专题18：动态几何之和差问题探讨

1、专题18:动态几何之和差问题探讨一、静态和差问题：典型例题：AD例1 : （ 2012海南省3分）如图，在 ABC中，/ B与/ C的平分线交于点 O.过O点作DE / BC ,分别交【答案】9。【考点】角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定。【分析】/ OB是/ B的平分线，/ DBO= / OBC。又 DE / BC，/ OBC = / BOD。/ DBO= / BOD。二 DO=DB。同理，EO=EC。又 AB=5 , AC=4 , ADE 的周长=AD + DE + AE=AD + DO + E0 + AE=AD + DB + EC+ AE=AB + AC=5 + 4=9。例2:

2、 （2012湖北荆门3分）如图，已知正方形 ABCD的对角线长为2二，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为【DBCA.8 rB.4:【答案】Co【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的对称性质，正方形的性质，勾股定理。【分析】 如图，正方形 ABCD的对角线长为 2 2，即BD=2 2，/ A=90 , AB=AD，/ ABD=45L 込 AB=BD?cos / ABD=BD?cos45 =22 =2 o2 AB=BC=CD=AD=2由折叠的性质：A M=AM, D N=DN A D =AD图中阴影部分的周长为A M+BM+BC+CN+D N+A D =AM+BM+BC+CN+D

3、N+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8 。故选Co例3: （2012四川内江3分）如图，在矩形 ABCD中，AB=10 , BC=5点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点Ai、Di处，则阴影部分图形的周长为【】斗A.15B.20C.25D.30【答案】D。【考点】翻折变换（折叠问题），矩形和折叠的性质。【分析】根据矩形和折叠的性质，得 AiE=AE，AiDi=AD，DiF=DF，则阴影部分的周长即为矩形的周长，为 2（ I0+5） =30。故选 D。例4:（ 2012山东枣庄3分）如图：矩形 ABCD的对角线 AC=I0，BC

4、=8，则图中五个小矩形的周长之和为【 】A、 I4B、 I6C、 20D、 28【答案】D。【考点】平移的性质，勾股定理。【分析】由勾股定理，得AB=AC2-BC2 =鋼02-82=6，将五个小矩形的所有上边平移至AD，所有下边平移至BC ,所有左边平移至 AB ,所有右边平移至 CD,五个小矩形的周长之和 =2 （AB+CD ） =2X （6+8） =28o故选D。例5: （2012湖北武汉3分）在面积为I5的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E, 作AF垂直于直线 CD于点F，若AB = 5, BC = 6,贝U CE+ CF的值为【11、311. 3A .11 +B2.

5、11- -2C.11 +或11-山13十彳,D . 11-或 1 +2 222【答案】Co【考点】平行四边形的性质和面积，勾股定理。【分析】依题意，有如图的两种情况。设BE=x ,DF=y。如图 1,由 AB = 5, BE=x，得 AE 二 AB2 BE2 =苛25x2。 由平行四边形 ABCD的面积为15, BC = 6,得6 25 -x2 =15 , 解得x= 土竺3 (负数舍去)。2由 BC = 6, DF=y，得 AF 二 AD2 -DF2 二 36 -y2。由平行四边形 ABCD的面积为15, AB = 5,得5 36 -y2=15, 解得y= _3 3 (负数舍去)。:.CE +

6、 CF= (6 - 5 3 ) + ( 5 - 3 3 ) =11- 11 3。2 25 ；3_如图2,同理可得BE= , DF= 3-3。2 CE + CF= (6 + 空3 ) + ( 5 + 33 ) =11 + 匕3。2 2故选C。图1FE R图2例6: (2012山东枣庄8分)已知:如图，在四边形 ABCD 中，/ ABC = 90 CD 丄 AD , AD 2+ CD2= 2AB2 .(1)求证：AB = BC ;D(2)当BE丄AD于E时，试证明：BE = AE + CD .【答案】解：(1)证明：连接 AC。/ ABC = 90 AB2+ BC2= AC2。D/ CD 丄AD

