2020年高考数学专题六第4讲

1、第 4 讲 导数与函数的单调性、极值、最值问题高考定位利用导数研究函数的性质，能进行简单的定积分计算，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决简 单的问题.XSfffi考点整合I用考向二担耍点! |真题感悟1. (2018 全国I卷)设函数 f(x) = x3+ (a 1)/ + ax.若 f(x)为奇函数，则曲线 y=f(x) 在点(0, 0)处的切线方程为()A.y= 2xB.y= xC.y=2xD.y= x解析 因为函数 f(x) = x3+ (a 1)x2+ ax 为奇函数，所以 f(x)= f(x)，可得 a= 1，所以 f(x) = x3+

2、 x，所以 fx) = 3x2+ 1，所以 f (6)1，所以曲线 y=f(x)在点(0，0) 处的切线方程为 y= x.答案 D2. (2017 全国U卷)若 x= 2 是函数 f(x)= (x2+ ax 1) ex1的极值点，则 f(x)的极小值为()A. 1B. 2e3C.5e3D.1解析 fx)= x2+ (a+ 2)x+ a 1 ex1，则 f 2) = 4 2(a+ 2) + a 1 e3= 0 a= 1，则 f(x)= (x2 x 1) _，fx) = (x2+ x 2)e1,令 fx) = 0，得 x= 2 或 x= 1，当 x1 时，fx)0;当一 2x1 时，fx)X1，设

3、 t = f(X1) f(x2)- (a 2)(x1- x2),试证明 t0.(1) 解 f(x)的定义域为(0, +x,2,1, a x ax+1f x) =2 1 + =2-.7x xx(i)若 a2,则 fx)2, 令 fx) = 0 得,a+;2-4上单调递增.证明由(1)知，f(x)存在两个极值点时，当且仅当 a2.由于 f(x)的两个极值点 X1, X2满足 x2 ax+ 1=0, 所以 X1X2= 1.又 X2X10，所以 X21.又 t=f(xi) f(x2) (a 2)(xi x2)11 =T (xi x2) + a(ln xi In x2) (a 2)(xi x2) 入 入

4、二a x=*a24 亠 a+ *a2 42或 x=当x0,a+f-4,+x时，fx(0.所以 f(x)在 0,a 一 a242a+24, +x上单调递减,xi1c,=a Inxi+x2= a +2ln x2x2.X2X25 i设(|(x) = 一一 x+ 2ln x, xi.x由第(i)问知，x)在(i,+x单调递减，且 怕)=0,从而当 x (i,+时，(Kx)0.i所以 x；+ 2ln x2 x20.考点整合i导数的几何意义函数 f(x)在 xo处的导数是曲线 f(x)在点 P(xo，f(xo)处的切线的斜率，曲线 f(x)在点 P 处的切线的斜率 k = fx()，相应的切线方程为 y

5、f(xo) = fx0)(xxo).易错提醒求曲线的切线方程时，要注意是在点P 处的切线还是过点 P 的切线，前者点 P 为切点，后者点 P 不一定为切点2. 四个易误导数公式(1) (sin x)丄 cos x；(2) (cos x)丄sin x；(ax)丄 axln a(a0,且 a i；,i厂(4)(logax)二 x(a0，且 a1x0).3. 利用导数研究函数的单调性(1) 导数与函数单调性的关系.1fx)0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)=x3在(一x,+x上单调递增，但 fx(0.2fxp0 是 f(x)为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有 f

6、x) = 0 时，则f(x)为常数函数.(2) 利用导数研究函数单调性的方法.若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式 fx)0 或fx(0，右侧 fx)0,则 f(xo)为函数 f(x)的极大值；若在 X0附 近左侧 fx(0，则 f(xo)为函数 f(x)的极小值.设函数 y= f(x)在a, b上连续，在(a, b)内可导，贝Uf(x)在a, b上必有最大值 和最小值且在极值点或端点处取得.易错提醒 若函数的导数存在，某点的导数等于零是函数在该点取得极值的必要 而不充分条件.热点一导数与定积分的几何意义【例 1】(1)(2016 全国川卷)已知 f(x)为偶函数

