(完整版)§7空间解析几何与向量代数习题与答案

1、第七章 空间解析几何与向量代数A一、1、平行于向量a (6,7, 6)的单位向量为 .2、设已知两点M i(4,J2,1)和M 2(3，0，2),计算向量M 1M 2的模,方向余弦和方向角3、设 m 3i 5j 8k,n 2i 4j 7k,p 5i j 4k ,求向量 a 4m 3n p上的投影，及在y轴上的分向量.1、设 a 3i j 2k,b i 2j k,求(i)ab及a b;(2)( 2a) 3b 及 a 2 b(3) a、 夹角的余弦.2、知 M 1(1, 1,2), M 2(3,3,1), M 3(3,1,3)，求与 M 1M 2,M 2M 3 同时垂直的单位向量word3、设 a

2、 (3,5, 2),b (2,1,4),问 与 满足 时，a bz轴.1、以点（1,3,-2） 为球心，且通过坐标原点的球面方程为 . 2222、方程x y z 2x 4y 2z 。表示 曲面.3、1）将xOy坐标面上的y22x绕x轴旋转一周，生成的曲面方程为 ,曲面名称为.2）将xOy坐标面上的x2 y2 2x绕x轴旋转一周，生成的曲面方程 ,曲面名称为.3）将xOy坐标面上的4x2 9y2 36绕x轴及y轴旋转一周，生成的曲面方 程为,曲面名称为.4 ）在平面解析几何中 y x2表示 图形。在空间解析几何中2 , _y x表不 图形.5 ）画出下列方程所表示的曲面Z24（x2 y2）(2)

3、 z 4(x2y2)四、22x y 1、指出方程组 T -9y 3析几何中表示1 在平面解析几何中表不图形.图形，在空间解2、求球面x2 y2 z2 9与平面x z 1的交线在xOy面上的投影方程3、求上半球0 z JOx"y2与圆柱体x2 y2 ax (a 0)的公共部分在 xOy面及xOz面上的投影.五、1、求过点(3,0,-1) 且与平面3x-7y+5z-12=0 平行的平面方程2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量 a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)的平面方程3、求平行于xOz面且过点(2,-5,3)的平面方程word心二的直线方程152、求过点（0,2,4）且与两平

4、面X 2z1, y 3z2平行的直线方程3、求过点（2,0,-3）且与直线X 2y 4z 7 0垂直的平面方程 3x 5y 2z 1 04、求过点（3,1,-2）且通过直线4_z的平面方程521六、x1、求过点（1,2,3）且平行于直线-2x y 3z 0,5、求直线与平面x y z 10的夹角.x y z 06、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系1）直线x 2yz 7与直线人一上2x y z 72112）直线 口2y2 z3 和平面 x+y+z=3.314x y z 1 0 -7、求点（3,-1,2）到直线的距离.2x y z 4 0B1、已知a b c 0 （ a,b, c为非零矢量）

5、，试证：a b b c c a.2、a b 3, a b 1,1,1,求(a, b).3、已知a和b为两非零向量，问t取何值时，向量模| a tb |最小？并证明此时b (a tb).4、求单位向量n,使n a且n x轴，其中a (3,6,8).5、求过z轴，且与平面2x y J5z 0的夹角为一的平面方程33z 7 0的平面.6、求过点 M1(4,1,2), M 2( 3,5, 1),且垂直于 6x 2y7、求过直线x 2yzi0且与直线l2 ： 32_z平行的平面2x y z 20112y 18、求在平面 ：x y z 1上，且与直线 L:垂直相交的直线万程z 19、设质量为100kg的物

6、体从空间点M1(3,1,8),移动到点M2 (1,4,2),计算重力所做的功(长度单位为m ).10、求曲线 y z 2x 0在xoy坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲 z 311、已知OA i 3k,OB j 3k,求 OAB的面积2x 4y z 0,12、.求直线y在平面4x y z 1上的投影直线方程3x y 2z 9 01、设向量a,b, c有相同起点，且a0,不全为零，证明：a,b,c终点共线2、求过点Mo(1,2, 1),且与直线L ：匕 2相交成一角的直线方程 1133、过(1,0,4)且平行于平面3x 4y z 100又与直线上y- 相交的直线方112程.4、求两直

7、线 L1： 土 z_与直线 l2011- 工 z 1 2的最短距离6305、柱面的准线是 xoy面上的圆周(中心在原点，半径为1),母线平行于向量 g 1,1,1,求此柱面方程6、设向量a,b非零，b 2,(a,b)xbxx7、求直线L :z2y1绕y轴旋转一周所围成曲面方程2(y 1)第七章 空间解析几何与向量代数习题答案A、1、,11 11 112、M1M 2 =2, cos343、a在x轴上的投影为13,在y轴上的分量为7j、1、 1) a b3 1 ( 1) 2 ( 2) ( 1) 3k2 5i j 7k1(2) ( 2a) 3b 6(a b)18, a 2b 2(a b)10i 2j