7、, AD2 + CD2 = AC2。/ AD 2+ CD2= 2AB2,. AB 2+ BC2= 2AB 2。AB = BC o(2)证明：过C作CF丄BE于Fo/ BE丄AD，.四边形 CDEF是矩形。.CD = EF。/ ABE +Z BAE = 90 / ABE +Z CBF = 90, /-Z BAE =Z CBF o又 AB = BC , Z BEA = Z CFB BAE CBF (AAS ) / AE = BFo/ BE = BF + EF = AE + CD o【考点】勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】(1)题目中存在直角，垂直，含线段平方的等式，因此考虑连

8、接AC,构造直角三角形，利用勾股定理证明。(2)可采用 截长”法证明，过点 C作CF丄BE于F,易证CD=EF，只需再证明 AE=BF即可，这 一点又可通过全等三角形获证 例7: (2012内蒙古呼和浩特 7分)如图，四边形 ABCD是正方形，点 G是BC边上任意一点，DE丄AG于 E, BF / DE，交 AG 于 F.(1) 求证：AF - BF=EF ;(2) 将厶ABF绕点A逆时针旋转，使得 AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F,若正方形边长为3,求点F与旋转前的图中点 E之间的距离.【答案】(1)证明：如图，正方形 ABCD，/ AB=AD , Z BAD= Z BAG+ Z E

9、AD=90/ DE 丄 AG，/ AED=90 o.Z EAD+ Z ADE=90 o.Z ADE= Z BAF o 又 BF / DE，/Z AEB= Z AED=90 o在厶 AED 和厶 BFA 中，tZ AEB= Z AED , Z ADE= Z BAF , AD = AB oAED BDA ( AAS ) BF=AE o/ AF - AE=EF，/ AF - BF=EF o(2)解：如图，根据题意知：Z FAF =90 DE=AF =AF ,/ F AEd AED=90，即/ F AEk AED=180。 AF / ED。四边形 AEDF为平行四边形。又/ AED=90，四边形 AE

10、DF是矩形。 EF =AD=3o点F与旋转前的图中点 E之间的距离为3。【考点】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质。【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，可得出/ BAD为90 AB=AD ,进而得到/ BAG与/ EAD互余， 又DE垂直于AG,得到/ EAD与/ ADE互余，根据同角的余角相等可得出/ ADE= / BAF，利用AAS可 得出三角形 ABF与三角形ADE全等，利用全等三角的对应边相等可得出 BF=AE，由AF - AE=EF，等量 代换可得证。（2）将厶ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F,连接EF, 如图所

11、示，由旋转的性质可得出/FAF为直角，AF=AF，由（1）的全等可得出 AF=DE，等量代换可得出DE=AF =AF,再利用同旁内角互补两直线平行得到AF 与DE平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得出 AEDF为平行四边形，再由一个角为直角的平行四边形为矩形可得出AEDF为矩形，根据矩形的对角线相等可得出EF =AD由AD的长即可求出EF的长。例8: （2012重庆市10分）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线 AC交于点M , 过M作ME丄CD于点E,Z 1 = / 2.（1）若CE=1，求BC的长;(2)求证：AM=DF+ME【答案】解：（1 ）四边

12、形/ 1 = / 2，/ ACD= / 2。二 MC=MD。/ ME 丄 CD , CD=2CE。/ CE=1 , CD=2 o BC=CD=2。（2）证明：1 F 为边 BC 的中点， BF=CF= BC o CF=CE。 2 在菱形 ABCD 中，AC 平分/ BCD，/ ACB= / ACD。5在厶 CEM 和厶 CFM 中，T CE=CF，/ ACB= / ACD , CM=CM , CEM CFM (SAS), / ME=MF。延长AB交DF于点G,/ AB / CD，/ G= / 2。-AM=MG 。在厶CDF和厶BGF中, /G= / 2,/ BFG= / CFD , BF=CF

13、 , CDF BGF (AAS )。 GF=DF。由图形可知， GM=GF+MF , AM=DF+ME。【考点】菱形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。【分析】(1)根据菱形的对边平行可得 AB / D，再根据两直线平行，内错角相等可得/ 1 = / ACD，所以 / ACD= / 2，根据等角对等边的性质可得 CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得 CE=DE，然 后求出CD的长度，即为菱形的边长 BC的长度。(2)先利用SAS证明 CEM和厶CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G,然后证明/ 仁/G,根据等角对等边的

