高三数学一轮复习函数与导数解析版

1、B单元函数与导数B1函数及其表示14.、2014安徽卷若函数f(x)(xC R)是周期为4的奇函数，且在0, 2上的解析式为f(x)e 2941则faj+ 6厂'X (1 x) , 0<x< 1 , =、sin ttx, 1<x<2,14福解析由题易知詈j+ f管卜f(-3 1+ f(-6)=-f0飞=-4+sinf = 5 16.2.、2014北京卷下列函数中，定义域是 R且为增函数的是()A. y=e x B. y=xC . y= In x D . y= x|2. B 解析由定义域为R,排除选项C,由函数单调递增，排除选项 A, D.21.、2014江西卷将

2、连续正整数1, 2,，n(nC N )从小到大排列构成一个数123 n, F(n)为这个数的位数(如nF(12)=15),现从这个数中随机取一个数字，p(n)为恰好取到0 的概率.求 p(100);(2)当n02014时，求F(n)的表达式；(3)令g(n)为这个数中数字0的个数，f(n)为这个数中数字9的个数，h(n) = f(n)g(n), S = n|h(n) = 1, n<100, nCN *,求当 n C S 时 p(n)的最大值.21.解：(1)当n=100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11,所以11恰好取到0的概率为p(100) = -192n, K n

3、< 9,2n 9, 10<n<99,F(n)=3n108, 100<n<999,'4n1107, 1000<n<2014.(3)当 n = b(1&b&9, bCN*), g(n) = 0;bCN)时，g(n) = k；当 n=10k+b(1&k&9, 0<b<9, kC N ,当 n= 100时，g(n)=11,即 g(n) =(0, 1<n<9,k k, n=10k+b, 1<k<9, 0<b<9, kCN*, bCN,11, n=100.同理有f(n) =由

4、h(n) = f(n)g(n) = 1,可知 n = 9, 19,29,39,49,59,69, 79, 89,90,所以当 n0 100 时，S= 9, 19, 29, 39,49,59,69,79,89, 90.当 n = 9 时，p(9) = 0.当 n = 90 时，p(90) =g (90)9F (90) =171=19.当n=10k+9(i&y8, keN*)时，P(n户添=春=募七,由y=/关于k 单调递增，故当n=10k+9(1&k&8, kCN*)时，p(n)的最大值为p(89) = 焉.169又急<119，所以当nCS时，p(n)的最大值为19

5、. 169 19193.2014山东卷函数f(x) =1log2X1的定义域为(A. (0, 2) B. (0, 2C. (2, +00) D . 2 , +00)3. C 解析若函数 f(x)有意义，则 log2x 1>0,，log2x> 1, . x>2.B2反函数3 _5. 2014全国卷函数y= ln(W+1)(x> 1)的反函数是()A. y=(1 ex)3(x>1)B. y=(ex1)3(x>1)C. y= (1- ex)3(x R)D. y=(ex1)3(xC R)5. D 解析因为y= ln(3x+1),所以x= (ey1)3.因为x>

6、1,所以yCR,所以函数 y- ln(3 x+ 1)(x>1)的反函数是 y=(ex1)3(xC R).B3函数的单调性与最值2.、2014北京卷下列函数中，定义域是 R且为增函数的是()A. y=e x B. y= x3C . y= ln x D . y= x|2. B 解析由定义域为R,排除选项C,由函数单调递增，排除选项 A, D.4.、2014湖南卷下列函数中，既是偶函数又在区间( 8, 0)上单调递增的是()A. f(x) = x2 B, f(x) = x2+1C. f(x) = x3 D. f(x) = 2 x4. A 解析由偶函数的定义，可以排除C, D,又根据单调性，可得

7、B不对.19.、2014江苏卷已知函数f(x) = ex+ e x,其中e是自然对数的底数.(1)证明：f(x)是R上的偶函数.(2)若关于x的不等式mf(x)&ex+m1在(0, +00)上恒成立，求实数 m的取值范围.(3)已知正数a满足：存在xo 1, +8),使得f(M)<a( x0+3x0)成立.试比较e-1与 a1的大小，并证明你的结论.19.解：(1)证明：因为对任意 x R,都有 f( x) = ex+ e (x)=ex+ex=f(x), 所以f(x)是R上的偶函数.(2)由条件知 m(ex+e x- 1)<e x- 1在(0, +00)上恒成立.入 xt