7、，当 xv0 时,f(x) = ln(-x) + 3x,则曲线 y=f(x)在点(1, - 3)处的切线方程是6a(2018 邯郸调研)x2+ 2x 展开式的中间项系数为 20,如图阴影部分是由曲线 y= x2和圆 x2+ y2= a 及 x 轴围成的封闭图形，则封闭图 形的面积 S=_ .解析 令 x0,则一 x0),贝 U fx) = - 3(x0). x f(特2,在点(1, 3)处的切线方程为 y+ 3 二一 2(x 1),即 2x+ y+ 1= 0.尖点栃青汰63aa因为 x2+ 2x 展开式的中间项系数为 20,中间项为第四项，系数为 C32 = 20,解得 a = 2,所以曲线

8、y= x2和圆 x2+卜2 在第一象限的交点为（1, 1）,所以阴影部分的面积为n-仃9n12131n10(xx)dx=4-2x-3x0=4-6.答案n1(1)2x+y+1=0 (2) 46探究提高1利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标2.利用定积分求平面图形的面积的两个关键点（1）正确画出几何图形，结合图形位置，准确确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值.（2）根据图形的特征， 选择合适的积分变量在以 y 为积分变量时， 应注意将曲线方程变为 x= y）的形式，同时，积分上、下限必

9、须对应y 的取值.2 一 cos xn【训练 1】（1）（2018 武汉调研）设曲线 y=sin x在点 2, 2 处的切线与直线 x +ay+ 1 = 0 垂直，则 a =_.（2）（2018 成都质检）在平面直角坐标系内任取一个点P（x，y）满足0 x 2,0 y 2, 则点 P 落在曲线 y=1与直线 x=2, y= 2 围成的阴影区J X域（如图所示）内的概率为_12cosx2cosx 冗=sifx ，则曲线 y= sin x 在点 2，2 处的切线的斜率为 k= 1.因为直线 x1+ ay+ 1 = 0 的斜率 k2= a，又该切线与直线 x+ ay+ 1= 0 垂直，所以 k1k2

10、= 1，解得 a= 1.解析(1)y =(2 cos x) SXT-(2 cos x)sin x(sin x)221 1 , 12X dx=(2xIn X)1= (2ZIn 2)2 苓巧=32123 2ln 2 3 2ln 22ln 2,因此所求概率为2Z2=4.答案3 2ln 2(1)1 (2)4-执占二八、.利用导数研究函数的单调性考法 1 确定函数的单调性(区间)【例 21】 (2017 全国I卷改编)已知函数 f(x) = ex(ex a) a2x,其中参数 a0,求 a 的取值范围.解(1)函数 f(x)的定义域为(汽+ %),且 a 0.f x) = 2e2x aex a2= (2

11、ex+ a)(ex a).1若 a = 0,则 f(x)= e2x,在(,+上单调递增.2若 a0,则由 fx)= 0, 得 x= In | .rar.当 x x,in时，f x)0;当 x In 2 , +x时，fx(0.a故 f(x)在x,in 2 上单调递减，a在区间 In 2,+x上单调递增.综上所述，当 a = 0 时，f(x)在 R 上单调递增； 当 a0 恒成立a若 aa一 2e4时，f(x) 0.3综上，a 的取值范围是2，0.考法 2 根据函数的单调性求参数的取值范围【例 2-2】(2018 广州质检)已知 x= 1 是 f(x) = 2x+b+ In x 的一个极值点.X(

12、1)求函数 f(x)的单调递减区间.3+a设函数 g(x)=f(x) ，若函数 g(x)在区间1 , 2内单调递增，求 a 的取值范xb解 (1)f(x)=2x+-+In x,定义域(0,+x)x2 Fg 2乌+2二2x+厂b.x x x因为 x= 1 是 f(x)= 2x+b+ In x 的一个极值点,入所以 f(甘 0,即 2 b+ 1 = 0.解得 b = 3,经检验，适合题意，所以 b= 3.所以 pg 24+2x!4,x x x令 fx(0,得 0 x0),1 ag x)= 2+x+x2(x0).因为函数 g(x)在1, 2上单调递增，所以 g ( 0 在1, 2上恒成立，即 2+1

13、+ x20在1 , 2上恒成立， 所以 a 2x2 x 在1 , 2上恒成立， 所以 a( 2x2x)max, x 1 , 2.23因为在1 , 2上，(2x1 3-X)max= 3,所以 a-3.所以 a 的取值范围是3,+)探究提高 1求函数的单调区间，只需在函数的定义域内解(证)不等式 fx)0 或fx) 0,即(x2+ 2)ex0,因为 ex0,所以一 x2+ 20,解得一,20,所以一 x2+ (a 2)x+ a0,x2+ 2x(x+ 1)2 11丄则 *齐 1 二x+1二(x+ 1) x+1 对 x ( 1, 1)都成立.1 1令 g(x)二(x+ 1)石，贝 U gx)二 1+(