14、性质可得 AM=GM，再利用AAS证明 CDF和 BGF全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形 GM=GF+MF即可得证。例9: (2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田 3分)如图，线段AC=n+1 (其中n为正整数)，点B在线 段AC上，在线段 AC同侧作正方形 ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到 AME .当AB=1 时， AME的面积记为 &;当AB=2时， AME的面积记为 S2；当AB=3时， AME的面积记为S3； 当AB=n时， AME的面积记为 合.当n2时，Sn - Sn-1= .1若点】正方形的性质，平行的判定和性质，同底等高的三角形面

15、积，整式的混合运算.【分析】连接BE,丁在线段AC同侧作正方形ABW 及正方戕BCEF,/-Aame的面积=Aamb的面积.BEAMo /.AAMEAAMB 同底等高AAME的面积丸広=当迪时,也护扣亠弓EdnEW竽例10: （2012贵州铜仁 4分）如图，在厶ABC中，/ ABC和/ ACB的平分线交于点 E,过点E作MN / BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为【】A . 6B. 7 C. 8 D. 9【答案】D。【考点】角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质。【分析】I / ABC、/ ACB的平分线相交于点 E,./ MBE= / EBC ,Z

16、ECN= / ECB ,/ MN / BC ,/ EBC= / MEB , / NEC= / ECB。二/ MBE= / MEB , / NEC= / ECN。 BM=ME , EN=CN o MN=ME+EN，即 MN=BM+CN。/ BM+CN=9 MN=9。故选 D。例11: （2012广东梅州3分）如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将 ABC沿着DE折叠压平，A与A重合，若/ A=75 ,则/ 1 + / 2=【】A . 150 B. 210C. 105D. 75【答案】A。【考点】翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理。【分析】/ AABC

17、翻折变换而成，/ AED= / A ED Z ADE= / A DE/ A= / A =75/ AED+ / ADE= / A ED+Z A DE=180 - 75=105 ,1+ / 2=360 - 2X105=150 o故选A o例12: （ 2012湖北孝感3分）已知Z a是锐角，/ a与Z B互补，/ a与Z 丫互余，则Z pZ 丫的值是【】A. 45oB. 60oC. 90oD. 180o【答案】Co【考点】余角和补角、【分析】根据互余两角之和为 90互补两角之和为 180结合题意即可得出答案：由题意得，Z a+Z p =180； Z a+Z Y =90两式相减可得：Z pZ Y =

18、90故选C o例 13: （2012 湖南长沙 3 分）如图，AB / CD / EF，那么Z BAC+ Z ACE+ Z CEF= 度.【答案】360o【考点】平行线的性质。【分析】/ AB / CD ,/ BAC+ Z ACD=180 。/ CD / EF,.Z CEF+ Z ECD=180 。 + 得，Z BAC+ Z ACD+ Z CEF+ Z ECD=180 +180 =360,即Z BAC+ Z ACE+ Z CEF=3 60练习题：1. （2012辽宁本溪 3分）如图 在直角 ABC中，Z BAC=90 , AB=8 , AC=6 , DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC

19、于点E,连接AE，则 ACE的周长为【 】A、16B、15C、14D、132. （2012吉林省3分）如图，在等边厶 ABC中，D是边AC上一点，连接 BD .将 BCD绕点B逆时针旋转60得到 BAE，连接ED .若BC=10 , BD=9，则 AED的周长是_.3. （2012福建龙岩3分）如图，Rt ABC中，/ C=90, AC = BC = 6, E是斜边AB上任意一点，作EF丄ACB于F, EG丄BC于G,则矩形4. （2012福建宁德4分）如图，在矩形 ABCD中，AB = 2, BC = 3,点E、F、G、H分别在矩形 ABCD的各边上，EF / HG , EH / FG,则四

20、边形EFGH的周长是【】A HdA. .10B. 13C. 2 105.（2012内蒙古包头10分）如图，已知AB为O O的直径，过O O上的点C的切线交AB的延长线于点E , AD丄EC于点D且交O O于点F，连接BC , CF , AC(1) 求证：BC=CF ;(2) 若 AD=6 , DE=8 ，求 BE 的长;(3)求证：AF + 2DF = AB。6.(2012山东东营10分)(1) 如图1 ,在正方形 ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点， 且DF = BE.求证：CE = CF ;(2)如图2，在正方形 ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果/ GCE =

