当式子ja有意义时，a 一定表示一个非负数。(3)而(a 0 )是一个非负数。2、平方根的概念(1

5、) 一般地，如果一个数 x的平方等于a ,即x2 a ,那么这个数x就叫做a的平方 根(也叫做二次方根)。(2) 一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是 0本身；负数没有平方根。(3)开平方的概念：求一个数 a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。3、J02与JIa 0 的性质(1)行 |a| ,即当a 0时，后 a ；当a 0时，JO2a。(2) Vaa(a 0)。例1、( - 2) 2的平方根是()A. 2B. 一 2C. ± 213【解析】C.例2、用代数式表示实数 a (a> 0)的平方根：_±也士爪.【解析】用代数式表示实数a (a>

6、0)的平方根为： ±4, 故答案为:例 3、计算(-1.)0-74=()A.TB.-3C. - 22【解析】A例4、下列等式正确的是()【解析】D.举一反三1、4的平方根是()C. 2A. ±2 B. - 2【解析】：A.2、已知一个正数的平方根是2x和x - 6,这个数是 163、一个正数的x的平方根是2a- 3与5- a,求a和x的值.【解析】一个正数的 x的平方根是2a - 3与5 - a,2a-3+5-a=0,解得：a=- 2,，2a-3=-7, . . x= (-7) 2=49.4、已知： 而于两与亚西互为相反数，求(x+y) 2016的平方根.【解析】由已知可得

7、:7k _ y43+/x+2y=0,则0-y+3=0 |bx+2y=0x= - 2,( x+y)1月2016 = 1(x+y) 2016的平方根是±1学朝说（1）二次根式是从形式上定义的，不能从化简结果上判断，如（2）像 向+1 （a>Q这样子的式子只能称为含有二次根式的式I课堂例类为二次根式X.初出茅庐1.在下列实数中:0，羡-3.1415 , y,22T0.343343334无理数有（A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解析】B.2.下列四个数中,是无理数的是（A.JU7227C.D.3. ± 3是9的（A.平方根B.相反数C.绝对值D.算术平方根【解析】A

8、.4.如果一个正数的平方根为2a+1 和3a 11,贝U a=B.D. 95 . 4瓦的平方根是（A. 81B. ± 3C.D. 3【解析】B.6 .化简的值为（A. 4B. - 4C. ± 4D. 2【解析】A.7.在:22V64, 7.151551 （每相邻两个“1”之间依次多一个“ 5”）中,整数集合,分数集合,无理数集合.【解析】整数集合0, - JR；分数集合骂，3.14;无理数集合工，-y，7.151551.I T I58 .已知一个正数的两个平方根是x - 7和3x - 1,则x的值是 2 .【解析】一个正数的两个平方根是x - 7和3x - 1,.x 7+3

9、x1=0.解得：x=2.故答案为：2.9 .若正数m的两个平方根分别是 a+2与3a - 6,则m的值为 9 .【解析】.正数 m的两个平方根分别是 a+2与3a-6,.-a+2+3a-6=0,解得：a=1,贝U a+2=3,贝U m的值为：9,故答案为：9.10 .如果V：的平方根等于土 2,那么a= 16 .16.【解析】:（士 2） 2=4, . . Va=4, . . a= （4） 2=16.故答案为:11.已知肝4y-5+|2x 3|=0 .(1)求 x, y的值；（2）求x+y的平方根.解析(1) -1 4法+4y - £>0,|2x - 3| >0侬+4y

10、- 5+Rx - 3|=0，二 2x+4y - 5=0, 2x - 3=0,则x=，y= x+y=-+i=2,则x+y的平方根为土 近.12 .已知 a, b 为实数，且 Vl+a- (bT)近=0,求 a2015-b2016的值.【解析】: M 1+l (bT)由-b=0, ,M1+&+(1 b) J-匕=0,.1 1 - b> 0,1+a=0, 1 - b=0,解得 a= - 1,b=1,a2015-b2016= (- 1 ) 2015 - 12016=- 1 - 1 =- 2.13 .若5a+1和a - 19是数m的平方根，求 m的值.【解析】当(5a+1) + (a 19

