高等数值分析作用――面积坐标(精)

1、i将三角形划分为三个部分,?代表整个三角形单元的面积,?i、?j、?m分别代 表三角形？Pjm、？Pmi、？Pij的面积，它们分别与三角形单元的3个顶点i、j、m 相对应。那么?i、?j、?m分别与？的比值L i、L j、L m则称为P点的面积坐标。i j m L , L , L j i m ?=?又?=?i +?j +?m ,所以 L i +L j +L m =1根据面积坐标的定义，在平行于jm边的直线上各点，其L i坐标值等于该平行线 到jm边的距离与i点到jm边的距离之比。对于平行于ij ,im边的直线，也有相同的 性质,于是三角形单元上三个节点的面积坐标为L i L j L m i 点

2、 1 0 0 j 点 0 1 0 m 点经过二维一次插值，直角坐标和面积坐标的关系为i j m 1L (a +b x+c y,21L (a +b x+c y, 21L (a +b x+c y2i i i j j j m m m =?=?=?将(,(,(i j j m m i x y j x y m x y代入上式，上式也可以推导为1111 i i j m j ijm m L x x x x L y y y y L ? ? ?=? ? ? ? ? ? ? 由上式可知，面积坐标不仅把节点位移插值成内位移，而且把节点坐标插值成内 部坐标，这样面积坐标把单元的节点插值成内部量。通过直角坐标到面积坐标的

3、变换，可将三角形单元变换为直角三角形形态，如下L j i采用面积坐标分析三角形单元的另一个突出优点，是便于形成形状函数，他可以 由下列两个条件唯一确定，即(1形状函数的阶次和形状与位移函数相同；(2形状函数N i在节点i其值为1,在其余的节点(工其值为0下面针对六节点 三角形单元举例说明面积坐标下形状函数的确定。i(1,0,0m(0,0,11(1/2,1/2,02(0,1/2, 1/2 3(1/2,0 , 1/20 0 01先求三角形顶点i ,j ,m的形状函数。形状函数N i在除了 i点之外的其余5个节点其值应为0,显然两条直线j2m和 31通过这5个节点，其方程分别为1 i 1L 0, L

4、 =2这样，构建函数i i 1L (L2-，使其在这5个节点之值为0,又六节点三角形单元有12个自由度，位移函数u或v取为完全二次多项式，则形状函数的阶次与位移函 数相同也取为二次。再利用 N i在节点i之值应为1的条件，即可得i i 12L (L2i N =-对于直线j2m ,即L i =0时,N i =0对于直线31,即L i =1/2时,N i =0对于点i ,即L i =1 时,N i =1同理可得,12L (L 2j j j N =-,12L (L 2m m m N =-2再来求副节点1,2,3的形状函数。如N 1在除了 1点之外的其余5个节点上其值应为0,显然,直线j2m和i3m通过这5个节点，其方程分别为i L 0, L =0j =于是，构建函数L i L j ,使其在这些节点上的值为0,且为二次函数，再利用N 1在节点1的值为1,立即可得1i 4L LjN =,24L L j m N =,34L L m i N =在点 1 时，即 L i =1/2,L j =1/2,则 1i 4L L j N =1 在点 2 时，即 L j =1