8、1令 t = e(x>0),则 t>1,所以 m< - t2_t+ 1 =对任意t>1成立.t-1 +t-1因为t一 1 +t-1+ 1>2彳+1 = 3,所以1"1"1 + +113,当且仅当t = 2,即x = ln 2时等号成立.因此实数m的取值范围是一 3 31(3)令函数 g(x)=ex + g a(x3+3x),则 g' (x) =ex5+3a(x21). ee当 x>1 时，ex-ex>0, x2-1 >0.X a>0,故 g' (x)>0,所以 g(x)是1, +00)上的单调递增函

9、数，因此g(x)在1, +00)上的最小值是 g(1)= e+ e 1 - 2a.由于存在x0C 1,+oo),使ex0+e xo-a(-x3+ 3xo )<0成立，当且仅当最小值g(1)<0,-1故 e+e 1 2a<0,即 a>e 2 .e 1令函数 h(x) = x -(e- 1)ln x-1,则 h(x) = 1 .令 h(x) = 0,得乂= e- 1.x当xC (0, e1)时，h'(x)<0,故h(x)是(0, e- 1)上的单调递减函数；当xC (e 1, +00)时，h(x)>0,故h(x)是(e1, + 00)上的单调递增函数.所

10、以h(x)在(0, +8)上的最小值是h(e 1).注意到 h(1) = h(e)=0,所以当 x (1, e-1)?(0, e-1)时，h(e 1)&h(x)<h(1) = 0；当 xC (e 1, e)?(e 1, +00)时，h(x)<h(e)= 0.而仅h(x)<0对任意的x (1, e)成立.故当 aC ee , e?(1, e)时，h(a)<0,2即 a1<(e 1)ln a,从而 ea 1<ae 1；当 a=e时，eaT=ae- 1；当 aC(e, +°°)?(e 1, +00)时，h(a)>h(e)=0,即

11、a1>(e1)ln a,故 ea 1>ae 1.综上所述，当 aC,e，寸，ea1<ae1；当a = e 时，ea1 =ae1；当 aC(e,+00)时，ea 1>ae 1.15.、2014四川卷以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函 数Mx)组成的集合：对于函数Mx),存在一个正数M,使得函数(|)(x)的值域包含于区间M, M.例如，当(|)1(x)=x3, (2(x) = sin x 时，(|)1(x) A, (2(x) C B.现有如下命题：设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)CA”的充要条件是“ ？bC R, ?aCD, f(a)=b&q

12、uot; ；若函数f(x)CB,则f(x)有最大值和最小值；若函数 f(x), g(x)的定义域相同，且 f(x)CA, g(x)CB,则 f(x) + g(x) C/B；x若函数 f(x) = aln(x+2) + x2(x> 2, aCR)有最大值，则 f(x) B.其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)15.解析若f(x)CA,则函数f(x)的值域为R,于是，对任意的bCR, 一定 存在a D,使得f(a)=b,故正确.取函数f(x) = x(1<x<1),其值域为(一1, 1),于是，存在M = 1,使得函数f(x)的值域 包含于M, M = 1, 1,但此时函数f

13、(x)没有最大值和最小值，故错误.当f(x)CA时，由可知，对任意的bC R,存在aCD,使得f(a) = b,所以，当g(x) C B 时，对于函数f(x) + g(x),如果存在一个正数 M,使得f(x)+g(x)的值域包含于-M, M,那 么对于该区间外的某一个 bo R, 一定存在一个ao D,使得f(x) + f(a0)=b0 g(a0),即f(a0) + g(ao) = bo? M, M,故正确. _x对于f(x) = aln(x+2) + x2(x> 2),当a>0或a<0时，函数f(x)都没有最大值.要使 .一x一. 111 得函数f(x)有取大值，只有a =

14、 0,此时f(x) = x2+ 1 (x> 2).易知f(x) C,所以存在1正数M=2,使得f(x)CM, M,故正确21.、2014 四川卷已知函数 f(x)=ex ax2 bx 1,其中 a, bCR, e=2.718 28为自 然对数的底数.(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0, 1上的最小值；(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0, 1)内有零点，证明：e-2<a<1.21.解：(1)由 f(x) = exax2bx 1,得 g(x) = f' (x) = ex2ax b,所以 g(x) = ex2a.当 xC 0, 1时,g

