《实变函数》电子教案

《实变函数》电子教案

（重庆邮电大学数理学院邓志颖）

课程名称：实变函数

学时/学分：48/3.0

教材名称：实变函数与泛函分析基础（第三版）

出版社：高等教育出版社

编著者：程其襄等

适用专业：数学与应用数学专业（大三上学期）

序言：实变函数简介

微积分发展的三个阶段：

•创立（17世纪）:Newton（力学）Leibniz（几何）（无穷小）

•严格化（19世纪）：Cauchy,Riemann,Weierstrass（极限理论（e-N,e-8语言），实数理

论）

•外微分形式（20世纪初）：Grassmann,Poincare,Cartan（微积分基本定理如何在高维

空间得到体现）

微积分继续发展的三个方向：

•外微分形式（整体微分儿何）（微积分基本定理如何在高维空间得到体现）

•复数域上的微积分（复变函数）

•微积分的深化和拓展（实变函数）

1.Riemann积分回顾：

（1）Riemann积分的定义

-b«

（/?）jlim自其中Ax,=%f,尤IW4WX：

积分与分割、介点集的取法无关.

几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。

（2）Riemann可积的充要条件

f（x）在上Riemann可积

oj"取S鹘兽K5=肥与心£/（x）办

其中：

Mj=sup{/（x）:<x<xt}

m,.=inf{/（x）:x,..,<x<x,.}

<=>Vf>0,3分划T,使得£0）即《e

i=l

=V£,分划T,使得所有振幅用之〃的小区间的总长度不超过£.

例：Dirichlet函数不Riemann可积.

~、J1光e[O,l]cQ

D(x)=[(o%G[o,i]-e

因为上积分为Jf(x)dx-limo^M,Ar).=1

下积分为ff(x)dx=limV/nAv.=0

所以对于W分划T,有巨姐a=1

/=1

所以Dirichlet函数不Riemann可积.

⑶Riemann积分的局限性

。)微积分基本定理

定理：若/(X)在句上连续，贝尸⑺力=尸(幻-尸(a)

1881年Volterra作出一可微函数，导函数有界但不Riemann可积；

份积分与极限交换次序(一般要求一致收敛)

例：设匕｝为[0,1]中全体有理数(因为其为可数集，故可把它排成序列)，作[0,1]上的函数

列

1xe{e2〃，编〃=],2,3,…

fn(X)=<

0xe

则"?(％)｝在[凡句上Riemann可积，但

1XG[0,l]nQ

lim0(x)=D(x)=<不Riemann可积.

rt—[0xG[o,i]-e

故对一般收敛函数列，在Riemann积分意义下极限运算与积分运算不一定可交换次序，即:

力(X)公=/lim力(x)公

lim

〃->8JaJa

不一定成立.

l.Lebesgue积分思想简介:

为使/(无)在上Riemann可积，按Riemann积分思想，必须使得分划后在多数小区

间上的振幅足够小，这迫使在较多地方振动的函数不可积.Lebesgue提出，不从分割定义域

入手，而从分割值域入手；即采取对值域作分划，相应得到对定义域的分划(每一块不一定

是区间)，使得在每一块上的振幅都很小，即按函数值的大小对定义域的点加以归类

对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻，他说：

•假如我欠人家一笔钱，现在要还，此时按钞票的面值的大小分类，然后计算每一类

的面额总值，再相加，这就是Lebesgue积分思想；

•如不按面额大小分类，而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数，那就是Riemann

枳分思想

即：V^>0,作分划机=*<y<%<…<%=M其中y—<瓦"2W/（x）<M

作点集={X:%W/（X）</}/（X）在4上的振幅不会大于3.

作和：s=t。"狙〃省表示耳的“长度，丫㈠<。<y,-

/=1

取极限：⑷1“/（划公=照'杀耳

i=l

3.Lebesgue积分构思产生的问题：

•（1）先介绍集合耳（第一章集合，第二章点集）

•（2）集合月的“长度，如何定义（第三章测度论）；

•（3）怎样的函数可使耳都有“长度”（第四章可测函数）；

•（4）定义Lebesgue积分并研究其性质（第五章积分论）；

•（5）将牛顿一莱布尼兹公式加以推广（第六章微分与不定积分）

•教材：实变函数论与泛函分析基础（第三版），程其襄等编，高等教育出版社，2010

年6月.

参考文献：

•实变函数论（第二版），江泽坚，吴智泉编，高等教育出版社，2003年7月.