21、 45请你利用(1)的结论证明：GE= BE + GD .(3)运用(1) (2)解答中所积累的经验和知识，完成下题:如图 3,在直角梯形 ABCD 中，AD / BC( BC AD )，/B = 90 AB = BC, E 是 AB 上一点，且/ DCE 猜想，并加以证明：7.( 2012黑龙江牡丹江8分)如图, ABC 中 AB=AC ,P 为底边 BC 上一点，PE 丄 AB ,PF 丄 AC , CH 丄 AB ,垂足分别为 E、F、H .易证PE+PF=CH .证明过程如下:图如图，连接AKVPE丄AB, PF丄AC, CH丄AB* 二耳丽乜血 PE，氐a*#AOPF代：ABPE+

22、丄 AC PF二丄 AB CH. 2 2 27AB=ACtAPE+PF=CH.(1)如图，P为BC延长线上的点时,其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量网关系？请写出你的10（2）填空：若/ A=30,A ABC的面积为49,点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF,当PF=3 时，贝U AB边上的高CH=.点P到AB边的距离PE=B图8. （2012江苏南通3分）如图，在 ABC中，/ C= 70o,沿图中虚线截去/ C,则/ 1 + Z 2 =】A. 360oB. 250oC. 180oD. 140o9. （ 2012江苏南京2分）如图， 1、2、 3、 4是五边形ABCDE的4

23、个外角，若.A =120，则1234二 10.225 B. 235 （2012四川绵阳3分）如图,C.1 + / 2= 】。a+Z 311. （2012四川凉山4分）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中/的度数是】11CtA 180；B 220；C.240：D. 300：二、和差为定值冋题：典型例题：例1 :(2012广西崇左10分)如图所示，在正方形 ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但点 A到EF的距离AH始终保持与AB的长度相等，问在点 E、F移动过程中；(1) / EAF的大小是否发生变化？请说明理由.(2) ECF的周长是否发生变化？请说明理由【答案

24、】 解：(1)/ EAF的大小不会发生变化。理由如下:在正方形 ABCD 中，T AH 丄 EF,二/ AHF= / D=90 ,/ AF=AF , AH=AD ,二 Rt AHF 也 Rt ADF(HL)。二/ HAF= / DAF。 同理 Rt AHE 也 Rt ABE，/ HAE= / BAE。/ HAF+ / DAF+ / HAE+ / BAE=90 ,二/ EAF= / HAF+ / HAE=45。/ EAF的大小不会发生变化。(2)A ECF的周长不会发生变化。理由如下：由(1)知：Rt AHF 也 Rt ADF , Rt AHE 也 Rt ABE , FH=FD , EH=EB

25、o EF=EH+FH=EB+FD。 CE+CF+EF= CE+CF+ EB+FD=BC+CD 。 CE+CF+EF= CE+CF+ EB+FD=BC+CD 。【考点】正方形的性质，动点和定值问题，全等三角形的判定和性质。【分析】(1)由 HL 证得 Rt AHF 也 Rt ADF 和 Rt AHE 也 Rt ABE 即可得/ EAF= / HAF+ / HAE=45即/ EAF的大小不会发生变化。12(2 )由(1 )两个全等即可得 CE+CF+EF= CE+CF+ EB+FD=BC+CD，即 CE+CF+EF= CE+CF+EB+FD=BC+CD。【点评】第二问， ECF的周长即CE+CF+

26、EF为定值：正方形 ABCD边长的2倍。例2:( 2012山东德州12分)如图所示，现有一张边长为 4的正方形纸片 ABCD，点P为正方形AD边上 的一点(不与点 A、点D重合)将正方形纸片折叠，使点 B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H， 折痕为EF，连接BP、BH .(1) 求证：/ APB= / BPH ;(2) 当点P在边AD上移动时， PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；(3) 设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在,求出这个最小值；若不存在，请说明理由.(备用图【答案】 解：(1)如图 1,v PE=BE ,/ EBP=

