(浙江专用)2020版高考数学二元一次不等式组与简单的线性规划问题讲义(含解析)

1、 2.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题取新考明考情考向分析了解二A次/、等式的儿何意义，掌握平面 区域与二e-次不等式组之间的关系，并会 求解简单的二元线性规划问题 .以画二TIT-次不等式（组）表示的平面区域、 目标函数最值的求法为主，兼顾由最优解（可行域）情况确定参数的范围，加强转化与化归 和数形结合思想的应用意识.本节内容在高 考中以选择、填空题的形式进行考查，难度 中低档.基础知识自主学习回拓.邮题识 训缪地就目 知识梳理1 .二元一次不等式（组）表示的平面区域不等式表示区域Ax+ By+ C0直线Ax+ By+ C= 0某一侧的所有点组不包括边界直线Ax+ By+ C 0成

2、的平面区域包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2 .线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x, y组成的不等式（组）线性约束条件由x, y的一次不等式（或方程）组成的不等式组目标函数关于x, y的函数解析式，如 z2x+3y等线性目标函数关于x, y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解（x, y）可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题:概念方法微思考1 .不等式x0表不的平面区域是什么？提示 不等式x0表示的区域是y轴的右侧(包才y轴).2 .可行解一定是最优解吗？二者有何关系？

3、提示 不一定.最优解是可行解中的一个或多个.最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一.f基础自测题组一思考辨析1 .判断下列结论是否正确(请在括号中打或“X”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集.(V )(2)不等式Ax+By+ C0表示的平面区域一定在直线Ax+ By+O 0的上方.(x )(3)点(xi,yi) ,(X2,y2)在直线 Ax+ By+ O 0 同侧的充要条件是(Ax + Byi+C)( A%+By?+C)0 , 异侧的充要条件是(Axi+Byi+C)( Ax2+By2+q0.(V )(4)第二、四象限表示的平面区域可

4、以用不等式xy 0,2 . P86T3不等式组表示的平面区域是()x-y+ 2o表示直线x3y+6=0及其右下方部分，x y+20表示直线x-y+2 =0的左上方部分，故不等式组表示的平面区域为选项B中的阴影部分.题组三易错自纠3 .下列各点中，不在 x+y-10表示的平面区域内的是（）A. （0,0）B. （ 1,1）C. （ 1,3）D. （2 , -3）答案 C解析把各点的坐标代入可得（ 1,3）不适合，故选C.x-2y- 20,则z = 3x+2y的最大值为y答案 6解析 作出满足约束条件的可行域如图阴影部分（含边界）所示.3 , z由 z = 3x+2y,得 y=-2x+2.33 z

5、作直线lo： y=2x,平移直线lo,当直线y= 2x+Q过点（2,0）时，z取最大值，Zma3X2 + 2X0= 6.x- y+50,5.已知x, y满足约束条件 x+ y0,若使得z=ax+y取最大彳1的点（x, y）有无数x0, yo表示的平面区域的面积是（）解析作出不等式组表示的平面区域是以点0（0,0），日2, 0）和A（1 ,、/3）为顶点的三角形区域，如图所示的阴影部分（含边界），由图知该平面区域的面积为；X2X小=乖,故选B.命题点2含参数的平面区域问题x- y0,例2（2018 嘉兴市基础测试 ）若不等式组3x+ya内部区域，则实数 a的取值范围是（）A. 8, 3B. 3,

6、 +044表示的平面区域为一个三角形的C.OO3D. 2, +0答案解析如图所示，当直线x + y=a在直线x+ y = |(该直线经过直线x y=0和直线3x+y=3I J *3因此a0,跟踪训练1(1)不等式组x4,表示的平面区域的形状为 (A.等边三角形C.等腰直角三角形答案 Cyw 5B.梯形D.正方形解析 作出不等式组表示的平面区域,如图所示，易知平面区域的形状为等腰直角三角形(阴影部分，含边界).x0y- kx2,y x 4W o确定的平面区域 Q的面积为7,则k的值为(A. 3B. - 1C. 3D.答案 Bx0,yx40所表示的平面区域，如图阴影部分 （含边界）所示,可知该区域

7、是等腰直角三角形且面积为8.由于直线y=kx+2恒过点B（0,2）,且原点的坐标恒满足 y-kx2,当k = 0时，y2,此时平面区域 Q的面积为6,y kx= 2,由于67,由此可得k0, 3x-y-60,的取值范围是（）A. 3,4B. 3,12C. 3,9D. 4,9答案 C解析 画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分（含边界）所示，作出直线2x+y=0,结合图象，平移直线 2x+y= 0得，在点A（3,3）处目标函数取最大值 9,在点B（1,1）处目标函数 取最小值3,故选C.命题点2求非线性目标函数的最值x-y+ K0,例4已知实数x, y满足x+2y-81,则z = -y3的取值范