•周民强，实变函数（论），北京大学出版社，1995.6（2001）

•周性伟，实变函数，科学出版社，1998.9

•胡适耕，实变函数，高等教育出版社，1999.7

•徐森林，实变函数论，中国科学技术大学出版社，2002

•郑维行等，实变函数论与泛函分析概要，高等教育出版社,1987

•夏道行等，实变函数论与泛函分析，高等教育出版社，1983.2

•Halmos,测度论（Measuretheory）

•Rudin,实分析与复分析（Realandcomplexanalysis）.

教时安排：第一章集合6学时，第二章点集6学时，

第三章测度论8学时，第四章可测函数10学时，

第四章积分论12学时，第六章微分与不定积分6学时，

共六章48学时。

第一章集合（总授课时数6学时）

由德国数学家Cantor所创立的集合论，是现代数学中一个独立的分支，按其本性

而言，集合论是整个现代数学的逻辑基础：而就其发展历史而言，则与近代分析（包括

实变函数论）的发展密切相关，实变函数通常是第一门大量运用集合论知识的大学数学

课程.因此，在现代数学教育中，对集合论知识的较系统的介绍，通常构成实变函数教

材的第一章.不过，对于实变函数论来说，集合论毕竟只是一个辅助工具，因此，本章

仅介绍那些必不可少的集论知识.

§1、集合及其运算

教学目的引入集的概念与集的运算，使学生掌握集和集的基本运算规律.

本节重点DeMorgan公式是常用的公式.证明两个集相等和包含关系是经常要遇到的论

证，通过例子使学生掌握其基本方法.集列的极限是•种新型的运算，学生应理解其概念.

本节难点对集列极限的理解.

授课时数2学时

一、集合的概念及其表示

集合也称作集，是数学中所谓原始概念之一，即不能用别的概念加以定义，它像几

何学中的“点”、“直线”那样，只能用•组公理去刻画.就目前来说，我们只要求掌握

以下朴素的说法：

“在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称

为一个集合，其中每个个体事物叫做该集合的元素.”

•个集合的元素必须彼此互异，而且哪些事物是给定集合的元素必须明确.以集合

作为元素的集合，也常称为集族或集类.

以后常用大写字母4用。,。,乂,匕2一表示集合，用小写字母a,仇c,x,y…表示集合中的

元素.

如果。是集合A的元素，则说a属于A,记作aeA,或说A含有a.

如果a不是集A的元素，则说a不属于A,记作或说不含有a.

有些集合可用列举其元素的办法来表示，如：

只含有一个元素。的集合称为单元素集或独点集，可表示为｛研.

由n个元素4,生…凡所组成的集合，可表示为｛a”的…4｝

由全体自然数所组成的集合称为自然数集，可表示为｛1,2,…,〃，…｝

当集A是具有某性质p的元素之全体时，我们用下面的形式表示A：

A-{x\x具有性质p}

例如，方程尤2-1=0的解X的全体组成的数集是“|炉一1=0},

实际上就是{1,-1}.

有时我们也把集{x|九e具有性质p}改写成E[尤具有性质p].例如，设/")

是定义在集合E上的一实函数，。是一个实数，我们把集{x|xeE,/(x)>a}写成

戈/(外>0或£">0.

不含任何元素的集合称为空集，记作0.

设A,B是两个集，若A和B的元素完全相同，就称A和B相等，记作A=B(或

B=A).

若集合A的元素都是集合B的元素，就称为A是8的子集，记作AeB(或BeA),

读作A包含于B(或B包含A).

若AeB且AHB,就称A是B的真子集，规定空集是任何集的子集.

由集的“相等”与“包含”的定义可得如下定理：

定理1对任何集合A,8,C,均有

(I)AuA；

(2)若AuB,BuC,则AuC：

(3)A=8QAU8且BuA.

二集合的运算

设A,B是两个集合，集合A与6的并集或并AUB={x:xwA或XG3}

集合A与8的交集或交An8={x：xwAllxeB}

特别地，若Ac8=0,称A与8不相交；反之，则称A与8相交.

集合A减8的差集或差：A-Bs^A\B-{x:xeA但xeB}

当BuA时，称差集A-B为B关于A的余集记作(C.B).

当我们研究一个问题时，如果所讨论的集合都是某个固定集A的子集时，就称A

为基本集或全集，并把A的子集3关于A的余集GB简称为B的余集，记为8。或C8.

并集与交集的概念可以推广到任意个集的情形，设r为•非空集合，并且对每一个

aef,指定了一个集合A“，此时我们称{4|ae「}是以「为指标集的集族，集族

{A。|aer}的并与交分别定义为：

UA={x:3ae「，使xeA}

aeraa

PlAa={x:VaeT,有xeAa]

aer

例设A“={x：_l_L<_rWl_3，〃eN,则

nn

QA„=[-1,O],0A,=(-2,1)

n=ln=l

关于集合的并和交显然有下面的性质：(见课本P9-P10)

更一般地有:DeMorgan公式

(UAj=nN，(nAj=u意

aeraeraeraer

证明(略)

注：通过取余集，使A与Aju与c互相转换.

