高校食堂窗口设置

1、吉林财经大学2009-2010学年第二学期数学模型期末试卷考试形式：论 文课程模块： 成绩：论文题目:高校食堂窗口设置问题专业：班级：0803:王艳菊学号：l：L0：108032：L高校食堂窗口设置问题一、摘要随着我国高校的扩招及教育事业的发展，高校食堂在不断扩大其自身容量 的同时，其在高校发展中扮演的作用也越来越重要.同时高校食堂也面临着经营 管理方面问题的严峻挑战。高校学生对食堂服务怨声载道,其中等待时间过长的 问题尤为突出。如何有效利用有限的人力、物力资源提高服务质量和效率成为高 校食堂赢利的关键。在此讨论高校食堂服务系统窗口设置的优化问题。根据各工作曰不同时间段 内顾客的多少适当地増减

2、窗口，从而在顾客平均等待时间和银行服务窗口数量之 间找到一个最优的状态。在顾客等待时间容许的情况下，使银行所设的窗口最少 从而使食堂的收益达到最大。本文运用排队论原理针对高校食堂窗口设置问题建立了多服务窗口等待制M/ M/N （即泊松输入、负指数分布服务、N个服务台）模型，最终求得了我校 应在非周末、节假曰设置7个食堂窗口 ；对于周末、节假日设置5个食堂窗口是 使学生和食堂达到满意程度的最优窗口设置数量。关键词 排队论食堂窗口M/M/N模型二、问题重述随着我校办学的不断发展，后勤工作，特别是直接面对学生的食堂工作，显 得曰趋重要。我们在食堂常常看到这样一种现象：由于在开餐的高峰期.学生就 餐的

3、人数多，而服务窗口较少，使得学生抱怨排队等待的时间太长。再有.如果 服务窗口太多，对于食堂来讲浪费了一定的人力、物力，不利于食堂向高效益方 面发展。如何使双方都达到满意，这是我们迫切需要解决的实际问题。请运用数 学模型原理解决食堂服务窗口设置数量问题。三、基本假设与符号说明()基本假设：(1) 学生到达食堂的时间是独立的，服从一种特定的概率分布;(2) 服务时间是独立的，服从一种特定的概率分布；(3) 所有到达的学生都进入排队系统，并在那里直到服务结束；(4) 排队系统有一个无限队列，因此可以容纳无限量的学生；(5) 学生服务优先规则是先到先服务；(6) 工作时间足够长，能使服务系统达到稳定状

4、态；(7) 每一个学生由一个服务窗口单独提供服务。(-)符号说明：兄:学生到达强度；“：食堂窗口数量；m :食堂中的学生数量；“:食堂单个窗口的服务率；0:系统的服务强度；厶：队长(平均学生数)；：队列长(等待的平均学生数)；h:平均忙着的服务窗口个数；叫:学生等待时间；VV :学生逗留时间;c(5 :学生等待的概率；Pm(t + At):在/ +/时刻系统中有?个顾客(即状态为加)的概率。三、模型的建立与求解31模型原理：排队论是研究排队系统的理论，又称为随机系统的理论，它提供了很多不同 的排队模型，通过这些排队模型能够找到服务成本和服务水平之间较好的平衡。 排队系统是由输入过程、排队规则和

5、服务方式等3个组成部分。输入过程指各种 类型的顾客按怎样的规律到来主要类型有定长输入、泊松输入和爱尔朗输入。 其中泊松输入适用最广泛。排队规则指到达的顾客按怎样的次序接受服务。主要 有损失制、等待制和混合制。服务方式指同一时刻有多少服务台可接纳顾客，每 顾客服务了多长时间。主要有定长分布、负指数分布、爱尔朗分布几种方式。排队现象是指顾客以特定的或变化不定的速度到来，按照一定的服务规则接 受服务员服务的过程。排队系统是指存在着排队现象的系统。主要研究和计算的 数量指标有：(1) 队长，系统中的全部顾客数；(2) 队列长，系统中排队的顾客数；(3) 顾客在系统中的逗留时间,包括顾客排队等候及被服务