15、(x) 1-2a, e-2a.,1 ,当a02时，g (x)>0,所以g(x)在0, 1上单调递增，因此g(x)在0, 1上的最小值是g(0)=1 b；e ,当a2时，g (x)<0,所以g(x)在0, 1上单调递减，因此g(x)在0, 1上的最小值是g(1)=e 2a b；当 1Va<1时，令 g'(x) = 0,得 x= ln(2a)C(0, 1),所以函数g(x)在区间0, ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a), 1上单调递增，于是，g(x)在0, 1上的最小值是 g(ln(2a) = 2a 2aln(2a)b.1 ,综上所述，当a02时，g(x)在0,

16、 1上的最小值是g(0)=1 b；当2Va</时，g(x)在。，1上的最小值是 g(ln(2a) = 2a2aln(2a) b；e1当a2时，g(x)在0, 1上的取小值是g(1)=e2ab.(2)证明：设x。为f(x)在区间(0, 1)内的一个零点，则由f(0) = f(x0) = 0可知，f(x)在区间(0, x°)上不可能单调递增，也不可能单调递减.则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负.故g(x)在区间(0, x0)内存在零点x1.同理g(x)在区间(刈，1)内存在零点x2.故g(x)在区间(0, 1)内至少有两个零点.由(1)知，当a&；时，g(x)在0, 1

17、上单调递增，故g(x)在(0, 1)内至多有一个零点；e .当a2时，g(x)在0, 1上单调递减，故g(x)在(0, 1)内至多有一个零点，都不合题意.一 1 e所以2<a<e此时g(x)在区间0, ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a), 1上单调递增.因此 x1C(0, ln(2a), x2C(ln(2a), 1),必有g(0)=1 b>0, g(1) = e 2a-b>0.由 f(1) = 0 有 a+ b= e 1<2,有g(0)=ae+ 2>0, g(1)=1 a>0.解得 e 2<a< 1.所以，函数f(x)在区间(0,

18、 1)内有零点时，e-2<a<1.B4函数的奇偶性与周期性4. 2014重庆卷下列函数为偶函数的是()A. f(x) = x 1 B , f(x)=/ + xC. f(x)=2x 2 x D. f(x) = 2x+ 2 x4. D 解析A 中，f( x)= x 1, f(x)为非奇非偶函数；B 中，f( x) = ( x)2x= x2 -x, f(x)为非奇非偶函数；C 中，f(x) = 2x2x=(2x 2 x)=-f(x), f(x)为奇函数；D 中， f( x) = 2x + 2x= f(x), f(x)为偶函数.故选 D.14.、2014安徽卷若函数f(x)(x R)是周期

19、为4的奇函数，且在0, 2上的解析式为f(x) =；x *x)，0&x& 1，则 f弟+ 得>_.、sin ttx, 1<x<2,l4 '<6 y便看t解析由题易知修j+猾卜f-4(+(-6)=-噜卜琮=-1+©喈= 516.5. 2014广东卷下列函数为奇函数的是()A . 2x 2x B . x3sin xC. 2cos x+1 D. x2+2x5. A 解析对于 A 选项，令 f(x) = 2x *=2' 2一x,其定义域是 R, f(-x)=2 x-2x =f(x),所以A正确；对于B选项，根据奇函数乘奇函数是偶函数，所

20、以x3sin x是偶函数； C显然也是偶函数；对于D选项，根据奇偶性的定义，该函数显然是非奇非偶函数.9.、2014湖北卷已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x) = x23x,则函数 g(x) = f(x) x+3的零点的集合为()A. 1 , 3 B. 3, 1,1, 3C. 2正，1, 3 D. -2-V7, 1, 39. D 解析设 x<0,则一x>0,所以 f(x)= f( x)=( x)23( x) = x23x . 求函数g(x) = f(x) x+3的零点等价于求方口f(x) = 3+ x的解.当 x> 0 时，x2 3x= 3+ x,解得 x1

21、= 3, x2 = 1;当 x<0 时，x23x= -3 + x,解得 x3= 25.故选 D.4.、2014湖南卷下列函数中，既是偶函数又在区间( 8, 0)上单调递增的是()A. f(x) = x2 B, f(x) = x2+1C. f(x) = x3 D. f(x) = 2 x4. A 解析由偶函数的定义，可以排除C, D,又根据单调性，可得B不对.15. 2014 湖南卷若 f(x) = ln(e3x+ 1)+ax是偶函数，则 a =.15. -| 解析由偶函数的定义可得 f( x) = f(x), IP ln(e 3x+ 1)-ax= ln(e3x+ 1)+ax, 2ax= -