三、集列极限

设A,a,…,4,,…是一个集合序列,,其上限集和下限集分别定义为

上极限集：

limA“(或limsupA")={x:x属于无限多个集合A,,}={x:存在无限多个4，使xeAJ

<x>co

={x:VNJ〃>N,使An}=nUA"

N=1n=N

下极限集：

U型A“(或liminfAn)={x:除去有限个集外，有xwA,,}={x:当〃充分大时，有x&AJ

〃一>8n

COoo

={x：mN,V〃2N,有xwA,,}=|JDA,

N=ln=N

注：nA，ulimA,,climA,,CQA„

n=ln=\

例：设A2n=[0』],4向=[L2]，则上极限集为[0,2],下极限集为{1}.

极限集

如果集列{A,J的上极限集与下极限集相等，即有4=至4=A

“T8“78

则称集列{A,J收敛，称其共同的极限为集列{4}的极限集，记为：limAa=A

单调增集列极限

若集列{4}满足儿u4川(X/〃eN),则称{A,J为单调增加;

若集列｛A,,｝满足4Z）4+1（v〃eN）,则称｛4｝为单调减少；

定理2:单调集列是收敛的

1）如果集列｛4｝单调增加，则limA,,=U4

“Toon=l

2）如果集列｛｝单调减少，则limA,=A4

〃->oo〃=]

例1：设=（一1+,』+,）,4“=（-”,+〃）,〃€N,则

nn

limAn=（—g,+oo）,limA?J=（—1,1]

例2：设4,T=d,4」]，4“=[」,1+与〃eN,则

nnnn

lim4=[0,4）,limA„=（0,l]

〃T8"7a

小结本节介绍了集的基本概念，集的运算和运算性质.这些知识是本课程的基础.

证明两个集的相等是经常会遇到的，应掌握其证明方法.DeMorgan公式很重要，以后

会经常用到.集列的极限是种与数列极限不同的极限，应正确理解其概念.

作业：P305,7,8

练习题

1.设｛4｝为一集列：

/I-I

(1)作用=A，纥=4-U证明｛纥｝为一列互不相交的集列，且

k=\

U=UBk(n=1,2,・・・)

k=\k=T

(2)若｛A“｝是单调减少的集列，证明

A=(A-43)5・♦54-4+1)口…u(64),

k=\

并且其中各项互不相交.

2.证明：

⑴limA,=QClA,A,=nUA,

"->8N=1n=N"T8N=\n=N

⑵limulim4

“ToonT8

⑶｛｝单调递增时，有叵1=limAn=limAn=UAn

"Toon=l

__8

(4)｛AJ单调递减时，有limAn=limAn=limAn=AAn

〃T8〃T8〃=1

3.已知4“=E,4,T=R(〃=L2,…)，求limA和垣4,并问limA是否存在？

〃T8"一8〃->8

§2对等与基数

教学目的介绍映射，基数，等概念和它们的属性.

本节要点一一对应的思想与方法是贯穿本节的核心.基数的概念，讨论都要用一一对

应的方法.证明两个集对等或具有相同的基数，有时需要一定的技巧，因而具有一定难度,

通过较多的例题和习题，使学生逐步掌握其中的技巧.

本节难点证明两个集对等或具有相同的基数.

授课时数2学时

1映射的定义

在数学分析课程中我们对函数已经很熟悉.其中函数的定义域通常是此的子集，值域

是实数集或者复数集.若将函数的定义域和值域换成一般的集，可得到映射的概念.

定义：设x,y是两个非空集合，若依照对应法则了,对x中的每个x,均存在y中唯一

的>与之对应，则称这个对应法则f是从x到Y的一个映射，记作/：x-»y

或：设X,y是两个非空集合，/是Xxy的子集，且对任意xeX,存在唯一的yeY

使(x,y)w/,则/是从X到y的一个映射.

注：集合，元素，映射是一相对概念.

略：像，原像，像集，原像集，映射的复合，单射，满射，一一映射(双射)

在数学分析课程中研究的函数当然是一种映射.除此之外，我们还经常会遇到许多其它

的映射.例如，定积分可以看作是可积函数集到实数集的映射，求导运算可以看作是可导函

数集到函数集的映射，线性代数中的线性变换就是线性空间到线性空间的映射等.

2集合运算关于映射的性质(像集)

定理1：设/:X『)是X的子集，称｛/(x):xeA｝为A的像集，

记作/(A),则有：

2)/(AUB)=/(A)U/(B),一般地有4)=U/(4)；

aerOCEV

3）/（AAB）u/04川/（8）,一般地有/（。AJcp|/（AJ;

如「aer

证明的过程略

注：y（/inB）=/（A）A/（B）一般不成立，如常值映射，等号成立当且仅当了为单射.