14、x+1)20.所以 g(x)-,则当 x a，2 时，f刈0;2a当 x(2,+x)寸，fd(0.所以 f(x)在 x= 2 处取得极小值.1 1若 a2,则当 x (0, 2)时,x-20, ax- 110.所以 2 不是 f(x)的极小值点.1综上可知，a 的取值范围是1，+ .探究提高 1.本题利用导数的几何意义曲线在点(1, f(1)处的切线与 x 轴平行，求a 值，切记，需检验切线是否与 x 轴重合.2.(1)可导函数在极值点处的导数一定为零，但导数为零的点不一定是极值点，是极值点时也要注意是极大值点还是极小值点.(2)求函数 f(x)在闭区间a, b的最值时，在得到极值的基础上，结

15、合区间端点的函数值 f(a), f(b)与 f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.【训练 3已知函数 f(x)= excos x- x.(1)求曲线 y= f(x)在点(0, f(0)处的切线方程；n求函数 f(x)在区间 0, 2 上的最大值和最小值解 (1)vf(x)= excos xx,. f(0)= 1,fx) = ex(cos x sin x) 1 , f (= 0, y=f(x)在(0, f(0)处的切线方程为 y 1= 0 (x 0), 即卩 y= 1.(2)fx) = ex(cos x sin x) 1,令 g(x) = fx),n则 gx)= 2sin x ex0 在 0,

16、 2 上恒成立，且仅在 x= 0 处等号成立,n g(x)在 0, 2 上单调递减， g(x) g(0) = 0,二 fx)0,不等式f(x)0).xx令 fx(= 0,即 x2+ ax+ 1 = 0,其中= a2 4.当 a2 4 0 时，即一 2 a0 恒成立. fx(0,则 f(x)在(0,+x上递增，函数无极值点.当 a2 40 时，由 x2+ ax+ 1 = 0,得 X1*-,2-4, x2沙F4(X1VK2).4 讨论函数 f(x)在定义域内的极值点的个数；x= 0 处等号成立,n2.若 a2，则 X1X20,f(x)在(0,+x上单调递增.f(x)在(0, + 上无极值点.若 a

17、 2,则 0 x10,当 X (XI, X2)时，f x(0,故 xi是 f(x)的极大值点，X2是 f(x)的极小值点. 综上：当 a 2 时，f(x)无极值点.13(2)f(x) g(x)等价于 In x+ 2X5 1 6+ ax ax，因此 a0).11当 a0 时，由 fx(O，得 0 x0，得 x-, aa11ix2.当 x (0，1)时，ex1) + In x+ x210，即 hx)0，即 hx)0, h(x)单调递增.因此 x= 1 为 h(x)的极小值点，即 h(x) h(1) = e+ 1，故 abx 2 恒成立，求实数 b的最大值.1 ax_1解(1)f(x)的定义域为(0

18、，+), fX刈=a -=-.X X当 a 0 时，fx)w0 在(0，+上恒成立，函数 f(x)在(0，+上单调递减. f(x)在(0，+上没有极值点.x1ex -+ 2x x ex+ In xx2,xh x)=X2ex(x 1)+ In x+x2 1f(x)在 o, a 上单调递减，在 a，+%上单调递增，故 f(x)在 x=占处有极小值.综上，当 a0 时，f(x)在(0,+上有一个极值点.函数 f(x)在 x= 1 处取得极值，f(特 a 1 = 0，贝 U a= 1，从而 f(x) = x 1 In x.1 In x因此 f(x) bx 2 1 + -一 b，x 1 In xIn x

19、2令 g(x) = 1 + x三，贝 U g x(=x2，令 gx)= 0，得 x= e2，则 g(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，+上单调递增，1 1g(x)min= g(e2) = 1 孑，即卩 bw1 孑1故实数 b 的最大值是 1孑.归细总堵思抵升华 I操爛輕暑防矣涮|1.如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，这些单调区间不能用 D ”连接， 而只能用逗号或和”字隔开.2. 可导函数在闭区间a, b上的最值，就是函数在该区间上的极值及端点值中的最 大值与最小值.3. 可导函数极值的理解(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值；对于可导函