27、 / EPB .又/ EPH= / EBC=90 ,/ EPH -Z EPB= / EBC / EBP，即/ PBC= / BPH。 又 AD / BC， / APB= Z PBC.Z APB= Z BPH。(2) PHD的周长不变为定值 8。证明如下：如图2,过B作BQ丄PH,垂足为Q。由(1 )知/ APB= Z BPH ,圏I又 tZ A= Z BQP=90 , BP=BP , ABP QBP (AAS )。 AP=QP , AB=BQ。 又 AB=BC , BC=BQ。又 tZ C= Z BQH=90 , BH=BH , BCH BQH (HL )。 CH=QH。 PHD的周长为：PD

28、+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8 。13（3）如图3,过F作FM丄AB，垂足为 M，贝U FM=BC=AB。又 EF为折痕， EF丄BP。/ EFM+ / MEF= / ABP+ / BEF=90 。又/ A= / EMF=90 , AB=ME ,(ASA )。DB EM=AP=x .在 Rt APE 中,2(4 - BE) 2+x2=BE2, 即 卩 BE =2+X 。82x CF =BE EM =2+-x。8又四边形PEFG与四边形BEFC全等, S = - BE CF BC=-2 彳1 x2 4+ x 4 xI 4丿AA2亠2沁=尹一2）+6。T 0 - 4，当 x=

29、2 时,2S有最小值6。【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理, 次函数的最值。【分析】（1）根据翻折变换的性质得出/ PBC= / BPH，进而利用平行线的性质得出/ APB= / PBC即可得出答案。（2）先由AAS证明 ABP QBP，从而由HL得出 BCH BQH，即可得CH=QH。因此， PDH 的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8为定值。（3）利用已知得出 EFM BPA，从而利用在 Rt APE中，（4 - BE） 2+x2=BE2，禾U用二次函数 的最值求出即可。例3: （2012黑龙江绥化8分）如图

30、，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC , AB=3 , BC=4 , 点P为直线EC上的一点，且 PQ丄BC于点Q , PR丄BD于点R.12（1） 如图1，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ=（不需证明）.5（2）如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中的 结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.（3） 如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的 数量关系？请直接写出你的猜想.14【答案】【考点】【分析】求出BD明。底,PR,12解：(2 )图2中结论PR+

31、 PQ= 12仍成立。证明如下:5连接BP,过C点作CK丄BD于点K。四边形ABCD为矩形，/ BCD=90。又 CD=AB=3 , BC=4, BD 二 CD2 BC21112 Sa bcd=BC?CD=BD?CK , 3 X4=5CK , CK= 一 。22511-Sa bce= BE?CK , Sa bep= PR?BE,22111BE?CK= PR?BE+ PQ?BC。222一 1 1又 BE=BC , - CK= 1 PR+ 1 PQ。22 212 PR+ PQ=。512 PR PQ= .5矩形的性质，三角形的面积，勾股定理。12又 CK=,5(3 )图3中的结论是(2)连接BP，过

32、C点作CK丄BD于点的长，根据三角形面积相等可求出CK(3)图3中的结论是 PR PQ=125。SaBCP= PQ?BC,且 Sabce=Sabep+ SaBCP , 2 CK=PR + PQ。K.根据矩形的性质及勾股定理的长，最后通过等量代换即可证连接 BP, Sbpe bcp=Sbec , SA BEC 是固定值,BE=BC为两个PQ分别为高，从而 PR PQ= 12。5例4: (2012山东潍坊11分)如图，已知抛物线与坐标轴分别交于过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交 于M、N两点.分别过点(1)求抛物线对应二次函数的解析式;15A( 2, O)、B(2 , 0)、C(0,I)三点,C

33、、D(0 , 2)作平行于x轴的直线|1、|2 .求证以ON为直径的圆与直线11相切;求线段MN的长（用k表示），并证明M、N两点到直线12的距离之和等于线段MN的长.【答案】 解：(1)设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax2+ bx + c,=1f4a2b+c=0a= 4则 4a+2b+c=0 解得 b=0。c= 一1c= -1抛物线对应二次函数的解析式所以y= 1 X2 -1。4(2)设M(X1, y1), N(X2, y2),因为点 M、N在抛物线上，1 2 1 2 2 y=-1 , y2= x2 -1 , X2 =4(y2+1)。44又t ON2 =X22 +y22 =4(y2 +1