6、的时间；顾客在系统内排队等候时间；(5)忙期，指服务机构连续接待顾客的时间长度，即指服务强度。为了叙述方便，引入下列记号;令M代表泊松输入或负指数分布服务于是泊 松输入、负指数分布服务、N个服务台的排队系统写成M/M/N。3.1丄单服务窗等待质排队模型（M/ M/1）排队模型M/ M/1表示顾客源为有限的，顾客的到达相互独立，到达规律服 从参数兄的泊松分布；单服务台，队长无限，先到先服务；各顾客的服务时间相 互独立，且服从参数为的负指数分布。1.确定系统在任意时刻7的状态为川的概率已知顾客的到达规律服从参数为2的泊松分布，服务时间服从参数为“的负 指数分布；若有加个顾客，只有一个接受服务，其余

7、的顾客排队等待，有无限个 位置可排队，于是在时间间隔门+ 4）内有：1）有一个顾客到达的概率为/lAr + o（AO.2）没有一个顾客到达的概率为1-M/ + o（4）.3）有一个顾客被服务完的概率为“lr + o（Ar）.4）没有一个顾客被服务完的概率为1-/丛/ +。（山）.5）多余一个顾客到达或服务完离去的概率为。则在F + 4时刻系统中有加个顾客（即状态为加）的概率”（ + 可能的情况 见表一O表一 加状态的概率化（/+/）情况时刻/的顾客数在区间（/,/+）在时刻/+/的顾客数匕(+/)到达离去伫(1 “!/)(A)mXXmI+1(r)(l-/Ar)(/zAr)m+XVm化i(r)(

8、M/)(l-心/)(B)化皿X如)m-vmX(C)mmVV(D)这是一个生灭过程，四种情况是相互独立的事件，则有P, (f + $) = Pm (0(1-久M + 化+ (/”血 + 代-泗 +。),整理得垃(/ + ：)匕=(_2 _叽* /比屮+妃-+竿，/Ar并令A/0,则得冬 = _(2 + 叽 + % (/) + 几化(/), m = 1,2, L. at当2 = 0时，类似地，可有at为求稳态解，假设当S时，化的极限存在，即有=一(几+“)化(0+%(0+%(0=0,at则（兄+ ）匕=叭从+几出I, m 1这是关于几的差分方程，也反映了系统状态的转移关系，即每一状态都是平衡的,见

9、图一。求得片=/“）&,递推可得化=/“）（心）.图一M/ M/1的状态转移关系图令p = w 称为服务强度。即为平均到达率与平均服务率之比。由概xxp率的性质：工匕=1,即仇工矿=各=1,于是加w-o1 P仇=1-。几=（1-/?051就是所求的系统状态为加的概率。2 系统的运行指标（1）队长（平均顾客数）：因为系统的状态为J由期望的定义得Pl Q0C00& = 5化=2(1 - Q0 =;n-0/n-0（2）队列长（等待的平均顾客数）Lq = Z (加-1)化=d- P)P2 仙-DP=旦，m-1“ /t(3) 系统中顾客的逗留时间：系统中的一个顾客的逗留时间o,服从于参数为-久的负指数分

10、布，分布函数和分布密度分布为Fco) = 1-严恥 J(e)=(-刃e-gm,所以有vv5=L_.(4) 系统中顾客的等待时间：巴=叱-丄二厶，其中一个顾客平均服务时间为r = l/ /.(5) 系统内多余k个顾客的概率为P = PXkk=-P = -Yjpk(-p) = pM .下列关系式又称为运行指标的Little公式：厶=兄叱占=2陷叱=叱+丄丄=厶_仝“P多服务窗等待质排队模型(M/ M/ N)上面分析的是只有一个窗口服务的情形，对于我们来讲高校食堂的服务窗口大体是这样的，见图二：窗口（1）窗口窗口（3）图二高校食堂窗口设置图这个系统可看成n个M/ M/ 1型的子系统。每个窗口的平均服

11、务率“不变，则每个窗口的平均到达率为丄船 这时每个窗口 n的服务强度变为A= = -p.njLt n类似的我们可求岀每个窗口的平均队长和平均等待时间为1 1;p _ P、命才 _ P .-p np入de3.2问题分析：对于学生到达食堂时，当其未能得到及时服务时，往往要排队等待，这就可以用排队论的有关原理来解决食堂窗口配置的问题。根据学生到达食堂的实际情况,周末或者节假曰超市的学生数要比平时相应的时间人数有明显的减少。为便于研究,可以把学生到达看做符合泊松过程，而服务时间服从负指数分布。因此,进一步 说食堂服务系统可近似看做M/ M/N排队系统，即顾客到达为泊松流、服务时间 服从负指数分布、多个

