排列组合概率

1、第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理学习目标1理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理2会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.知 识 梳 理1分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有Nm1m2mn种不同的方法2分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有Nm1×m2××mn种不同的方法3分类加

2、法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成考点一分类加法计数原理【例1】满足a，b1,0,1,2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A14 B13 C12 D9【训练1】 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A4种 B10种 C18种 D20种考点二分步乘法计数原理【例2】 将字母a，a，b

3、，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A12种 B18种 C24种 D36种【训练2】 将一个四面体ABCD的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色，要求共端点的棱不能涂相同颜色，则不同的涂色方案有()A1种 B3种 C6种 D9种考点三两个计数原理的综合应用【例3】 如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有_.14523【训练3】 如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2，且a2>a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,2

4、75等)，那么所有凸数的个数为()A240 B204 C729 D920 第2讲排列与组合学习目标1理解排列、组合的概念2能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式3能解决简单的实际问题.知 识 梳 理1排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(mn)个不同元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2.排列数与组合数(1)从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数(2)从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫从n个不同元素中取出m个元素的组合数3排列数、组合数的公式及性质公式(1)An(n1)(n2)(nm1)(2

5、)C(n，mN*，且mn)特别地C1.性质(1)0！1；An！.(2)CC；CCC.考点一排列应用题【例1】 4个男同学，3个女同学站成一排(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？【训练1】 (1)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A3×3! B3×(3！)3C(3！)4 D9!考点二组合应用题【例2】 某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少

6、种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选【训练2】 若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A60种 B63种 C65种 D66种考点三排列、组合的综合应用【例3】 从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A24 B18 C12 D6【典例】现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A232 B256 C472

7、D484第3讲二项式定理学习目标1能用计数原理证明二项式定理2会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.知 识 梳 理1二项式定理二项式定理(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)二项展开式的通项公式Tr1Canrbr，它表示第r1项二项式系数二项展开式中各项的系数C，C，C2.二项式系数的性质(1)0kn时，C与C的关系是CC.(2)二项式系数先增后减中间项最大当n为偶数时，第1项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为Cn或Cn.(3)各二项式系数和：CCCC2n，CCCCCC2n1.考点一通项公式及其应用【例1】 (1)设二项式5

8、的展开式中常数项为A，则A_.(2)(2013·新课标全国卷)已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为5，则a等于()A4 B3 C2 D1【训练1】 (1) 1x)8(1y)4的展开式中x2y2的系数是_(2)设二项式6(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B4A，则a的值是_考点二二项式系数的性质与各项系数和【例2】 (1)设(1x)na0a1xa2x2anxn，若a1a2an63，则展开式中系数最大的项是()A15x2 B20x3 C21x3 D35x3【训练2】 (1)二项式n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中常数项是()A180 B90

9、 C45 D360(2)若(12x)2014a0a1xa2x2a2014x2014(xR)，则的值为_【典例)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()A 40 B20 C20 D40第4讲离散型随机变量及其分布列学习目标1理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性2理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用.知 识 梳 理1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量2离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个

10、值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，则表Xx1x2xixnPp1p2pipn称为离散型随机变量X的概率分布列(2)离散型随机变量的分布列的性质pi0(i1,2，n)；p1p2pn13常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为X01P1pp，其中pP(X1)称为成功概率 (2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(Xk)，k0,1,2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*，称随机变量X服从超几何分布.X01mP考点一离散型随机变量分布列的性质【例1】 设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.2

11、0.10.10.3m求随机变量Y|X1|的分布列【训练1】 随机变量X的分布列如下：X101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|1)_.考点二离散型随机变量的分布列【例2】 一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列与数学期望【训练2】已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分现从该箱中任取(无放回，且每球

12、取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和(1)求X的分布列；(2)求X的数学期望E(X)考点三超几何分布问题【例3】 PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物根据现行国家标准GB30952012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)25,35(35,45(45,55(55,65

13、(65,75(75,85频数311113(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据记X表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求X的分布列【训练3】 一袋中装有10个大小相同的黑球和白球已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列第5讲二项分布与正态分布学习目标1了解条件概率和两个事件相互独立的概念2理解n次独立重复试验的模型及二项分布3能解决一些简单的实际问题.知 识 梳 理1条件概率及其性质条件概率的定义条件

14、概率的性质设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率(1)0P(B|A)1(2)若B，C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)2.事件的相互独立性设A，B为两个事件，如果P(AB)P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立若事件A，B相互独立，则P(B|A)P(B)；事件A与，与B，与都相互独立3独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i1,2，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(A3)P(An)(2)二项分布在n次独立重

15、复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为XB(n，p)，并称p为成功概率4正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<Xb)，(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记为XN(，2)函数，(x)，xR的图象(正态曲线)关于直线x对称，在x处达到峰值.(2)正态总体三个基本概率值P(<X)0.682_6.P(2<X2)0.954_4.P(3X3)0.997_4.考点一条件概率【例1】 (1)从1,2,3,4,5中

16、任取2个不同的数，事件A“取到的2个数之和为偶数”，事件B“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于()A. B. C. D.(2)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)_【训练1】 已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是()A. B. C. D.考点二相互独立事件同时发生的概率【例2】在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演

17、唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X2”的事件概率【训练2】 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为.(1)求乙投球的命中率p；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率考点三正态分布下的概率【例3】 已知随机变量X服从正态分布N(2，2)，且P(X<

18、4)0.8，则P(0<X<2)()A0.6 B0.4 C0.3 D0.2考点四独立重复试验与二项分布【例4】 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；(2)求中奖人数X的分布列第6讲离散型随机变量的均值与方差学习目标1理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念2能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.知 识 梳 理1离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为P(Xxi)pi，i1,2

19、，n(1)均值：称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望(2)方差：称D(X)(xiE(X)2pi为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差2均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b.(2)D(aXb)a2D(X)(a，b为常数)3两点分布与二项分布的均值、方差均值方差变量X服从两点分布E(X)pD(X)p(1p)XB(n，p)E(X)npD(X)np(1p)考点一离散型随机变量的均值与方差【例1】设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分(1)当a3，b2，c1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量X为取出此2球所得分数之和，求X的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量Y为取出此球所得分数若E(Y)，D(Y)，求abc.考点二与二