34、 )+y22 =(y2 +2 ) , ON = y2 +2。又.y2 l，ON=2 + y2设ON的中点E,分别过点N、E向直线|1作垂线，垂足为P、F,则OC NP 2 y2EF=, ON=2EF ,即ON的中点到直线l1的距离等于 ON长度的一半,& D Q以ON为直径的圆与|1相切。(3)过点 M 作 MH 丄 NP 交 NP 于点 H，贝U MN 2 =MH 2 NH2=x2 x 2y2 - y 2 ,22222又Ty1=kx1, y2=kx2,(y2 y1)2=k (X2 X1)。二 MN =(1+k )(X2一 Xl)。又点M、N既在y=kx的图象上又在抛物线上，16kx= 1x2

35、 -1，即 x2 4kx 4=0,. X2+ xgk , X2Xi= 4。 42 2 2 2 2 2 2 2- MN =(1+k )(x2一 X|) =(1+k ) (X2+ X|) 4X2 xi=16(1+k )。二 MN=4(1+k )。延长NP交l2于点Q,过点M作MS丄l2交l2于点S,1 2 1 2则 MS + NQ=y 1 + 2+ y2 + 2=1 + X21+444122121222=4 +x2 +2= yx1+x22x1 x2 +2 16k +8 +2=4k +4=4 1+k MS+NQ=MN，即M、N两点到b距离之和等于线段 MN的长。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲

36、线上点的坐标与方程的关系，中点坐标的求法，直线与圆相切的条件，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理。【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出抛物线对应二次函数的解析式。（2） 要证以ON为直径的圆与直线|1相切，只要证 ON的中点到直线l1的距离等于 ON长的一半 即可。（3） 运用一元二次方程根与系数的关系，求出MN和M、N两点到直线l2的距离之和，相比较即可。例5:（ 2012江苏苏州9分）如图，正方形 ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形 ABCD 以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点 A与点F重合在移动过程中，边 AD始终与边

37、FG重合， 连接CG,过点A作CG的平行线交线段 GH于点P,连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH 的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为 x（ s），线段GP的长为y （cm），其中0 x 2.5.试求出y关于x的函数关系式，并求出 y =3时相应x的值；记 DGP的面积为S1, CDG的面积为 .试说明S1 S2是常数；当线段PD所在直线与正方形 ABCD的对角线AC垂直时，求线段 PD的长.17C B【答案】 解：（1 ） CG/ AP,./ CGD= / PAG，贝U tan. CGD= ta n. PAG o /CD PG= 。GD AG/ G

38、F=4, CD=DA=1 , AF=x ,. GD=3 x, AG=4 X。1 = y3 x 4 x即y= y关于x的函数关系式为y=4x3 x4 x当 y =3 时，3=，解得：x=2.5。3xS2=1 GD CD= 13-x 1 = 1 x+ 3，2 2 2 2（2）T Si= 1 GP GD= 1 4 -x . 3-xx+2,2 2 3x2- S, -S2=x+2 -x+3 J 为常数。.2 2 2 2（3）延长PD交AC于点Q.正方形 ABCD中，AC为对角线，/ CAD=45。/ PQ丄 AC，/ ADQ=45。/ GDP= / ADQ=45。 DGP是等腰直角三角形，则 GD=GP

39、。 3x= _x ,化简得：x25x+5=0 ,解得：x= 5 士勺5。3 -x2/ OW xw 2, x= 5 一 5。2在RtDGP中，哙爲“一卜环一予。【考点】正方形的性质，一元二次方程的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，锐 角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】(1)根据题意表示出 AG、GD的长度，再由tan. CGD= tan. PAG可解出x的值。(2) 利用(1)得出的y与x的关系式表示出S2,然后作差即可。(3) 延长PD交AC于点Q,然后判断厶DGP是等腰直角三角形，从而结合 x的范围得出x的 值，在Rt DGP中，解直角三角形可得出 PD的长度。

