(完整版)无穷级数整理

1、无穷级数整理一、数项级数(一)数项级数的基本性质1 .收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2 .收敛的充要条件(柯西收敛原理)：对任意给定的正数，总存在N使得对于任何两个 N大于的正整数 m和n,总有Sm Sn.(即部分和数列收敛)3 .收敛级数具有线性性(即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛)，而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散 .4 .对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变5 .在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性(二)数项级数的性质及敛散性判断1 .正项级数的敛散性判断方法(1)正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛 (

2、2)比较判别法(放缩法)：若两个正项级数Un和Vn之间自某项以后成立着关系:n 1n 1存在常数c 0,使un cvn(n 1,2,)，那么(i)当级数Vn收敛时，级数n 1Un亦收敛;n 1(ii)当级数 Un发散时，级数n 1vn亦发散.n 1n 1n 1Un 1 V 1推论：设两个正项级数Un和 Vn ,且自某项以后有，那么n 1n 1U n Vn(i)当级数Vn收敛时，级数Un亦收敛;n 1n 1(ii )当级数 Un发散时，级数Vn亦发散.n 1n 1(3)比较判别法的极限形式(比阶法)：给定两个正项级数Un和Vn,若limn l 0,n 1n 1n Vn那么这两个级数敛散性相同.(

3、注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容)另外，若l 0,则当级数Vn收敛时，级数 Un亦收敛；若l ,则当级数Un发n 1n 1n 1散时，级数Vn亦发散.常用度量：等比级数：qn ,当q 1时收敛，当q 1时发散；n 0_ _1p-级数：,，当P 1时收敛，当p 1时发散(p 1时称调和级数)；n 1 np 1 ，广义p-级数： p,当p 1时收敛，当p 1时发散.n 2 n ln n交错p-级数：(1)n1；,当p 1时绝对收敛，当0 P 1时条件收敛.n 1n p(4)达朗贝尔判别法的极限形式(商值法)：对于正项级数un ,当布曲 7 1时n 1n Un级数 un收敛；当lim r

4、 1时级数un发散；当F 1或r 1时需进一步判断.n 1n unn 1(5)柯西判别法的极限形式(根值法)：对于正项级数un ,设r limn'un ,那么r 1n 1n时此级数必为收敛，r 1时发散，而当r 1时需进一步判断.(6)柯西积分判别法：设un为正项级数，非负的连续函数 f(x)在区间a,)上单调n 1下降，且自某项以后成立着关系：f(un) un,则级数un与积分0 f(x)dx同敛散.n 12 .任意项级数的理论与性质(1)绝对收敛与条件收敛：绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然；对于级数小，将它的所有正项保留而将负项换为0,组成一个正项级数Vn ,其中n 1n 1Un

5、l Un 、-一,， 一,，一、“一 一，一Vn 一!；将它的所有负项变号而将正项换为0,也组成一个正项级数Wn ,其中2n 1Unl UnWn 一!，那么若级数Un绝对收敛，则级数Vn和 Wn都收敛；若级数 Un2n 1n 1n 1n 1条件收敛，则级数Vn和wn都发散.绝对收敛级数的更序级数(将其项重新排列后得到的级数)仍绝对收敛，且其和相同.若级数Un和 Vn都绝对收敛，它们的和分别为 U和V ,则它们各项之积按照任何方n 1n 1式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积UnVn也绝对收敛，且和也为 UV .n 1n 1注：CnUnVn ，这里 C

6、n UVn U?Vn1 Un 1V2 Un%.n 1n 1n 1(2)交错级数的敛散性判断(莱布尼兹判别法)：若交错级数(1)n 1Un满足lim Un 0 ,n 1n且Un单调减少(即Un Un 1),则 (1)n 1Un收敛，其和不超过第一项，且余和的符号 n 1与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值二、函数项级数(一)哥级数1.哥级数的收敛半径、收敛区间和收敛域(1)柯西-阿达马定理：哥级数an(x x0)n在x xoR内绝对收敛，在 x x0 Rn 0内发散，其中R为哥级数的收敛半径.(2)阿贝尔第一定理：若哥级数an (x x0)n在x处收敛，则它必在x x0x0n 0内

