(统编版)2020中考数学试题分类汇编考点22勾股定理含解析

1、2018中考数学试题分类汇编：考点 22勾股定理一.选择题（共7小题）1. （2018?宾州）在直角三角形中，若勾为3,股为4,则弦为（）A. 5 B. 6C. 7 D. 8【分析】直接根据勾股定理求解即可.【解答】解：二.在直角三角形中，勾为 3,股为4,.弦为 j3，+ q2=5.故选：A.2. （2018?枣庄）如图，在 RtABC中，ZACB=90 , CDLAB,垂足为 D, AF平分/ CABAB=5,贝U CE的长为（）【分析】根据三角形的内角和定理得出/CAF+Z CFA=90 , / FAD+/AED=90 ,根据角平分线和对顶角相等得出/CEF=/ CFE即可得出 EC=F

2、C再利用相似三角形的判定与性质得出答案.【解答】解：过点F作FGL AB于点G . /ACB=90 , CDL AB,/ CDA=90 , ./CAF+Z CFA=90 , / FAD+Z AED=90 , AF平分/ CAB .Z CAF4 FAD, / CFA4 AED叱 CEF,CE=CF AF平分/ CAB Z ACF=Z AGF=90 ,FC=FG . / B=/B, / FGB= ACB=90 , . BFS BAC- B1,FG-=-AB AC,. AC=3, AB=5, /ACB=90 ,BC=4,.如庭53 ' FC=FG.4-FC FC解得：FC=-,即CE的长为彳

3、故选：A133. （2018惴州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学 的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为 b.若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为（C. 4D. 3【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b,根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长.【解答】 解：由题意可知：中间小正方形的边长为:a-b,ab=/ x 8=4,每一个直角三角形的面积为：.4Xab+ （a-b） 2=25,(a-b) 2=25 - 16=9,a b=3,

4、故选：D.4. （2018慌州）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3, b=4,则该矩形的面积为（）一 9953A. 20 B. 24 C. - - D. 42【分析】欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，由此可设小正方形的边长为 x,在直角三角形 ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，解方程求出 x的值，进而可求出该矩形的面积.【解答】解：设小正方形的边长为x,a=3, b=4, . AB=3+4=7,在 RtMBC

5、中,AC+BC=AB即(3+x) 2+ (x+4) 2=72,整理得，x2+7x- 12=0,，该矩形的面积或xJ7依2（舍去），+3)(产-+4)=24,故选：B.5. （2018?娄底）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正方形的面积为 49,则sin a - cos a =()A B.-C D.13131313【分析】 分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出AC,然后根据正弦和余弦的定义即可求sin a和cos a的值，进而可求出 sin a - cos a的值.【解答】 解：:小正方形面积为 49,大正方形面积为169,，小正方形的边长是 7,

6、大正方形的边长是 13, 在 RtMBC中,AC+BC=A百，即 AC2+ （7+AC 2=132,整理得，AC2+7AC- 60=0,解得 AC=5 AC=-12 （舍去），BC山讲-AC、2,sinAC 5二 一AB 13cos a =织2=AB 13'sina cos a =513121313，故选：D.6. （2018张沙）我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1

7、里=500米，则该沙田的面积为（）A. 7.5平方千米 B. 15平方千米C. 75平方千米D. 750平方千米【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案.【解答】 解：: 52+122=132,，三条边长分别为 5里，12里，13里，构成了直角三角形，这块沙田面积为：二X 5X 500 X 12 X 500=7500000 （平方米）=7.5 （平方千米）.-1故选：A7. （2018?东营）如图所示，圆柱的高 AB=3底面直径BC=3,现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角 C处捕食，则它爬行的最短距离是（）A 一 ' B. .一 , C.：:D jJ.

8、+【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解.【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段 AC的长. 在 RtADC中，/ADC=90, CD=AB=3 AD为底面半圆弧长，AD=1.5tt,所以 A他 2 +（1To.填空题（共8小题）8. （2018陆林）如图，在平面直角坐标系中，A （4, 0） , B （0, 3）,以点A为圆心,(T, 0)AB长为半径画弧，交 x轴的负半轴于点 C,则点C坐标为【分析】求出OA OB,根据勾股定理求出 AB,即可得出AC,求出OC长即可.【解答】解：二点A, B的坐标分别为

9、（4, 0） , （0, 3）,OA=4 OB=3,在RtAOB中，由勾股定理得：AB=f32+4 2=5,AC=AB=5OC=5- 4=1,点C的坐标为（-1,0）,故答案为：（-1,0）,AD的9. （2018?玉林）如图，在四边形 ABC邛，/ B=/D=90 , / A=60° , AB=4,则取值范围是 2<AD< 8AE、【分析】如图，延长BC交AD的延长线于E,彳BHAD于F.解直角三角形求出AF即可判断;【解答】 解：如图，延长 BC交AD的延长线于E,作BF±AD于F.在 RtABE中，/E=30° , AB=4,AE=2AB=8 在