40、18练习题: 2 . .1. （广东广州14分）已知关于x的二次函数y= ax +bx+c（aO ）的图象经过点 C （0,1）,且与x轴交 于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）（1）求C的值；（2）求a的取值范围；（3） 该二次函数的图象与直线 y = 1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于 点卩，记厶PCD的面积为0 , PAB的面积为S2，当0v a V 1时，求证：S1- S2为常数，并求出该常数.2. （2011湖南岳阳8分）如图，将菱形纸片 AB （E） CD （ F）沿对角线BD （EF）剪开，得到 ABD 和厶ECF，固定 ABD，并把 ABD与

41、厶ECF叠放在一起.（1）操作：如图，将 ECF的顶点F固定在 ABD的BD边上的中点处， ECF绕点F在BD边上方 左右旋转，设旋转时 FC交BA于点H （H点不与B点重合），FE交DA于点G （ G点不与D点重合）. 求证：BH?GD=BF2（2）操作：如图， ECF的顶点F在厶ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经 过点A，过点 A作AG / CE,交FE于点G,连接DG .探究：FD+DG=.请予证明.3. （2011福建莆田10分） 如图，将一矩形OABC放在直角坐际系中，O为坐标原点.点 A在x轴正半轴上.点E是边AB上的一个动点（不与点A、N重合），过点E的反

42、比例函数 y = k（x 0）的图象与边BCx父于点F（1） （4分）若厶OAE、 OCF的而积分别为S2.且 + S2=2，求k的值：（2） （6分）若OA=2 . 0C=4 .问当点E运动到什么位置时，四边形 OAEF的面积最大.其最大值为多少?194. （2011黑龙江龙东五市 8分）如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且 BE=BC , AB=3 ,BC=4，点P为直线EC上的一点，且 PQ丄BC于点Q, PR丄BD于点R。12（1）如图1，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ= （不需证明）。5（2） 如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点 E、点C重合）时，其它

43、条件不变，则（1 ）中 的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。（3） 如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想。5.（2011湖南永州10分）探究问题:方法感悟：如图，在正方形ABCD中，点E, F分别为DC,BC边上的点，且满足/EAF=45，连接EF，求证 DE+BF=EF .感悟解题方法，并完成下列填空：将厶ADE绕点A顺时针旋转90得到 ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得:AB=AD , BG=DE, / 仁 / 2,Z ABG= / D=90 , /-Z ABG+ / ABF=90

44、 + 90 180 , 因此，点G , B, F在同一条直线上./Z EA F=45/.Z 2 + Z 3= Z BAD Z EAF=90 45 =45 .vZ 1 = Z 2, /Z 1 + Z 3=45 .即Z GAF= Z.又 AG=AE , AF=AF GAF 也. /=EF，故 DE + BF=EF .方法迁移:20如图，将Rt ABC沿斜边翻折得到厶 ADC ,点E, F分别为DC, BC边上的点，且/ EAF=丄/ DAB .试2猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想.问题拓展：1如图，在四边形 ABCD中，AB=AD , E, F分别为DC,BC上的点，满足/ E

45、AF= _ / DAB,试猜想当/ B2与/ D满足什么关系时，可使得 DE+BF=EF .请直接写出你的猜想（不必说明理由）6. （ 2011福建莆田14分）已知菱形 ABCD的边长为1 .Z ADC=60，等边 AEF两边分别交边 DC、CB于点E、F。（1） （4分）特殊发现：如图 1,若点E、F分别是边DC、CB的中点求证：菱形 ABCD对角线AC、BD交点0即为等边厶AEF的外心;（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动.记等边厶 AEF的外心为点 P. （ 4分）猜想验证：如图2.猜想 AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明;笑（6分）拓展运用：如图3,当厶AEF面积最小时，

46、过点 P任作一直线分别交边 DA于点M,交边DC的延长线于点1 1N，试判断 是否为定值.若是.请求出该定值；若不是.请说明理由。DM DN三、和差最大问题:典型例题:例1:（2012广西崇左10分）如图所示，抛物线 y = ax2+bx + c （a0的顶点坐标为点 A （- 2, 3）,且抛物线y =ax2 bx c与y轴交于点B （0, 2）（1）求该抛物线的解析式;21（2）是否在x轴上存在点P使厶PAB为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是x轴上任意一点，则当 PA- PB最大时，求点P的坐标.【答案】 解：（1 ）抛物线的顶点坐标为A（ 2,