22、 In e3x= - 3x,a= - 33.19.、2014江苏卷已知函数f(x) = ex+ e x,其中e是自然对数的底数.(1)证明：f(x)是R上的偶函数.(2)若关于x的不等式mf(x)&ex+m1在(0, +°°)上恒成立，求实数 m的取值范围.(3)已知正数a满足：存在xo 1, +8),使得f(xo)<a( x0+3xo)成立.试比较e-1与 a"1的大小，并证明你的结论.19.解：(1)证明：因为对任意 x R,都有 f( x) = e-x+ e -(-x)=e x+ex=f(x), 所以f(x)是R上的偶函数.(2)由条件知 m(

23、ex+e x- 1)<e x- 1在(0, +00)上恒成立.x ,t- 1令 t = e(x>0),则 t>1,所以 m<-t2_t+ 1 =因为t-1 十六-对任意1+ 1>2t>1成立.(t1) j ,1彳+1 = 3,所以一1113,当且仅当t = 2,即x = ln 2时等号成立.因此实数m的取值范围是一00, -31(3)令函数 g(x)=ex +工一a(x3+3x),则 g' (x) =ex1+3a(x21). ee当 x>1 时，ex-1x>0 x2-1 >0.X a>0,故 g' (x)>0,所

24、以 g(x)是1, +00)上的单调 e1 递增函数， 因此g(x)在1, +00)上的取小值是 g(1)= e+ e 2a.由于存在xo C 1, 十 0°),使ex°+e xo a( x0+ 3xo )<0成立，当且仅当最小值g(1)<0, e"1故 e+e 1 2a<0,即 a>一2一.e 1令函数 h(x) = x -(e- 1)ln x-1,则 h (x) = 1 -.令 h(x) = 0,得乂= e- 1. x当xC (0, e1)时，h'(x)<0,故h(x)是(0, e- 1)上的单调递减函数；当xC (e 1

25、, +00)时，h(x)>0,故h(x)是(e1, + 00)上的单调递增函数.所以h(x)在(0, +8)上的最小值是h(e 1).注意到 h(1) = h(e)=0,所以当 x (1, e-1)?(0, e-1)时，h(e 1)&h(x)<h(1) = 0；当 xC (e 1, e)?(e 1, +00)时，h(x)<h(e)= 0.所以h(x)<0对任意的x (1, e)成立.故当 aC,e ?(1, e)时，h(a)<0,即 a1<(e 1)ln a,从而 ea 1<ae 1；当 a=e时，e"1=ae- 1；当 aC(e,

26、+°°)?(e 1, +00)时，h(a)>h(e)=0,即 a1>(e1)ln a,故 ea 1>ae 1.综上所述，当aC时，ea>ae 1.e+e 1 e,ea<ae 1;当 a = e 时，e”1 = ae1 当 aC(e, +oo)12. 2014全国卷奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+ 2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9) =()A. -2 B. -1C. 0 D. 112. D 解析因为f(x+2)为偶函数，所以其对称轴为直线 x= 0,所以函数f(x)的图像 的对称轴为直线x = 2.又因为函数f(x)是奇函数

27、，其定义域为R,所以f(0) = 0,所以f(8)=f( 4)= f(4)= f(0) = 0,故 f(8) + f(9) = 0 + f( 5)= f(5) = f( 1) = f(1) = 1.15. 2014新课标全国卷H 偶函数y= f(x)的图像关于直线x = 2对称，f(3) = 3,则f( 1)=15. 3 解析因为函数图像关于直线 x= 2对称，所以f(3) = f(1),又函数为偶函数， 所以 f(1) = f(1),故 f(1) = 3.5. 2014全国新课标卷I 设函数f(x), g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数，g(x)是 偶函数，则下列结论中正确的是()A

28、.B.C.D.5.f(x)g(x)是偶函数|f(x)|g(x)是奇函数f(x)|g(x)|是奇函数|f(x)g(x)|是奇函数C解析因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以有f(-x) = -f(x), g( x) = g(x),于是f(x) g(x) = f(x)g(x),即 f(x)g(x)为奇函数，A 错；|f(一x)|g(一 x)= |f(x)|g(x),即 |f(x)|g(x)为偶函数,B 错；f(一 x)|g( x)|= 一f(x)|g(x)|,即 f(x)|g(x)|为奇函数，C 正确；|f(x)g( x)|= |f(x)g(x)|,即 f(x)g(x)为偶函数，所以 D 也