12、服务台的排队系统。设系统有n个服务窗口，且各窗口工作是相互独立的，学生按泊松流到达的 强度为人；又各窗口服务时间为负指数分布，单个窗口的平均服务率为“，则整 个食堂窗口的平均服务率为令PW,称为系统的服务强度。当1 时，系统就会出现排队现象，即有学生在排队等待。在此约定只排一个队等候， 拿个窗口出现空闲时，等候的学生按先后顺序前往空闲的食堂窗口接受服务。系 统的排队模型如图三。到达离去图三 多服务窗口等待制模型M/ M/n框图由于系统没有限制学生来源和系统容量，故系统的可能状态集应为E = 0,l,2,L,由此可以画出系统的状态流图如图四。图四 M/M/n模型状态流图如图四所示，状态k(Okn

13、)表示系统内有k个服务窗口忙着接待学生，其 余个服务窗口空闲着；当倒达系统的学生超过小 时，,7个服务窗口 均忙着接待学生，而余下的k-n个学生排队等候。3.2模型的建立在平衡条件下，系统状态概率的平衡方程为(k + l)/z/+1 += (24-kjii)Pk, knQ由递推关系求得系统的状态概率为=认为系 统不稳定，排队长度会越来越长。3.3模型的求解我们采集了两组数据：(1) 平时(周末、节假曰除外):学生平均到达率为：720人/小时，每个服务窗口平均服务率为180人/小时；(2) 周末、节假日：学生平均到达率为:504人/小时,每个服务窗口的服务率仍为180人/小时。使用Matlab软

14、件进行编程，如下:fun ctionPO,PN,lendaefflLs,Lq,Ws,Wq=modelllenda二input(请输入到达速率：);mhu=inpurtC请输入服务速率：)； n二inputC请输入窗口个数:);rho=lenda/mhu;P0=(l-rho)/(l-rhoA(n+l);lendaeff=mhu(l - P0);u=n;for i=l:usl=u*(u-l); u=u-l;end for i=0:r o=m-ai;end for i=l:o s2=o*o-l; o=o-l;End s3=symsun(sl/s2,0,n) P0=(l/s3)*rhoAai; PN=

15、(sl/s2)*rhoA rrPO; Ls=n-rho(l-PO);Lq=Ls-(l-PO); Ws=Ls/lendaeff; Wq 二 Lq/le ndaeff; POPNLsLqWsWq求得结果如下:服务指标系统类别（平时/节假口）PN = 50. 933/ 1. 333N = 60. 7/ 1N = 7/(). 8N = B/(). 675人)12.3/1/2, 2/(). 6I人丿15. 1/3./6. 2/4. 687. 8/7. 1/II/3Ws(S)107. 8/27. 1/31/23图五计算结果图3.4结果分析如果服务强度Q1,系统不稳定肯定会有越来越多的人排队等待。因此 我们

16、只计算了服务强度p 1的情形。从M/ M/N系统服务指标表中可以看出:平时如果配备6个服务窗口，学生 需要滞留等候约107.8秒，而工作人员的服务强度为0.933,就是说，工作人员工作 效率很高，有较少的空闲时间，但顾客得到服务较慢，等待的时间较长；若配备7个 服务窗口,则学生等待时间约为27丄秒工作人员强度减小，有较多的休整时间。若 配备8个服务窗口,则学生几乎无需排队即可得到服务但工作人员的工作时间显 得松散.因此，平时配备7个服务窗口较适合；对于周末、节假曰我们同样可以分 析出配备5六个服务窗口为佳此时顾客只需排队等待约23秒就可得到服务而 工作人员的工作强度也适中。因此，在没有其他条件限制的情况下，食堂管理层应适时的调整窗口的设置， 非周末、节假曰采用M/ M/7系统；对于周末、节假曰采用M/M/5系统。四、模型的评价及推广本文分别统计了我校食堂在平时和周末、节假曰时的学生平均到达率和每个 服务窗口平均服务率，利用排队论的有关知识分析了高校食堂系统的特点，结合d 单服务窗口等待制排队模型M/ M/1构建了多服务窗口等待制排队模型M/ M/ N 针对高校食堂窗口设置问题建立数学模型，通过求解数学模型，得到模型的最优解 决方案。该模型在满足学生要求和食堂规定的情况下对窗口设置进行了优化，减 少了人力资源和财力资源