教案直线的倾斜角与斜率教案

1、3.1.1 直线的倾斜角与斜率教案一、教学目标（ 1）知识与技能 ：正确理解直线倾斜角和斜率的概念。理解直线倾 斜角的唯一性。理解直线斜率的存在性。斜率公式的推导过程，掌握 过两点的直线的斜率公式。（2）过程与方法 ：经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握 过已知两点的直线的斜率计算公式， 渗透几何问题代数化的解析几何 研究思想和数形结合思想。（ 3）情感态度与价值观 ：通过教学，使学生从生活中的坡度，自然 迁移到数学中直线的斜率， 感受数学概念来源于实际生活， 数学概念 的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想。二、教学重点与难点重点： 直线倾斜角和斜率的概念以及过两点的直线的斜率公式。

2、难点： 用代数方法推导斜率的过程。三、教学方法计算机辅助教学与发现法相结合。 即在多媒体课件支持下， 让学 生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验 公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。四、教学过程（一）创设情境，揭示课题问题 1、（出示幻灯片）给出的两点相同吗？从形的角度看，它们有位置之分，但无大小与形状之分。从数的角度看，如何区分两个点？（用坐标区分）问题2、过这两点可作什么图形？唯一吗？只经过其中一点可作多少 条直线？若只想定出其中的一条直线， 除了再用一点外，还有其他方 法吗？可以增加一个什么样的几何量？由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式（1）已知直线上

3、两点（2）已知直线上一点和直线的方向（倾斜角、倾斜程度）问题3、角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就 必须还有一条形成角的参照的直线。 在平面直角坐标系下，以哪条轴 线为基准形成刻画倾斜程度的角？（学生可能回答 x轴或y轴）以x轴或y轴为基准都可以，习惯上我们用 x轴。选择哪个角来描述直线的倾斜程度，就能保证坐标系下的任何一条直 线都有唯一的角与它对应呢？（教师引导学生选取不同的方向来描述角）。数学概念来刻画事物时，讲求统一美与简洁美，如何用数学语言 准确描述这个角呢？（揭示课题）1、倾斜角的定义：在直角坐标系下，以x轴为基准，当直线l与x 轴相交时，x轴正向与直线I向上方向之

4、间所成的角，叫做直线I的 倾斜角。教师引导学生练习画出过点 P的各种倾斜角的直线。（i）学生容易忽略与x轴平行的直线，补出图（4）,问倾斜角在哪儿？ 如何规定？规定：当直线I与x轴平行或重合时，它的倾斜角为 0。自然有倾斜 角的范围是0，180）这样平面直角坐标系中每条直线都有唯一一个确定的倾斜角:与它对应。倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直 线，其倾斜角不相等。以上定义了一个从“形”的角度用倾斜角刻画平面直角坐标系内 一条直线的倾斜程度。（二）巩固旧知，弓I入新知生活中，我们都有过爬坡、爬梯的体验，对于斜坡的倾斜程度， 可以用什么量来反映？（坡角与坡度）初中对坡度是如何定义的

5、？升高量 前进量坡度（比）（即坡角的正切值）当坡角增大时，坡度如何变化？当坡角:=90与0时，升高量、前进量分别是什么？坡度又分别 是什么？坡角、坡度都能反映倾斜程度，迁移到数学中，坡角相当于直线 的倾斜角，而坡度则对应于直线的斜率。2、斜率：倾斜角不是90的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。即k = tan : （: = 90 ）问题4、当：为钝角时，直线的斜率如何求？（转化到其补角.上）=180（，是锐角）k = tan - tan（180 - - tan如：倾斜角，120，则斜率k3问题5、当在0 ，180 ）内变化时，斜率k如何变化?0 ° <a v 90 &#

6、176;a = 90°90 °< 口 < 180 °a = 0 °k >0k不存在k <0k =0问题6、倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度，哪个量更优越呢？倾斜角能从形的角度刻画倾斜程度，而斜率是比值，实质是数值， 它能从数的角度反映倾斜的程度，显然用斜率更细致入微些。（三）尝试推导，深化认识两点确定一条直线，可见由两点也就确定了直线的倾斜程度， 即 倾斜角与斜率。看来，直线上两点与直线的斜率有着密不可分的联系。问题7、在平面直角坐标系中，已知直线上两点 Pi （xi, yi）, P2 （X2, y2）且xi = X2，能否用R

7、、P2的坐标来表示直线斜率k?（学生活动）：随意在坐标系下画两点Pi、R及直线Pi P2,探究各种 图形并尝试推导，可以先特殊再一般，也可先一般再特殊地去分析。 教师可适当引导其将斜坡截面图迁移到坐标系中，类似升高量，前进量，用点的坐标表示线段长，并请同学叙述各个图的推导过程与结果。xx解：设直线Pi P2倾斜角为:G -90 ）当直线Pi P2方向向上时，过 点R作x轴的平行线，过点P2作y轴的平行线，两线交于点 Q则点 0为（X2，yi）（1） 当为锐角时，：一 -QRP2， Xi ： X2， yi : y2在 RMRPqQ 中，tan口 =tanZQRF2= =% >0PQ x2

8、-xi（2）当。为钝角时， =i80-日（设N QRF2二日）,花v x?,屮門2 tan： =tan(i80 - -ta在 RUP1P2Q 中，tam竺QR x2 xx2 -x-tan：上 里V 0 （可让学生分组推导）X? - x同理，当直线RR方向向上时，无论为锐角或钝角，也有tan，即 kx2 捲x2 捲思考：1、各种一般情形得出的结论一致吗？与 Pi、P2这两点坐标顺 序有关系吗？2、当直线垂直于x轴或y轴时，上述结论适用吗？3、斜率公式使用时应注意什么问题？(四)例题讲解、强化认知例1.已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率。(1)a =45°( 2) - =30°

9、(3):=120°(4) = 135°(5) ： =1500例2.已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1),求直线AB, BC, CA的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.例3.在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2及-3的直线.（五）巩固练习、内化知识1.如图，若图中直线li、12、13的倾斜角和斜率分别是 ：-i/'2/'3和匕、k2、k3，则（）(A)：:- 2 ： ： 3,k3 ： k1 < k2（B） : 1 ： ? 2 :：3, k2 ： k ： k3(C):-1 ： 3 : ：2, k3 : k2

10、 < k,(D)1 ： >32. 若 A（ 3，-2），A . 13. 若直线的斜率为B (-9 , 4), C (x,0）三点共线，则B. -1C. 0" -j2, & ： k3： k?x的值为（）D.7k丁，则倾斜角：一4. 直线过点（2,2 ）和点（-1,-1），直线倾斜角:-=5. 已知直线斜率的绝对值等于、3，则直线的倾斜角为 16. 已知 A(x, -2) , B(3, 0),且 kAB ，求 x 的值。27. 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角。(1)C(18,8), D(4,_4)(2)P(0,0),Q(-1, .一 3)(3)A(1,2), B(0,2)(六) 反思小结，概括提炼(同学们这节课有何收获？)1、明确了确定直线