8、围是X i 2答案解析作出不等式组x-y+ K0,x+2y-8l ，人 7y ,角形区域(包含边界)，三角形的三个顶点的坐标分别为B(1,2) , C1, 5 , D(2,3) , 士的2x十2几何意义是可行域内任一点(x, y)与点(2,0)连线的斜率，记 R2,0),连接PR PC,由27y于直线pB的斜率为3,直线pc的斜率为6,由图可知2=上的取值范围是命题点3求参数值或取值范围x-y+ 1 0,例5(1)(2018 丽水、衢州、湖州三地市质检 )已知x, yCR满足条件x+y-20,若x2,目标函数z=ax+ y仅在点(2,3)处取得最大值，则实数 a的取值范围是()A. (8, 1

9、)B. ( 8, 1C. 1 , 十)D. ( 1, +oo)答案 D解析 作出不等式组表示的可行域， 如图中阴影部分(含边界)所示，目标函数z=ax+ y可化 为y= ax+z,且目标函数仅在点 A(2,3)处取到最大值，所以 akAB,即a -1,故选D.x+ y 5W 0,（2）（2018 杭州七校联考）若*, y满足约束条件 2x-y-10,z=2x+y的最大值为ax 2y+ K 0,8,则实数a的值为（）A. 2B. 1C. 1D. 2答案 C解析 将目标函数变形为 y=2x + z,当z取最大值时，直线的纵截距最大，易知直线x+ y 5 = 0与2xy 1 = 0的交点（2,3）不

10、能使得目标函数取得最大值8.因为直线ax- 2y+1=01a 55恒过定点0, 2 ,所以要使目标函数能取到最大值，需 124,即2a0,跟踪训练2（1）（2018 浙江）若x, y满足约束条件 2x + y2,最大值是.答案 28x y 0,解析 由2x+yw6，画出可行域如图阴影部分所示（含边界）.x + y2,2x+ y= 6,由解得A(4 , 2),x+y=2,x-y=0,由解得B(2,2),2x+ y= 6,1 一一，将函数y=p的图象平移可知，3当目标函数的图象经过A(4 , 2)时，Zmin=4+3X( 2) = 2;当目标函数的图象经过B(2,2)时，zmax= 2 + 3X2

11、= 8.x+ y2,(2)(2018 浙江金丽衢十二校联考)设*满足约束条件 x-y2,则目标函数Zi = 2xy0,(3)(2018 浙江名校联盟联考)设x, y满足x+y-20,若z= 2x+y的最大值为ax y a-1,显然a= 0不符合题意.作出不等式x0,组x+y 20,所表示的平面区域，如图 1或图2中阴影部分(含边界)所示，作直线ax-y- a 山 r 士一 ,阳I方法二 由z=2x+y存在最大值，可知a1,显然a=0不符合题意，作出不等式组x0,x+y-2W0,所表布的平面区域，如图ax-y - a 0,1. （2017 浙江）若x, y满足约束条件 x+ y-30, 则z=

12、x+2y的取值范围是（）x- 2y0,2. （2018 杭州质检）设不等式组 x+y mx则（）A. me - 2B. -2 m0,x+2y-10,所表示的平面区域上的一动点，则直线OM斗率的最小值为（）3x + y-80,x- 1,z=|x| y的取值范围是()A. 一I，3B. 1,33C. 5, 0D. 1,0答案 A解析在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其是以(一1,1) ,(1,2)，(1, 2)为顶点的三角形区域(包含边界)，在平面直角坐标系内画出y=x 20)和y= x,3z(x0)经过平面区域内的点0,万时，z=|x|y取得一.33, .取小值Zmin= |0

13、| - 5= 2.当y= x z( x0,5.设x, y满足约束条件 x-2y0,向量a= (2x, 1) , b= (1 , m-y),则满足ab的2x+ y 一 2,6.（2018 浙江“七彩阳光”联盟期初联考）已知变量x,y满足约束条件 x-y 4,若不等式2x y+n20恒成立，则实数 m的取值范围为（）A.-m，乖B.-巾，而C.（ -0, - -,J6 u *6,+0）d.（8,一巾u：V7，+）答案 Dx 2y 2,解析 作出约束条件 x-y 4z = 2x+y,则y=2x+z,当直线y=2x+z经过点A（ 4, 1）时，z取得最大值，即zmax= -2X(4) 1 =7.因为不

