《分解因式》中考热点透视

1、分解因式中考热点透视分解因式中考热点透视分解因式一章中，我们主要学习了分解因式的概念、会用两种方法分解因式， 即提公因式法、平方差公式和完全平方公式（直接用公式不超过两次）进行因式 分解（指数是正整数）.具体要求有：1、经历探索分解因式方法的过程，体会数学知识之间的整体（整式乘法与因式 分解）.2、了解因式分解的意义，会用提公因式法、平方差公式和完全平方公式（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）.3、 通过乘法公式：（a + b）（a - b ）=a2 - b2 ，（a b） 2= a2 2ab + b2 的逆 向变形，进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理思考及语言

2、表 达能力.在中考中，除了考查对一个整式进行分解因式等常规题型外，因式分解作为一种 重要的解题方法和工具，经常出现于各种题型中，以下几种就值得引起注意.一、构造求值型例1 （20XX山西）已知x+y=1，那么的值为.分析：通过已知条件，不能分别求出x、y的值，所以要考虑把所求式进行变形, 构造出x+y的整体形式.在此过程中我们要用完全平方公式对因式分解中的 .=（x2+2xy+y2） = （x+y）2 = 12 = 1 =.在此过程中，我们先提取公因式 ，再用完全平方公式对原式进行因式分解，产 生x+y的整体形式，最后将x+y=1代入求出最终结果.例2（ 20XX广西桂林）计算： .分析：为了

3、便于观察，我们将原式“倒过来”，即原式=22 + 2 = 4+2 = 6.此题的解题过程中，巧妙地用到了提公因式法进行分解因式，使结构特点明朗化， 规律凸现出来.此题解法很多，比如，我们还可以采用整体思想，把原式看作一 个整体，利用方程与提公因式法分解因式相结合的方法解答此题 .设M =，则-M =解得M = 6.二、探索规律型例3(20XX福建福州)观察下列各式：请你将猜想到的规来分析：根据题意，不难猜想到规律：12+1=1 X 2, 22+2=2X 3, 32+3= 3X 4, 律用自然数 n(n 1)表示出n2+n=n(n+1).这个结论就是用提公因式法把n2+n进行了因式分解.例4 (

4、20XX青海)请先观察下列算式，再填空：(1) 8X(2) (3) (4) ( 通过观 论：分析：类比各式,(1) 8X 3(2) -( 7 )=8X 4;=8X 5;=8 X纳，写出反映这种规律的可以发现:=8X 4;(3) ( 11 ) 9 = 8X 5;(4) ( 11 )= 8X 7 ;通过观察归纳，得到这种规律的一般结论是两个连续奇数的平方差能被8整除(或说是8的倍数).如果我们分别用2n+1和2n-1表示两个相邻的奇数，则利用平方差公式，有(2n+1)2 - (2n-1)2 = (2 n+1)+(2 n-1) (2 n+1)-(2 n-1) = 4n x 2 = 8n.三、开放创新

5、型例5 (20XX福建南平)请写出一个三项式，使它能先提公因式，在运用公式来分 解.你编写的三项式是 ,分解因式的结果是 .分析：利用整式乘法与因式分解的互逆关系， 可以先利用乘法公式中的完全平方 公式，写出一个等式，在它的两边都乘一个因式，比如2m(m+n)2 = 2m(m2+2m n+n 2)=2m3+2m2 n+2mn 2,3a(2x-5y)2=3a(2x)2-2x2xx 5y+(5y)2=3a(4x2 -20xy+25y2)=12ax2-60axy+75ay2,等等.2m3+2m2n+2mn2分解因式的结果是2m(m+n)212ax2-60axy+75ay2，分解因式的结果是 3a(2

6、x-5y)2 ,于是编写的三项式可以是或者编写的三项式可以是等等.9x2 + 1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是填上一个你认为正确的即可).分析：根据完全平方公式a2 2ab+b2=(a b)2的特点，若 表示了 a2+b2的话，则有 a=3x，b=1，所以，缺少的一项为 2ab= 2 ( 3x) 1= 6x,此时，9x2 + 1 6x=(3x 1)2 ;如果认为9x2 + 1表示了 2ab+b2的话，则有 缺少的一项为 a2= () 2=，此时，+9x2 + 1=(+1)2.从另外一个角度考虑，” 一个整式的完全平方”中所指的“整式” 所提到的多项式，也

7、可以是单项式.注意到9x2=(3x)2 ,1=12,a=, b=1，所以，既可以是上面 所以，保留二项例6 (20XX四川)多项式式9x2 + 1中的任何一项，都是“一个整式的完全平方”，故所加单项式还可以是-1 或者-9x2，此时有 9x2 + 1-1=9x2=(3x)2 ，或者 9x2 + 1-9x2=12.综上分析，可知所加上的单项式可以是 6x、-1或者-9x2.四、数形结合型例7 (20XX陕西)如图1,在长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a b)把余下的部分剪拼成一个矩形(如图2),通过计算两个图形(阴影部分)的面 积，验证了一个等式，则这个等式是(D )a2 b2= (

8、a 十 b)(a b)(a + b)2 = a2+ 2ab 十 b2(a b)2 = a2 2ab + b2(a 十 2b)(a b) = = a2+ ab 2b2图1表示的是a2 b2，图2表示的是(a十b)(a b)，两者面积相等，所D.分析：以 a2 b2= (a 十 b)(a b).故选A.例8 (20XX年山东省济南市中考题)请你观察图 3,依据图形面积间的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是 图3分析：图中所表示的整个正方形的面积是x2,两个小正方形的面积分别是y2与(x-y)2,利用这些数据关系，结合图形便可以写出以下公式：x2-2xy+y2= (x-

9、y)2 ，或者 x2-y2 = (x+y)(x-y).当然，在没有限定的情况下，也能写成乘法公式.根据几何图形的特征，研究其中蕴含的数学公式，是“数形结合思想”的具体体现.例9 (20XX山西)有若干张如图4所示的正方形和长方形卡片， 图4表中所列四种方案能拼成边长为的正方形的是(卡片数量(张)方案(1)(2)(3)A1分析：此题的本意就是判断哪些卡片的面积之和是（a+b）2.因为a2+2ab+b2=（a+b）2，对照图4所示的正方形和长方形卡片，可知三种卡 片的面积分别为a2、b2和ab，它们分别需要1张、1张、2张.由此可选出正 确答案为A.例10（20XX山西太原）如图5是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图 中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a、b的恒等 式 图5分析：外框围成的大