概率论--练习题

1、得分2.给出多维随机变量相互独立和两两独立的概念,为什么说多维随机变量的独立性本质上是随机事一、简答题（每题8分，共计40分）1.事件的独立性是否存在传递性？即事件A与事件B相互独立，事件 B与事件C相互独立，能否推知事件 A与事件C相互独立？试举例说明.解答 事件的独立性不存在传递性.（3分）反例独立地抛掷出一枚硬币和一个骰子，令三个事件如下A=出现正面 , B=掷出第6点 , C=出现反面（6分）则事件A与事件B相互独立，事件 B与事件C相互独立，但事件 A与事件C不相互独立.（8分）精品资料件组的独立性?解答 设n维随机变量（X1,X2，Xn）的联合分布函数为F（Xi，X2，Xn），若对

2、所有实数组（Xi，X2，Xn）均有F（X1,X2，Xn） =Fi（Xi）F2（X2）Fn（Xn）成立，称X1,X2/- ,Xn相互独立.（3分）若对一切1 < ii < i2 w n及（Xi1,2）都有F（Xi1,X2）=F1（Xi）Fi2（X2） 成立则n维随机变量（X1,X2/-,Xn）两两独立.（5 分）根据分布函数的定义，n维随机变量（X1,X2，xn）相互独立即对任意实数向量（X1 , X2,Xn）, n个随机事件 Ak=Xk wxk, k=1,2,n,都相互独立.（8分）丄1计算概率PX=Y和PX+Y=0.解答 根据X与Y的边缘分布律得下表3.设两个随机变量 X与Y相互

3、独立且同分布：PX = 1= PY= 1= 2 , PX=1= PY=1= 2，试X / Y11X1121丄2Y1212（3分）（6分）根据随机变量X与Y的相互独立性，可知上表中四个空格处概率均为有下表（X , Y）（-1, - 1）（-1, 1）（1, - 1）（1, 1）1111P刁刁'4（8分）1="21 +刁1 1 1 1可得P X=Y= 4+7 = 2, P X+Y=0=刁注 用其他表达形式得到结果，类比给分.4.在区间0, 2上任意取两个数 X, y，试求两数满足不等式 解答“任意选取两个数”意味X和y在0, 2上等可能被选取，即二维随机点 的正方形上服从均匀分布

4、，所求概率为(X, Y)在边长为(3分)X-X2 =.43（8分）Y是否为连5. 假设随机变量X服从指数分布，试求Y= mi nX, 2的分布函数，并讨论随机变量续型随机变量，为什么?y cO;解 Fx（x）=Pmin（X,2） <y =PX <y,0<y<2;y汐0,（3分）11,0, yc0;=为，0<yc2;1,八 2.（6分）连续型随机变量的分布函数处处连续，Fx (x)在y=2处不连续，故 Y非连续型随机变量（8分）得分二、证明题(12分)已知随机变量 X与Y相互独立，且XU(0,1), YB(1, p).Y2相互独立.证明X2与需证 对任意的y忘R及k

5、 = 0,1，随机事件X2<y与Y2=k相互独立. 因Y与Y2同分布，且X与Y相互独立，当y > 0，k =0,1P x2 wyY2 =k = Pj'y <x <=证明k=P-Jy<X <Jy= PX2<y（3分）（5分）（9分）当 y cO，k =0,1（12 分）PX2 <yY2 =k =0 = PX2 <y故X2与Y2相互独立.或证明任意实数对(X, y), (X2,Y2)联合分布函数G(x, y)满足G(x, y) =Fx2(x)FY2(y)三、(14分)设电源电压X N (220,252)(单位：V)，通常有三种状态：(a

6、)电压不超过200 V ；( b)电压在200V240V之间；(c)电压超过240 V.在上述三种状态下，某 电子元件损坏的概率分别0.1，0.001及0.2，试求1)该电子元件损坏的概率；2)在电子元件损坏的情况下，分析电压最可能处于什么状态？(附：(0.8) =0.7881,6(1.2) =0.8849)A =电压处于状态a, A =电压处于状态b, A =电压处于状态C,B=该元件损坏，则A,A2,A3构成Q的一个划分，且P(B|A)=0.1, P(B|A2)=0.001, P(BA3)=O.2200-220卩(人)=PX <200 =0()=0(0.8) =0.2119,2524

7、0220P(A3PX >240 =1-0()=1-0(0.8)=0.211925P(A2) =1 - P(A) -P(A3)=0.57623由全概率公式 P(B)=送 P(Ai)P(B A) =0-0642得分（10 分）（3分）（8分(2)由贝叶斯公式P (A) P(BA1)P（AB） =p (B)P(A3 B) =0.6601,在电子元件损坏的情况下，分析电压最可能处于状态(=0214=0.3301，p（a2|b）=0.0642呼=0.0090,（12 分）c）.（14 分）四、(14分)设随机变量X1,X2,X3相互独立且都服从参数为P的0-1分布，已知矩阵X1 X2X2 X3为正