29、错.-4x2+2, - 1<x< 0,则f2 =13. 2014四川卷设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当xC 1, 1)时，f(x) =0< x< 1,313. 1解析由题意可知，f5尸华一2f.22尸Q I”.B5 二次函数10. 2014江苏卷已知函数f(x) = x2+mx 1,若对于任意xCm, m+1,都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是'f (m) < 0,f (m+ 1) <0,10.卜夸,0)解析因为f(x) = x2+mx 1是开口向上的二次函数，所以函数的最大值只能在区间端点处取到，所以对于任意xCm,m+1,

30、都有f(x)<0,只需r也 近)0.-2 <m< 2 5(解得即mC i 平,3 c2-<m<0,14.、2014全国卷函数y=cos 2x+ 2sin x的最大值为-<sin x-2)+3，所以当 sin x32 _ .14.2 解析因为 y= cos 2x+ 2sin x= 1 2sinx +2sin x=13=2时函数y= cos 2x+2sin x取得取大值，取大值为2.B6指数与指数函数5. 2014 安徽卷设 a=log37, b = 21.1, c=0.83"，则()A. b<a<c B. c<a<bC. c&

31、lt;b<a D. a<c<b5. B 解析因为 2>a=log37>1, b=21.1>2, c= 0.83.1<1,所以 c<a<b.8. , 2014福建卷若函数y=logax(a>0,且a*1)的图像如图1-2所示，则下列函数图 像正确的是()图1-2D 图 1-38. B 解析由函数y= logax的图像过点(3, 1),得a=3.选项A中的函数为y=(1),其函数图像不正确；选项B中的函数为y=x3,其函数图像 3正确；选项C中的函数为y= (-x)3,其函数图像不正确；选项 D中的函数为y=log3( x), 其函数图像

32、不正确，故选B.3.、2014 辽宁卷已知 a = 21, b=log21, c=log11,则()3323A.C.3.c=a>b>c B. a>c>bc>b>a D. c>a>b一一1D 解析因为0<a=2 3<1111110g23>log22= 1,所以 c>a>b.1 b=log23<0,fex x<1,15.、2014全国新课标卷I 设函数f(x)=$ 1则使得f(x)&2成立的x的取值|x3, x> 1,范围是.15.( 8, 8解析当 x<1 时，由 e=1&2,得

33、 x<1;当 x>1 时，由 gw 2,解得 1&x&8, 综合可知x的取值范围为x<8.5., 2014山东卷已知实数x, y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式包成立的是()33A. x >yB. sin x>sin yC . ln(x2 + 1)>1n(y2 + 1)1 1D.x2+1>y2+ 15. A 解析因为ax<ay(0<a< 1),所以x>y,所以x3>y3包成立.故选A.7. 2014陕西卷下列函数中，满足“ f(x+ y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是()A

34、. f(x) = x3 B. f(x) = 3xC. f(x) = x1 D. f(x)= g)7. B 解析由于f(x+ y) = f(x)f(y),故排除选项A, C.又f(x)=弓j为单调递减函数， 所以排除选项D.12. 2014 陕西卷已知 4a=2, lg x= a,则 x=.12.小0 解析4a=2,即 22a = 2,可得 a=2,所以 lg x=,所以 x=1C)2=GT0.7.、2014四川卷已知b>0,log5b = a,lg b=c, 5d= 10,则下列等式一定成立的是()A. d = ac B. a = cdC. c= ad D. d = a+c7. B 解析

35、因为 5d=10,所以 d = log510,所以 cd= lg b log510= log5b= a,故选 B.9.、2014四川卷设mCR,过定点A的动直线x+my= 0和过定点B的动直线mx ym+3=0交于点P(x, y),则|PA|+|PB|的取值范围是()A. V5, 2 乖B. b/W, 2 V5 C.而，4 乖D. 2乖，4 V5 9. B 解析由题意可知，定点A(0, 0), B(1, 3),且两条直线互相垂直，则其交点P(x, y)落在以AB为直径的圆周上，所以 |PA|2+|PB|2= |AB|2=10,即 |FA|+ |PB|>AB|=Vw.又 |PA|+ |PB

36、|=d (|PA|PB|) 2:、|FA|2 + 2|PA|PB|+|PB|2 <2 (|PA|2+|PB|2) =2 V5,所以|PA|十|PB|C 斤，2季,故选B.一、，.124. 2014 天津卷设 a=log2 兀,b=log2 兀，c=兀，贝U (A . a>b>c B. b>a>cC. a>c>b D. c>b>a4. C 解析. a= log2 冗 >1, b=log2Tt<0, c=2<1,b<c<a.B7对数与对数函数12. 2014天津卷函数f(x)=lg x2的单调递减区间是 .12.