7、绝对收敛；又若an(x x0)n在x处发散，则它必在 x x0x0也发散.n 0推论1：若哥级数anxn在x (0)处收敛，则它必在 x内绝对收敛；又若哥n 0级数 anxn在x(0)处发散，则它必在 x时发散.n 0推论2：若哥级数an(x x°)n在x处条件收敛，则其收敛半径 R Ix0 ,若又有n 0an 0 ,则可以确定此哥级数的收敛域.(3)收敛域的求法：令lim an 1(x 1解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集.n an(x)2.哥级数的运算性质(1)哥级数进行加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进行乘法运算时，有:_ nanXbnXn 0n 0naibn

8、 i xn ,收敛域仍取交集.n 0 i 0(2)哥级数的和函数S(x)在收敛域内处处连续， 且若富an(x x°)n 在 X n 0X0 R处收敛，则S(x)在x0R, x0 R内连续；又若薛an(x x°)n在 Xn 0XoR处收敛，则S(X)在XoR,Xo R内连续.(3)哥级数的和函数 S(x)在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变3.函数的哥级数展开以及哥级数的求和(1)常用的哥级数展开:Dex 1 x -x22!1 n-X n!nX,x n 0 n!).=-=1+X+X2+ +xn+ 1 XX ( 1, 1).从而，1n 2n(1) x0 sin x13

9、X 3!1 5X 5!2n 1 (1/2n 1n x1),(2n 1)!+ ). cosx12一 X2!1 4 - X 4!1)2n n x(2n)!2nn X1)(2n)!). ln(1x)°二n 1(1)nn 11, 1.(1 x)(1)2!(1) arcsinx(2n2n 11)! x(2n)! 2n 1n!(2n)! arctan xn 1 2n 1(1) X2n 1,x ( 1, 1).n0 4n (n!)2(2n 1)2n 1Xn 1 2n 1n0(1EXXx 1, 1.1,1.(2)常用的求和经验规律：级数符号里的部分 X可以提到级数外；系数中常数的哥中若含有n ,可以

10、与x的哥合并，如将cn和xn合并为(cx)n；对anxn求导可消去an分母因式里的n,对anxn积分可消去an分子因式里的n 1；n 0n 0系数分母含n!可考虑ex的展开，含(2n)!或(2n 1)!等可考虑正余弦函数的展开；有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解(二)傅里叶级数1 .狄利克雷收敛定理(本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立)若f (x)以21为周期，且在l, 1上满足：连续或只有有限个第一类间断点；只有有限个极值点；则f(x)诱导出的傅里叶级数在1, 1上处处收敛.2 .傅里叶级数S(x)与f(x)的关系：f (x), x为连续点

11、；S(x) f(x 0) f(x 0),x 为间断点；2f( 1 0) f(1 0)界点.23 .以21为周期的函数的傅里叶展开展开：f (x) S(x) 也an cosnx bn sin n-2 n 1111 1 一、，a0f (x)dx1 11 1n x(1)在1,1上展开：an- f (x) cos、一 dx ;1 . . . n x .bnf (x)sindx1(2)正弦级数与余弦级数:奇函数（或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数:偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数:a。0an0bn2 1n x .f (x)sindx1012 1a07 0 f(x)dx2 1n x ,a nf (x)cosdx101bn04.一些在展开时常用的积分:(1)sin nxdx 0(1)n1 10cosnxdx 0;(2)2 sin nxdx01-； n2cosnxdx o1 . n-sin n 2(3)xsin nxdx o1)n 1x cosnxdx o(1)n2 n2.x cosnxdx2 ( 1)n(5)- axe sin nxdxaxe cosnxdx122a n1eax(asinnxax，.e (nsinnxsin axsin nxdx2(a n)n cos