8、定矩阵的概率为1 .试求1)参数P的值；2)随机变量丫 =81 X22 X3率 PY =0.解1）因矩阵正定的充分必要条件是其所有顺序主子式都大于1 2 -px0,X1Xx| >0 81 解得P =丄.220,故有（3分）的概（7分）= PX1,X0,X1p2（1-P）-1,0,1,2）随机变量Y = X1X3 X2的全部取值为PY =0 = PX1X3 X； =0=PX1 = 0, X2 = 0, X3 = 0 + PX1 = 1, X2 =1,X3 = 1（10 分）12(14 分)+ PX1 =0,X2 =0,X3 =1 +PX1 =1,X2 =0,X3 =0=P X0PX0PX0

9、 + PX1PX1PX1+ PX0PX0PX1 +PX1 =1PX2 =0PX34五、（20分）随机变量（X,Y）的联合概率密度函数是得分1f(X, y)=exty2-2其中fcosxg(xr 02兀X 兀1+e2兀2Tg(x)g(y) (x, y) R21）证明X与Y都服从正态分布；2） 相互独立？求随机变量4)根据本题的结果，你能总结出什么结论？x2*2肋八/be/bC1 -二1n解"f X(X)= Jf(X, y)dy = J edy +e°丄£°二2 n2 nx2=2 +e rcosxcosydy =兀2兀-H即 X N(0,1).Y关于X的条件

10、概率密度；3）讨论X与Y是否-be-be 1fY(y) =(xMdx 二 J石e注2；!YN（0,1）（9 分）2）对任意 R,因 fx（x） aO2fYX（yr 晋十 Vfx（x）2 兀Ug(X)g(y)dy1 二 e 2, X亡 RU2兀be叫Cg(x)g(y)dx 二+丄e2花(3 分)(5 分)17Fe2 y2七)g(x)g(y), y-R(14 分)3） 因fx（x）fY（y） Hf （x,y）,故X与Y不相互独立.或因fY X（y） = fY（X），故X与Y不相互独立.4）如 n维正态随机变量的每一分量均服从正态分布，反之不成立;可由条件分布确定两个随机变量的独立性；等等，只要是总

11、结出可用的结论均可(17 分)(20 分)1.设Fi（x）,F2（x）为两个分布函数，问：（1）F1（x） +F2（x）是否分布函数?（2） F, （x）F2（x）是否分布函数?给出证明。2.设进入商场的顾客人数X服从参数为的泊松分布，进入该商场的顾客购买商品的概率为P,假8Y 所服从的分布。定顾客是否购买商品是相互独立的，求该时间段内购买商品的顾客人数电子科技大学概率论与数理统计第一次测验题(第1-2章)测验方式：随堂开卷时间： 45分钟一、某车间在一个生产班次中加工了N件产品，其中有M个次品.现从该批产品中任意取出 n个产品，试给出其中次品件数 X的分布列(律).能否认为次品件数 X服从二

12、项分布？需满足什么假设条件？ 参考答案：是分类抽球模型问题， X服从超几何分布：P( AmHCM /cNn, m =12min( M, n), n<N一次取出n个产品等效于逐次不放回抽取 ，共取n次.假定N值很大的条件下，可视各次抽取时独 立重复进行，各次抽到次品的概率不变，近似满足贝努里实验的三个条件：仅关心次品与否、重复性及 独立性.n次抽取抽到次品的次数 X可认为服从二项分布.二、设计某城市公共汽车的车门高度h时，要求乘客与车门碰头的概率必需小于0.01.你认为应做出什么假设，需要确定什么参数，并给出你的车门高度 h估计方法.参考答案：假定人群的高度服从正态分布N( ,，计算概率X

13、-卩h-卩不h-A0.01 > PX > h = P> = 1-6()CCC不h卩h 卩解得6() 30.99，根据(X)的单调性，有>2.33cc确定出参数 卩和02后,可解出h >2.33口+ K三、某地区对5060岁的男性公民进行调查，结果发现，肺癌病人和无肺癌者的吸烟比例差不多,两者分别为99.7%和95.8%.于是有人说：吸烟对于是否患肺癌没有太大的影响，该如何看待这个问题 呢？若假定人群中肺癌的发病率约为0.01%,对你的观点做出解释.解A=抽检到肺癌病人 , B=抽检到吸烟者有 P(A) =0.01%，P(B|A)=99.7%，P(B|A)=95.8

14、%.利用Bayes公式计算概考虑吸烟的条件下患肺癌的可能性(即吸烟人群中的肺癌发病率)有多大P(AB)P(A) P(BA)P(AB)" P(B) - P(A)P(B|A) + P(A)p(b|A)0.01% X 99.7%率"04 X 忻0.01%99.7% +(1 0.01%)95.8%在吸烟的条件下患肺癌的可能性非常小(只有0.01%),吸烟的危害性似乎不足挂齿！但是另一方面,求得不吸烟的条件下患肺癌的概率仅为p(aB)P(A) P(B|A)P(AB) "p(B) p(A)p(Ba) + p(A)p(BA)0.01%(1-99.7%)=止 7.14x10卫0.