37、( 8, 0)解析函数f(x) = lg x2的单调递减区间需满足x2>0且y=x2单调递减, 故 xC( 8, 0).11. 2014安徽卷制4+畸+啕34=11.27 解析原式=胤4 +iog3(5x4 y(3)=f.8.、2014浙江卷在同一直角坐标系中，函数 f(x) = xa(x>0), g(x) = logax的图像可能 是()ABCD图1-28. D 解析只有选项D符合，此时0<a<1,幕函数f(x)在(0, +oo)上为增函数，且 当xC (0, 1)时，f(x)的图像在直线y=x的上方，对数函数g(x)在(0,十)上为减函数.故选 D.8. , 201

38、4福建卷若函数y=logax（a>0,且a*1）的图像如图1-2所示，则下列函数图 像正确的是（）图1-2BCD 图 1-38. B 解析由函数y= logax的图像过点（3, 1）,得a=3.选项A中的函数为y=（|）,其函数图像不正确；选项B中的函数为y=x3,其函数图像 正确；选项C中的函数为y= （-x）3,其函数图像不正确；选项 D中的函数为y=log3（ x）, 其函数图像不正确，故选B.13.、2014广东卷等比数列an的各项均为正数，且a1a5=4,则log2a1 + log2a2+log2a3 + log2a4+ log2 a5 =13. 5 解析在等比数列中，aa5

39、= a2a4= a2 = 4.因为an>0,所以a3=2,所以aa2a3a4a5 5 c5一(a1a5)(a2 a4)a3a 2 ,所以 log2a+ log2a2+ log2a3+ log2a4+ log2a5= log2(aa2a3a4a5)= log22 =5.、一一一，13.、2014辽宁卷已知a = 2可3b=log23，c=log23,贝 1()A.C.3.c=a>b>c B. a>c>b c>b>a D. c>a>b1D 解析因为0<a=2 3<11111log23>log22=1,所以 c>a>

40、b.1 b=log2§<0,6., 2014山东卷已知函数y=loga（x+ c）（a, c为常数，其中a>0, a*1）的图像如图1-1所示，则下列2论成立的是（）图1-1A. a>1, x>1 B, a>1, 0<c<1C. 0<a<1, c>1 D. 0<a<1, 0<c<16 . D 解析由该函数的图像通过第一、二、四象限，得该函数是减函数，.0<a<1；.图像与x轴的交点在区间（0, 1）之间，该函数的图像是由函数 y= logax的图像向左平 移不到1个单位后得到的，. 0&l

41、t;c< 1.7 .、2014四川卷已知b>0,log5b = a,lg b=c, 5d= 10,则下列等式一定成立的是（）A. d = ac B. a = cdC. c= ad D. d = a+c7. B 解析因为 5d=10,所以 d = log510,所以 cd=lg b log510= log5b= a,故选 B.9.、2014重庆卷若10g4（3a+4b） = log2屈，则a+b的最小值是（）A. 6+2 m B. 7+2 小C. 6+4 V3 D. 7+4 59. D 解析由 10g4（3a+ 4b） = log2Vab,得 3a+ 4b= ab,则2十m=1,所以

42、 a+b= （a a b+ 坊'3!=7 + 普+济 7+24b 3a =7 + 4 V3,当且仅当 4b=3a,即 a= 4 + 2 V3, a b a b?aba bb=2 g+3时等号成立，故其最小值是7 + 4 g.B8募函数与函数的图像8.、2014浙江卷在同一直角坐标系中，函数f（x） = xa（x>0）, g（x） = logax的图像可能 是（）ABCD图1-28. D 解析只有选项D符合，此时0<a<1,幕函数f(x)在(0,十)上为增函数，且 当xC (0, 1)时，f(x)的图像在直线y=x的上方，对数函数g(x)在(0, +8)上为减函数.故选

43、 D.8. , 2014福建卷若函数y=logax(a>0,且a*1)的图像如图1-2所示，则下列函数图 像正确的是()图1-2ABCD 图 1-38. B 解析由函数y= logax的图像过点(3, 1),得a=3.选项A中的函数为y=(1),其函数图像不正确；选项B中的函数为y=x3,其函数图像 3正确；选项C中的函数为y= (-x)3,其函数图像不正确；选项 D中的函数为y=log3( x), 其函数图像不正确，故选B.15. 2014湖北卷如图1-4所示，函数y=f(x)的图像由两条射线和三条线段组成.若?xCR, f(x)>f(x1),则正实数a的取值范围为.图1-415