8、 14k(3) cos(a, b)a_bal bl32%212、M1M 2 2,4, 1, M 2M 3 0, 2,23、16i 4j24k四、五、1、(x 1)2 (y 3)2 (z 2)2142、以（1,-2,-1）为球心，半径为J6的球面3、1） y2 z2 2x,旋转抛物面3)绕 x 轴：4x2 9y2 9z2绕 y 轴：4x2 4z2 9y24、抛物线，抛物柱面5、2)x222y z2x,球面36旋转双叶双曲面36旋转单叶双曲面1、平面解析几何表示椭圆与其一切线的交点；空间解析几何中表示椭圆柱面与其切平 面的交线。2x22x y2 80、在xoy面的投影为:(xi)2022a在xOz

9、面的投影为： x y1、3x 7y 5z 4 0(x1) 1 (y 1) 3(z 1) 03、 y 5 04、9y z 2x1y2z3x y2z4159 03 . 22八、1、 2、 - 215233 、16x 14y 11z 65 04、8x 9y 22z5 、06、1)垂直 2 )直线在平面上 7 、B1、证明思路：a b c 0, a (a b c) 0即 abab a c 0,又2 2 0, a b a c c a 同理得 a b b c2、思路：a ba|bsin(a,b) a b a|bcos(a,b)。答案：(a,b) 3、思路 |a tb |2 (a tb) (a tb) |

10、a |2 t2 | b |2 2t (a b)该式为关于t的一个2次方程，求其最小值即可。答案： t 二|b|14、思路：Wb i ,则 n a,n b。答案：n (8j 6k)105、思路：平面过 z轴，不妨设平面方程为 Ax By 0,则n A, B,0，又(A, B不全为0)1 八答案：所求平面方程为 x 3y 0或xy 036、法一：，所求平面法向量 n M1M 2，且n n1 6, 2,3i j k取 n MiM； n1743 6,3, 10623又平面过点M1(4,1,2),则平面方程为6x 3y 10z 7 06, 2,3共面，由三向量解法2.在平面上任取一点M (x, y, z

11、),则MM 1MlM 2和n1x 4 y 1 z 2共面的充要条件得6230 ,整理得所求平面方程7437、思路：用平面束。设过直线11的平面束方程为x 2y z 1(2x y z 2) 0答案：平面方程为11x 3y 4z 11 08、思路：求交点(1,1, 1),过交点(1,1, 1)且垂直于已知直线的平面为x 1 0。答案:9、思路：重力的方向可看作与向量k方向相反答案：W F M1M 2 0 ( 2)0.3 ( 100g) ( 6) 600 g 5880J10、思路：先求投影柱面方程，答案：原曲线在xoy面上的投影曲线方程为2x 9 0o原曲线是由旋转抛物面z 022y z 2x 0被

12、z 3平面所截的抛物线。1 .一一11、思路：S 0AB 510A OB|,答案:. 19212、思路：利用平面束方程。答案17x 31y 37z 117 04x y z 1C1、证明：设OA a, OB b, OC c,根据三角形法则。则 AB b a, AC c a ,BC c bo根据条件 ，不全为0,不妨设 0,则AB c ab aaba即 AC与AB共线。 点A,B,C在一条直线上。2、解：在已知直线 L上任取两点P1( 2,1,0), P2(0,0,1),则向量RM。 3,1, 1,P2Mo 1,2, 2,则构造直线束方程L :表示过点M0且与已知直线共面的所有直线。根据已知条件：

13、当(31) 2 ( 1)(2) 1 (所求直线方程为23212) cos,即 43z 1o21L与L成一角时，有3583、解：设所求直线方程为 人 ym n p所求直线与已知平面平行，则3m 4n p 0(1)又所求直线与已知直线共面，在已知直线上任取一点(1,3,0)，则M0M1 0,3, 4在平面上。三向量共面，得m n p 1120,0 34即 10m 4n 3p 0(2)由(1) (2),得 m : n : p 16:19:28所求直线方程:x 1 y z 476 19 -28-4、解：已知两直线的方向向量为S10, 1, 1,S2 6, 3,0,故垂直于两方向向量的向量n可取为n S

14、1S23i 6 j 6k,又点(1,0,0)在直线L1上过直线Li且平行于L2的平面为3(x 1) 6y 6z 0,即 x 2y 2z 1 0,又点(0,0, 2)在直线Li上，该点到平面x 2y 2z 1 0的距离3.1222221为所求两直线间的最短距离。5、解：设柱面上任意一点M (x, y, z),过M作平行于向量g的母线且准线相交于，y y。， zM 0(x0, y0 ,0),又 M 0M | g ,即 M 0M g , x xo一，22.又 Mo在圆上，x。y。 1(x )2 (y)2(xz)2(y z)26、解:xm。a xbxlim 一x 0 x(a xb)(a xb) a a7、(| a xb| |a|)x( a xb a)limx 0(a a 2xab x2|b|2)a ax