15、01%(1 -99.7%) +(1 -0.01%)(1-95.8%)吸烟患肺癌的可能性是不吸烟的14.6倍.可以得出结论：还是不吸烟的好!、简答题（共40分，共4题，每题10 分）1.设计某城市公共汽车的车门高度h时，要求乘客与车门碰头的概率必需小于0.01 .你认为应做出什么假设,需要确定什么参数,并给出你的车门高度 h估计方法.参考答案：假定人群的高度服从正态分布N（ ,旳，（2分）计算概率X-P h-Ph-卩0.01 > PX > h = P> = 1-0（）一bch-卩,有>2.33 （8 分）ch -A解得（P0.99 , （6分）根据 （X）c确定出参数 卩

16、和02后,可解出h >2.330 +卩.2.已知随机变量X的分布函数为的单调性(10 分)F(x)卩1+x=<0 <x<12请根据该分布函数的特点判断：X是离散型随机变量吗？是连续型随机变量吗？说明理由参考答案既非连续型随机变量，也非离散型随机变量.离散型随机变量至多仅取可列多个值，但X可取区间（0,（4分）1）中的任意值，对任意a, （0,1）且avb,Pa<X <b =F(b)-F(a)=g= 匸a > 0或者其他解答（10分）23. n重贝努里试验具有什么特点 ？若A是进行10重贝努里试验中关注的随机事件，请写出事件 A首次发生时的试验次数 Y分

17、布律.参考答案 n重贝努里试验具有独立性与可重复性，仅关心两个可能结果：设P(A) = P，Ai表示第i次试验事件A发生。PY =k =PA1A2AkAk = P(A1)P(A2)P(Ak_1)P(Ak) =(1 - P)kP，分)(4 分)k =1,2,9 (8PY =10 = PKA1A2 a9A,oUaa2 AA10 =(1 - p)9 p + (1 -P )10=(1 - P)9(10 分)4.试说明：Ai,A2,A3,A四个事件相互独立需要成立哪些式子？共多少个？而要说明随机变量(X1,X2,X3,X4)相互独立，却仅需要知道分布函数满足如下一个式子F(X1,X2,X3,X4)=F1

18、(X1)F2(X2)F3(X3)F4(X4)即可?参考答案:写出公式(4分)从中任取2个事件满足P(AiAj) = P(Ai) P(Aj)有C；种取法；从中任取3个事件有C43种取法；任取4个事件有C4种取法。因为 c0+cn +cn2+.+C； =2n，所以 c2 +C43 + c： =24 -c4 -c0(6 分)而要说明随机变量(Xi,X2,X3,X4)相互独立，因为若已知分布函数满足F(Xi,X2,X3,X4)=Fi(Xi)F2(X2)F3(X3)F4(X4)，则:任取2个随机变量Xi,Xj均有Xi,Xj相互独立，即F(XiXj) = Ijm F(Xi,Xj,Xk,Xr) = Fi(X

19、i)Fj(Xj)Fk()Fr()= Fi(Xi)Fj(Xj).XkT严xr同理任取3或4个随机变量均有如上类似结果成立。故(X1,X2,X3,X4)相互独立仅需要知道 F(X1,X2,X3,X4)=F1(X1)F2(X2)F3(X3)F4(X4)个式子即可。(10 分)二、(共15分)某工厂生产的产品每10件为一批。假定每批产品中的次品数最多不超过 2件，并具有如下表所示的概率:单批产品中的次品数（件）012概率0.10.30.6现在进行抽检，从每批产品中抽取 5件来检验，如果发现其中有次品，则认为该批产品不合格。求通过检验的一批产品中，没有次品的概率。（12分）解：设A表示通过检验；Bi表示

20、10件产品中有i件次品，i = 0,1,2 0(3 分)根据全概率公式有:2C 5C5C5QQP(A)=送 P(Bi)P(ABi) =0.1-1+0.3需+0.6-= 止 0.3833i =0C10C10C10 60当i =0时，有P(B0 小 P(A)PWqA)P(Bo)P(A Bo) 0.1x1P(A)6二丽二区 7.2609(15 分)三、（共15分）设随机变量X在0,2上服从均匀分布，丫服从参数A =2的指数分布，且 X,Y相互独立,2（1） 求关于a的方程a +Xa+ Y=0有实根的概率（答案可用符号表示）(2)求 PX+2Y<3.0 5解：（1）由于心仏'fx <其它2 fY（y） =严，y>0，且X,Y相互独立，故0,y 兰0<2 yfS e 0,0笃甞 0(6 分)方程a22+ Xa+Y=0有实根，则需要 X -4Y>0，即X2Y <,（9分）故方程有实根的概率为4X2PY 兰= U f(x,y)dxdy= H e勿dxdy = 4痞身2 - J。dx J。T0(2 e2 1)dx =1-1 fedx =1 -£仲(2) -*(0) =1-石仲0.5) (12 分)(2) PX+2Y<3= a f (x, y)dxdyx42y<J1 f2 "_3枚、.1d