44、.(0, 1)解析“？xC R, f(x)>f(x1)”等价于“函数y=f(x)的图像包在函数y=f(x 1)的图像的上方"，函数y= f(x1)的图像是由函数y=f(x)的图像向右平移一个单位得到 的，如图所示.因为a>0,由图知6a<1,所以a的取值范围为"，1：13.、2014江苏卷已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x 0 , 3)时，f(x) = x2-2x+ 1 .若函数y=f(x) a在区间3, 4上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范 围是.11 .13.0, 2j 解析先回出y=x 2x+2在区间0, 3上的图像，再将x轴下

45、万的图像对 称到x轴上方，利用周期为3,将图像平移至区间 3, 4内，即得f(x)在区间 3, 4上的 图像如下图所示，其中 f( 3) = f(0) = f(3) = 0.5, f( 2) = f(1) = f(4) = 0.5.函数y=f(x)a在区间3, 4上有10个零点(互不相同)等价于y=f(x)的图像与直线y =2有10个不同的交点，由图像可得a jo, 2；,ex 1, x<1,15.、2014全国新课标卷I 设函数f(x)=f 1则使得f(x)&2成立的x的取值1x3, x> 1,范围是.15.( 8, 8解析当 x<1 时，由 e=102,得 x&l

46、t;1;当 x>1 时，由 x102,解得 1&x&8, 综合可知x的取值范围为x<8.6., 2014山东卷已知函数y=loga(x+ c)(a, c为常数，其中a>0, a*1)的图像如图 1-1所示，则下列2论成立的是()图1-1A. a>1 , x>1 B. a>1, 0<c<1C. 0<a<1, c>1 D. 0<a<1, 0<c<16. D 解析由该函数的图像通过第一、二、四象限，得该函数是减函数，.0<a<1；.图像与x轴的交点在区间(0, 1)之间，该函数的图像

47、是由函数 v= logax的图像向左平 移不到1个单位后得到的，. 0<c< 1.B9函数与方程66. 2014北乐卷已知函数f(x)=-log2x,在下列区间中，包含f(x)的零点的区间是x()A. (0, 1) B. (1, 2)C. (2, 4) D. (4, i)66. C 解析万法一：对于函数 f(x) = 6log2x,因为 f(2) = 2>0, f(4)= 0.5<0,根据 x零点的存在性定理知选C.方法二：在同一坐标系中作出函数 h(x) = 6与g(x)= log2x的大致图像，如图所示，可得xf(x)的零点所在的区间为(2, 4).7. 2014

48、浙江卷已知函数 f(x) = x3+ax2+bx+ c,且 0<f(1) = f(2) = f( 3)&3,则 ()A. c<3 B. 3V c< 6C . 6< c< 9 D . c>97. C解析由 f(1) = f( 2) = f(3)得,1 + a b+ c= 8+4a 2b+c,I8+ 4a 2b+c= 27+ 9a 3b+c一7+3a- b=0, a = 6, ?3J9 5a+b=0Jb=11,贝U f(x) = x3+6x2+11x+ c,而 0<f(1)&3,故 0< 6+c03, . 6<c0 9,故选 C

49、.-T-3, x (1, 0,10. 2014 重庆卷已知函数 f(x)=4x+ 1且 g(x) = f(x) mx m 在凶 x (0, 1,(1, 1内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是()A. r4, -2。，211. A 解析作出函数f(x)的图像，如图所示.函数g(x)=f(x)mx m的零点为方程f(x)- mx- m=0的根，即为函数y= f(x)与函数y= m(x+1)图像的交点.而函数y=m(x+ 1)1的图像包过定点P(-1, 0),由图易知有两父点的边界有四条，其中kPO = 0, 6a= 2, kPB =一2,第四条为过P点的曲线y= 七一3的切线PC.将y=

50、m(x+1)(mw0)代入y=± 3, x十 1* x十 1得 mx2+(2m+3)x+m+2 = 0,则由 A= (2m+3)2 4m(m+2) = 4m+9= 0,得 m= 9,即 kpc =-9所以由图可知满足条件的实数 m的取值范围是* -2Ju 0, 21.15. 2014福建卷函数f(x)=X2-2, x<0,的零点个数是、2x 6+ ln x, x> 015. 2 解析当 x0 0 时，f(x) = x22,令x2 2 = 0,得x=播(舍)或乂=一五，即在区间(一8, 0)上，函数只有一个零点.当 x>0 时，f(x) = 2x 6 + ln x,令