11、) =0,解得：a=3,贝U m= (5a+1 ) 2=162=256.当 5a+1=a-19 时，解得：a=- 5,贝U m= ( - 25+1 ) 2=576.故 m的值为 256 或 576.优学学霸1 若实数x, y满足(x - 工2.206 )Zy2-2CQ6)=2016-(1)求x, y之间的数量关系;【解析】解：(1) (x-U 2_2016)(y-Vy2-2016)=2016,gO182。16 5寸/_20163y2-(y2-2016)=y+,ED,同理得：x+Vi2-2016=y -Vy2-2016(2)求 3x2-2y2+3x - 3y-2017 的值. + 得：2x=2y

12、 , . . x=y ,(2)把x=y代入得： x卡：|-i=x+ 1 lix2=2016,贝U 3x2 - 2y2+3x - 3y - 2017,=3x2 - 2x2+3x - 3x - 2017, =x2-2017, =2016 - 2017, = - 1,2.已知a, b为正实数，试比较与，几+巫的大小.【解析】解：作差，得:)-(Va+Vb)a-b +Vb Va(a-b).a、b为正实数壬.r+ 1，Vab/ab3.如图，数轴上有 A、B两点，AB=12 ,原点O是线段 AB上的一点，OA=2OB .(1)写出A, B两点所表示的实数；(2)若点C是线段AB上一点，且满足 AC=CO+

13、CB ,求C点所表示的实数；(3)若动点P、Q分别从A、B同时出发，向右运动，点 P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为 t秒，当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动.当t为何值时，20P - OQ=4 ;当点P到达点。时，动点M从点0出发，以每秒3个单位长的速度也向右运动，当点 M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点 P运动，遇到点P后再立即返回，以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P、Q停止时，点M也停止运动，求在此过程中，点 的实数.0>1A0B【解答】解：(1)AB=12 , A0=20B ,A0=8 , 0B=4 ,二.A点所表示的实数为-8

14、, B点所表示的实数为4;(2)设C点所表示的实数为x,分两种情况：点 C在线段0A上时，则xv 0,如图1, . AC=C0+CB , l- 8+x= x+4 x,3x= 4,_ 4x= 3'点C在线段0B上时，则x>0,如图2,AC=CO+CB ,8+x=4 ,x=-4 (不符合题意，舍)；综上所述，C点所表示的实数是- 三,(3)当0Vt<4时，如图3,AP=2t , 0P=8- 2t, BQ=t, 0Q=4+t , 2OP-OQ=4, 2 (8 - 2t) - ( 4+t) =4,t= 7-1.6,5当点P与点Q重合时，如图4,2t=12+t, t=12 ,M行驶的

15、总路程和点M最后位置在数轴上对应当4<t< 12时，如图5,OP=2t 8, OQ=4+t,S* 3- *0 尸口一争 VfQ)图6则 2 (2t 8) ( 4+t) =4, t=8,综上所述，当t为1.6秒或8秒时，2OP-OQ=4;当点P到达点。时，8+2=4此日OQ=4+t=8,即点Q所表 示的实数为8,如图6,设点M运动的时间为t秒，由题意得：2t - t=8 ,t=8,此时，点P表示的实数为8X2=16所以点M表示的实数也是16,，点M行驶的总路程为：3X8=24答：点M行驶的总路程为24和点M最后位置在数轴上对应的实数为16.A.0B.TC.D.辛【解析】C.2.64的

16、平方根为()A. 8B. ±8 C. - 8D. ±4【解析】B.3若 I - -=2 -a,则a的取值范围是()A. a=2B. a>2C. a>2 D. a<2【解析】D.4 . JiE的值等于()A. 4B. - 4C. ±4 D.F【解析】A.5 .下列计算正确的是A(19【解析】A .B. 4( 2产-2C. (-2) 0=- 1 D. | - 5- 3|=2无理数集合兀,7 . (- 0.7) 2的平方根是±0.7 .【解析】一( 0.7) 2= ( 土 0.7 2, (- 0.7) 2的平方根是±0.7故答案为：±0.78 .已知一个正数的两个平方根分别为3a4和12 5a,则a= 4【解析】一个正数的两个平方根分别为3a - 4和12 - 5a,3a-4+12-5a=0,解得：a=4.故答案为：4.9 . 一个实数的两个平方根分别是m-5和3m+9,则这个实数是36【解析】m 5+3m+9=0 ,解得m= - 1,所以 m - 1= - 6,所以这个实数是(-6) 2=36,故答案为：36.10 .已知(2x+y) 2+网+2产+3=0,求x- 2y的平方根.2料尸Qri的+3=0工二1行一 2是 x-2y=1