10、 RtMBF 中，AF=|-AB=2,AD的取值范围为2V AD<8, 故答案为2<AD<8.则BC10. （2018?襄阳）已知 CD是 ABC的边AB上的高，若 CD=与，AD=1, AB=2AC 的长为22近.【分析】分两种情况：当 ABC是锐角三角形，如图 1,当 ABC是钝角三角形，如图 2,分别根据勾股定理计算 AC和BC即可.【解答】 解：分两种情况：当 ABC是锐角三角形，如图 1,1 .CDL AB/ CDA=90 ,2 CD= ；, AD=1, . AC=2AB=2ACAB=4,BD=4- 1=3, bcVcd,+bd'M?十（百）2=271；当

11、ABC是钝角三角形，如图 2,同理得：AC=2, AB=4,bc=Jci）2+bd 用（代产+/造；综上所述，BC的长为2石或2b.故答案为：2"或24f.11. （2018?盐城）如图，在直角 ABC中，/C=90 , AC=6 BC=8, P、Q分别为边 BCAB上的两个动点，若要使3015APQ是等腰三角形且 BPQ是直角三角形,则AQ【分析】分两种情形分别求解：如图 1中，当AQ=PQ /QPB=90时，当 AQ=PQZ PQB=90 叱【解答】 解：如图1中，当AQ=PQ /QPB=90时，设 AQ=PQ=x PQ/ ACA15 . AQ匹30T一.综上所述，满足条件的 A

12、Q的值为30C图图212. （2018?黔南州）如图，已知在 ABC中，BC边上白高 AD与AC边上的高 BE交于点F,且/ BAC=45 , BD=6 CD=4,则4 ABC的面积为 60【分析】 首先证明 AEH BEC 推出 AF=BC=10设 DF=x.由AADS BDF,推出DC DF'构建方程求出x即可解决问题;【解答】 解：ADL BC, BE! AC, / AEF=/ BEC4 BDF=90 , . AE=EB /EAF吆 C=90 , / CBE吆 C=90 ,/ EAF=/ CBE . AE阵 BECAF=BC=1Q 设 DF=xAD6 BDF,整理得 x2+1Qx

13、- 24=Q,解得x=2或-12 （舍弃）， . AD=AF+DF=12Saabc=,?BC?AdLx 1QX 12=6Q.24/103【分析】取AB的中点M连接AF的长为用矩形的性质和已知条件证明AMP4FNA利用相似三角形的性质:对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长.故答案为6Q.13. （2Q18颔州）如图，在矩形 ABCD43, AB=2, BC=4点E、F分别在 BC CD上，若ME 在 AD上截取 ND=DF 设 DF=DN=x 贝U NF=/x,再禾U【解答】解：取AB的中点M,连接ME在AD上截取ND=DF设DF=DN=x 四边形ABC

14、D矩形,/ D=Z BAD=Z B=90° , AD=BC=4NF=/2x, AN=4- x, AB=2,AM=BM=,1 AE=/5, AB=2,BE=1, / MAE它 NAF=45 , / MAE它 AEM=45 , / MEAN NAF, .AMP FNA14. (2018阴目潭)九章算术是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几 何？”翻译成数学问题是：如图所示， ABC中，Z ACB=90 , AC+AB=10 BC=3,求AC的长，如果设 AC=x,则可列方程为x2+32= (10x) 2【分

15、析】 设AC=x，可知AB=10- x,再根据勾股定理即可得出结论.【解答】解：设AC=x, AC+AB=10 . AB=10 x.在 RtABC中，Z ACB=90 , . AC2+BC=AB,即 x2+32= (10 x) 2故答案为：x2+32= (10x) 2.15. （2018旗冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁 A处到内壁B处的最短距离为20 cm （杯壁厚度不计）.【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A',根据两点之间线段最短可知

16、 A' B的长度即为所求.【解答】解：如图:将杯子侧面展开，作 A关于EF的对称点A',连接 A B,则 A' b 即为最短距离，A b=Ja D2+Bd'/i屋+12、=2。（cm）故答案为20.三.解答题（共2小题）16. （2018淅州）如图，在 ABC中，/ACB=90 ,以点 B为圆心，BC长为半径画弧, 交线段AB于点D;以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段 AC于点E,连结CD（1）若/A=28° ,求/ ACD勺度数.(2)设 BC=a AC=b).线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根吗？说明理由.若AD=EC求管的值.【

17、分析】（1）根据三角形内角和定理求出/B,根据等腰三角形的性质求出/BCD计算即可；（2）根据勾股定理求出 AD,利用求根公式解方程，比较即可；根据勾股定理列出算式，计算即可.【解答】解：（1） ./ACB=90 , /A=28° ,/ B=62° , BD=BC/ BCD=/ BDC=59 ,/ ACD=90 - / BCD=31 ;（2）由勾股定理得，ABdAC,+BC'N+b2，AD=/屋+ b2-a，解方程 x2+2ax- b2=0得，x=-2a士4b2 =土'社一a,线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根； AD=AEAE=ECy,由勾股定理得,a2+b2=马b+a) 2,整理得,17. （2018?台湾）嘉嘉参加机器人设计活动，需操控机器人在5X5的方格棋盘上从 A点行走至B点，且每个小方格皆为正方形，主办单位规定了三条行走路径R, R, R,其行经位置如图与表所示：路径编号图例行径位置第一条路径R2 8 AB第二条路径R2ZA F-B第三条路径R_Z GrB已知A B、C、D E、F、G七点皆落在格线的交点上，且两点之间的路径皆为直线，在 无法使用任何工具测量的条件下，请判断R、R、R这三条