51、 2x 6+ln x= 0,得 In x= 6-2x.作出函数y= In 乂与丫= 62x在区间(0, +oo)上的图像，则两函数图像只有一个交点，即函数 f(x)=2x6+ln x(x>0)只有一个零点.综上可知，函数f(x)的零点的个数是2.9.、2014湖北卷已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x) = x23x,则函数 g(x) = f(x) x+3的零点的集合为()A. 1 , 3 B. 3, 1,1, 3C. 2巾，1, 3 D. -2-V7, 1, 39. D 解析设 x<0,则一x>0,所以 f(x)= f( x)=( x)23( x) = x23

52、x . 求函数g(x) = f(x) x+3的零点等价于求方口f(x) = 3+ x的解.当 x>0 时，x23x=3+x,解得 xi=3, x2=1;当 x<0 时，x23x= -3 + x,解得 x3= 25.故选 D.13.、2014江苏卷已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x 0 , 3)时，f(x) = x2-2x+ 1 .若函数y=f(x) a在区间3, 4上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范 围是.13. t，1)解析先画出y=x22x+2在区间0, 3上的图像，再将x轴下方的图像对 称到x轴上方，利用周期为3,将图像平移至区间 3, 4内，即得f(x

53、)在区间 3, 4上的 图像如下图所示，其中 f( 3) = f(0) = f(3) = 0.5, f( 2) = f(1) = f(4) = 0.5.函数y=f(x)a在区间3, 4上有10个零点(互不相同)等价于y=f(x)的图像与直线y =2有10个不同的交点，由图像可得aC”，2ja - 2x, x>0,4. 2014 江西卷已知函数 f(x)=j x(aCR).若 ff(1)=1,则 a=()2 , x<011A.4 B.2 C. 1 D. 24. A 解析因为 f(1) = 21 = 2, f(2)=a22 = 4a=1,所以 a=4.x2+2x+2, x<0,1

54、5. 2014 浙江卷设函数 f(x)=3_x2x>0若 f(f(a) = 2,则 a=15.亚 解析令t=f(a),若f(t) = 2,则t2+2t + 2 = 2满足条件，此时t=0或t= 2, 所以f(a)=0或f(a)= 2,只有一a2= 2满足条件，故a=返.21. 2014 全国卷函数 f(x) = ax3+3x2+3x(aw0).(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间(1, 2)是增函数，求a的取值范围.21.解：(1)f'(x) = 3ax2 + 6x+ 3, f (x) = 0 的判别式 A =36(1 a).(i)若a>1,则f(x)>

55、0,且f'(x) = 0当且仅当a=1, x= 1时成立.故此时f(x)在R上 是增函数.(ii)由于aw0,故当a< 1时，f'(x)=0有两个根；-1 + M1 - a - 1 11 - ax1 a ' x2a .若 0<a<1,则当 xC (-oo? x2)或 xC(x1, +00)时，f(x)>0,故 f(x)分别在(一00, x2), (x1, + 00 )是增函数；当 xC (x2, x1)时,f'(x)<0,故 f(x)在(x2, x1)是减函数.若 a<0,则X xC (8, x1)或(x2, +00)时，f

56、(x)<0,故 f(x)分别在(一oo, x1)，(x2, + 00)是减函数；当 xC (x1, x2)时 f'(x)>0,故 f(x)在(x1, x2)是增函数.(2)当 a>0, x>0 时，f'(x) = 3ax2+6x+3>0,故当 a>0 时，f(x)在区间(1, 2)是增函数.5当a<0时，f(x)在区间(1, 2)是增函数当且仅当f' (1)>0且f'(2)>0,解得一&a<0.一一 1 5、综上，a的取值范围是15, 0 iU (0, +8).x? + 5x+ 4|, x00,

57、14. 2014天津卷已知函数f(x) =若函数y=f(x) a冈恰有4个零2|x- 2|, x> 0.点，则实数a的取值范围为.14. (1, 2)解析在同一坐标系内分别作出v=可刈与y=ax|的图像，如图所示，当y =a冈与y=f(x)的图像相切时，联立ax x5x 4，整理得 x2+(5a)x+ 4 = 0,则 A= (5 a)2 4X1X4a>0,=0,解得a=1或a = 9(舍去)，当y= a|x|与y=f(x)的图像有四个交点时，有 1<a<2.B10函数模型及其应用8. 2014北京卷加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食 用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p=at