47、3）,可设 抛物线的解析式为y=a（x 2）2 3。由题意得a（0 2） 3 ,解得a - -1 。4物线的解析式为y = 1 （x十2）2 +3，即y = _丄x2 x +2。4 4（2） 设存在符合条件的点P,其坐标为（p, 0）,则2 2 2 2 2 2 2 2PA =（_2_p）2 32, PB=p2 22 , AB =（3 -2）2 22 =5当 PA=PB 时，（_2-p）2，32=p2，22，解得 p=-9 ；4当PA=PB时，（-2-p）2，32=5，方程无实数解；当 PB=AB 时，p2 22 =5，解得 p - _1。 x轴上存在符合条件的点P,其坐标为（一9 , 0）或（

48、-1,0）或（1,0）。4（3）： PA PB AB ,当A、B、P三点共线时，可得 PA PB的最大值，这个最大值等于AB ,此时点P是直线AB与x轴的交点。设直线AB的解析式为y=kx+b，则b =2-2k b =31直线AB的解析式为y 2x 2，1 当y x 2 =0时，解得x =4。2当PA PB最大时，点P的坐标是（4, 0）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定和性质。22【分析】(1)由已知用待定系数法，设顶点式求解。(2) 分PA=PB、PA=PB、PB=A三种情况讨论即可。(3) 求得PA- PB最大时的位置，即可求解。例丄(20

49、12四川内江&分)已知此(1, 5), B 6 1)两点，在蛊轴上取一点AM-BM取得 最大值时，则M的坐标为一血一 一 7【答案】；0)D2【考点】一袂函数综合題*绘段中垂线的性质，三角形三边关系，关于茸轴对称的点的坐标，待定系数法, 言线上点的坐标与育程的关系，解二元一次方程组-【分析】如图，作点.0关于x轴的肘称点B；连捲呢并延长与x轴的交巖 即対所求的M点此时 AM- BM= AM- 0 T4= AB不娟在梵轴上任取一个另一点皿 连接MA MB MB则M;A-ABr (三角形两边之差小于第三边J-AM-BM,目R此时盘M最大.8是一门关于签轴的对称点,5 ( 1).设直线解新式为尸昭h

50、耙A (h 5)和D代入得;= 5 ,解得$=-J二直讎血b解析式拘旷昭人 3k + b = lh =777令解緡x亍叨点坐标为(亍！。)例3: (2012广东广州14分)如图，在平行四边形 ABCD中，AB=5 , BC=10 , F为AD的中点，CE丄AB于 E,设/ ABCa (60wa90).(1)当a =60时，求CE的长；(2)当 60 v a 90 时, 是否存在正整数 k,使得/ EFD=k / AEF ?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.2 2 连接CF，当CE2- CF2取最大值时，求tan/ DCF的值.CECE U3【答案】 解：(1 ) a =60) BC=1

51、0,. sin a=E，即 sin60 =二，解得 CE= 3 。BC10223G(2)存在k=3，使得/ EFD=k / AEF。理由如下：连接CF并延长交BA的延长线于点G , F 为 AD 的中点， AF=FD。在平行 四边形 ABCD中，AB / CD，/ G= / DCF。在厶AFG和厶CFD中，/ G= / DCF ,/ G= / DCF , AF=FD , AFG CFD (AAS )。 CF=GF , AG=CD。/ CE 丄 AB , EF=GF。/ AEF= / G。 11 AB=5 , BC=10，点 F 是 AD 的中点， AG=5 , AF= AD= BC=5。二 AG=AF 。 22/ AFG= / G。在厶 AFG 中，/ EFC= / AEF+ / G=2 / AEF , 又/ CFD= / AFG，/ CFD= / AEF。/ EFD= / EFC+ / CFD=2 / AEF+ / AEF=3 / AEF , 因此，存在正整数 k=3，使得/ EFD=3 / AEF。设 BE=x AG=CD=AB=5 , EG=AE+AG=5 - x+5=10 - x,2 2 2 2在 Rt BCE 中，CE2=BC2- BE2=100 - x2 2 2