20、数 f(x), f(x)在 x=X0处的导数 fx0) = 0”是 f(x)在 x= X0处取得极值”的必要不充分条件；(3) 注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极 大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点 .4. 求函数的单调区间时，若函数的导函数中含有带参数的有理因式，因式根的个数、大小、根是否在定义域内可能都与参数有关，则需对参数进行分类讨论.5. 求函数的极值、最值问题，一般需要求导，借助函数的单调性，转化为方程或不等式问题来解决，有正向思维一一直接求函数的极值或最值；也有逆向思维一一 已知函数的极值或最值，求参数的值或范围，常常用到分类讨论、数形

21、结合的思 想.专題 1O 对接高考 I沁丈匹胡一、选择题1曲线 y= ex+ 2x 在点(0,1)处的切线方程为()A.y=x+ 1B.y= x 1C.y= 3x+ 1D.y= x+ 1解析 求导函数 y= ex+ 2,当 x= 0 时，y= e0+ 2= 3,所以曲线 y= ex+ 2x 在点(0,1)处的切线方程为 y= 3x+ 1.答案 C12.(2018 安徽江淮十校联考)设函数 f(x) = 2x2 9ln x 在区间a 1，a+ 1上单调递 减，则实数 a 的取值范围是()A.(1，2B.4,+x)C.(汽 2D.(0 , 39解析 易知 f(x)的定义域为(0,+ %)且 x -

22、.x因为函数 f(x)在区间a 1, a+ 1上单调递减，所以 f刈W0 在a 1, a+ 1上恒成立，即 00, 所以 解得 1a0, g(x)= 6x2 2x+ 1 的= 200 恒成立，故 fx(0 恒成立, 即 f(x)在定义域上单调递增，无极值点.答案 A4函数 y = f(x)的导函数 y = fx)的图象如图所示，贝 U 函数 y = f(x)的图象可能是()解析 利用导数与函数的单调性进行验证.fx)0 的解集对应 y= f(x)的增区间，fx)v0 的解集对应 y= f(x)的减区间，验证只有 D 选项符合.答案 D5.(2018 郑州质检)若函数 y=f(x)存在 n 1(

23、n N*)个极值点，则称 y= f(x)为 n 折函 数，例如 f(x) = x2为 2 折函数.已知函数 f(x)= (x+ 1)exx(x+ 2)2，则 f(x)为()A.2 折函数B.3 折函数C.4 折函数D.5 折函数解析 fx)= (x+ 2)eT (x+ 2)(3x+ 2) = (x+ 2)(ex 3x 2)，令 fx) = 0,得 x= 2或 ex= 3x+ 2.易知 x= 2 是 f(x)的一个极值点，又 ex= 3x+ 2，结合函数图象，y= 与 y= 3x+ 2 有两个交点.又 e2工 32) + 2 =4.函数 y=f(x)有 3 个极值点，则 f(x)为 4 折函数.

24、答案 C、填空题6.(2018 全国U卷)曲线 y = 21 n(x + 1)在点 0(0 , 0)处的切线方程为2解析 由题意得 y 丄.在点 O 处切线斜率 k=yx| = 2.A曲线 y= 21 n(x+ 1)在x+ 1点(0, 0)处的切线方程为 y 0 = 2(x 0), 即卩 y=2x.答案 y= 2xh (x)(x0),当 x (0, 1)时，fx)1 时，fx)0,函数 f(x)单调递增. x= 1 时，f(x)取到极小值 e 1,即 f(x)的最小值 e 1.又 f(x)为奇函数，且 x0 时，f(x)= h(x), h(x)的最大值为一(e 1)= 1 e.答案 1 e8.

25、对于函数 y= f(x)，若其定义域内存在两个不同实数 X1, X2,使得 xif(xi) = 1(i = 1,x2)成立，贝 U 称函数 f(x)具有性质 P.若函数 f(x)=号具有性质 P,则实数 a 的取值范 a围为_.解析依题意，xf(x) = 1,即xe= 1 在 R 上有两个不相等实根，a- a = xex在 R 上有两个不同的实根，令 x) = xe,则x)= ex(x+ 1),当 x1 时，&x)-1 时，dx)0, x)在(-1,+x上是增函数.7.(2018 郴州三模)已知奇函数f(x)=(x0)则函数 h(x)的最大值为解析当 x0 时,f(x)= - 1, f*6(1)1因此x)极小值为(K-1)= 在同一坐标系中作 y= x)与 y= a 的图象，D又当 x0 时，Hx) = xex0.1由图象知，当一 ea0,