14、等式2xy+R20恒成立，所以n2( 2x+y)max=Zmax恒成立，即n27, 由图知，点P（1 , 2）到直线x-2y=0的距离的平方为所求最小值，即为解得m 7或m巾,所以实数 m的取值范围为（,-木U+ 8）,故选D.x0,7. （2018 台州市质量评估）已知实数x, y满足不等式组 x-2y0,x + y-30,则(x 1)2+(y+ 2）2的取值范围是（）A. 1,58. .5, 5C. 5,25D. 5,26答案 D解析 画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分（含边界）所示，因为（x1）2+（y+2）2表示平面区域内的点到点 P（1 , 2）的距离的平方，直线PO y=2

15、x与直线x 2y=0垂直,|1 -2X 2 | 2=5,与点A（0,3）的距离的平方为所求最大值，即为 （0 1）2+3 （ 2） 2=26,所以所求取 值范围为5,26,故选D.2x-y+10, 若z x+ 2y-40,= tx+y的最小值为1,则实数t的取值范围是（）A. t- 2B. -2 t 1D. t w 2 或 t 1答案 B解析画出满足约束条件的平面区域，如图中阴影部分（含边界）所示，由图易知只有平移直线tx+y=0经过直线2x y+1 = 0与直线x+ y1 = 0的交点C（0,1）时，目标函数z = tx+y 的值为1,则目标函数z=tx+y要取得最小值1,直线z = tx+

16、y必过点C（0,1）.当t 0时， 则一t 1,即0wtw1；当t0时，则一tw2,即一2W t0.综上可知，实数t的取值范围 是-2 t1,故选 B.x2,9. （2018 杭州地区四校联考 ）不等式组y 0表示的平面区域的面积是;若z= | xy| ,则z的取值范围为-255答案120, 2解析 画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分（含边界）所示，其中 G； 2、31H2, 2,则不等式组表木的平面区域的面积11125 人公S= 2X 2 3 * 2 + -=令 zi = x y,作出直线x-y=0,平移该直线，当直线经过点G时，zi取得最小值，经过H时，zi取得最大值，所以一x y

17、,所以0wzw万. 322x+ 2y0,10. （2018 绍兴市六校质检）已知实数x, y满足约束条件 x-y0,若2=*+丫的最0 y0,解析 作出不等式组 x-y0,所表示的平面区域如图中阴影部分（含边界）所示，由0 y 0,11. （2019 浙江部分重点中学调研）若实数x, y满足约束条件 x + y+10,则该不5x + y 7 0,等式组表示的平面区域的面积为 ,目标函数z=3| x| 4y的取值范围是 .答案 6 -5,18解析 由题意得，该不等式组表示的平面区域是直角三角形ABCM其内部区域（如图中阴影部分所示）.该三角形的三个顶点分别为 A（ 1,0） , R1,2） ,

18、C（2, 3）,且ABLAC AB= 2y2,13 zAO 3小,所以 8abc= 2X242X342=6.因为目标函数 z=3|x|4y可化为y=-| x| -4,结合图形可知，目标函数z=3|x| 4y在R1,2）处取得最小值，且 zm.= -5,在Q2 , 3）处取得最大值，且 Zmax= 18.所以Z C 5,18.xy x,x 一 3,个点（x, y）使得目标函数z=入x+2y取得最大值，则实数 入的值为.答案 1解析 可行域如图中阴影部分（含边界）所示.目标函数z= Xx+2y可化为y= 2x + |,因为有无穷多个点（x, y）使得直线y= 2x + 2在y轴上的截距取得最大值，

19、 由图可得y= - -2x + |与直线BC y = 2+1重合时满足题意，所以一2=2,解得入=1.技能提升练x-y0,则xy13. （2018 杭州高级中学仿真考试）已知实数x, y满足约束条件 x+2y-60,x- 3y0,的最大值是（）9 108A. 2B.9C,72 4D.25答案 A解析画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分（含边界）所示，设直线x+2y 6=0与曲线y=Z相切于第一象限，切点为（x, y）.由y =-,得y=刍，所以 xxxy0= 一, x0y-3, 解得y 2 9所以xy的最大值为故选A.Xo+2yo-6=09z =2（一 3口卜x+2V-Cj-tly0y0,

20、表示的平面区域如图1y0,6,作出可行域如图2中阴影部分（含边界）所示，由图2可知,x 2+y2的最大值，即原点到点B（2,4）的距离的平方，易得| OB2= 22+ 42= 20,所以a的最小值为20.U+f-l2=*i国2拓展冲剌练15 . (2018 -台州校适应性考试）已知实数xy满足约束条件2x y0,3x + y-150,a为常数，若目标函数 z = y|x|的最大值是得，则实数a的取值3x+2ywa22a,组成的集合是.-15答案 4,3解析 由题意，要使不等式 33,解得a3.作出不等式组表示的平面区域如图所示，其中A3, 6 ,日3,6）.当点 日3,6）在直线x+2y=a22a5 52的上万时，3 + 2X6a -2a,即3a5,故有3a- 1或3a0,易知目标函数 z=y