集合运算关于映射的性质（原像集）

定理2：设/:X7匕AuX,C,D,Ca（aw「）是丫的子集，称｛x:/（x）eC｝为C的

原像集，记作/t（。）（/不一定有逆映射），则有：

1）CUO=>/T（C）U/T（。）；

2）尸（CU。）=（QU尸（。）,一般地有：（UQ）=U尸C）；

aer

3）广（。口0=尸（。）0尸（。）,一般地有：f-'（r\ca）=p\f-'（cay,

如「

4）尸（C\0=尸（C）\尸（0;

5）r'（c'）=[/-1（c）r；

6）Au尸"（A）];

wr'occ；

证明略.

注：6）,7）一般不能使等号成立，6）等号成立当且仅当/为单射，7）等号成立当且

仅当f为满射.

3对等与势

1）定义

设A,8是两非空集合，若存在着A到8的一一映射（既单又满），则称A与8对等,

记作A〜8.约定0〜。.

注：（1）称与A对等的集合为与A有相同的势（基数），记作入.

（2）势是对有限集元素个数概念的推广.

2）性质

。）自反性：A-A;

b）对称性：A~8=>8〜A;

c）传递性：A〜〜C;

例：1）N〜N奇数〜N偶数〜Z

2)(—1,1)~(-oo,+o°)

TT

证明：令,则/是(-1,1)到(—8,+8)的——映射.故

〜(―°°,+°°)

注：有限集与无限集的本质区别：无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数(对

等)且一定能做到，而有限集则不可能.

3)基数的大小比较

。)若A〜B,则称入=良

8)若A〜4u8,则称及相当于：A到B有一个单射，也相当于8到A有一个满射.

c)若入〈瓦且入H上,则称入＜Z.

注：不能用A与8的一个真子集对等描述.如：(-1,1)-(-1,1)G(-oo,+oo)

4Bernstein定理

引理：设如：&A｝,｛Ba：/leA｝是两个集族，A是一个指标集，又

A,4〜%，而且｛%：/leA｝中的集合两两不交，｛当：/UA｝中的集合两两不交，

那么：

U4~U当

芥AMA

证明略

定理3:(Bernstein定理)若有A的子集A*,使8〜A*,及8的子集8*,使A〜B*,则

A〜R即：若Nw及方则入=及

证明：根据题设，存在A到8*上的一一映射/,以及8到A*上的一一映射g.令

A=4\4*,4=/(&),4=g(a),B2=f(A2),Aug®),员=/(4),……

由g(B)=A*知4=g(BJuA*,而A=A\A*,故A与4不交.从而在/的

像耳，员不交，4,不在g下的像4,A不交.

由A3UA*,知4与4不交，故4,4，43两两不交从而4，42,4在/的像耳，与，员

也两两不交，....

从而4,4,A?,…两两不交，耳，星,鸟,…也两两不交且乩(〃=1,2,…)，

所以

U"U4

n=ln—\

另外由纥（A=1,2,…），可知

0线汨.

A=lk=\

又3：A*,所以

B\U^~^\UA+1-A-\QA+I=（A\A）\UA+1=A\UA

&=1k-\&=1A=1k=}

•••B\\jBk^A\\jAk

k=\k=\

••.A=M\QA）U（QA）~（5\U^）U（U^）=5

4=1*=1blk=l

证毕.

注：要证.=及需要在A与8间找一个既单又满的映射；而要证入4瓦，只需找一个

单射即可；从而我们把找既单又满的映射转化成找两个单射.

例：（-1,1）-[-1,1]

证明:由（-l,l）u[—1,1]U（P,+OO）〜可知,（-1,1）-[-1,1]

作业：P309,10

练习题

1.网上以有理数为端点的区间的全体所成之集与自然数集之间能否建立•一对应？

2.证明：若An3＞。,4口C,则AD8口C.

3.证明：若AuB,ADAuC,则有B口BuC.

4.设厂是[0,1]上的全体实函数所成的集合，而M是[0,1]的全体子集所成的集合，则

FQM.

§3、可数集合

教学目的介绍可数集概念及其运算它们的属性.

本节要点可数集是具有最小基数的无限集.可数集性质十分重要，不少对等问题可以

与可数集联系起来，可数集证明技巧较强通过较多的例题和习题，使学生逐步掌握.

本节难点证明集合可数.

授课时数1学时

1可数集的定义

与自然数集N对等的集合称为可数集或可列集，其基数记为。或

123,4,5,6……

q,%,%，4，见，%....

注：A可数当且仅当A可以写成无穷序列的形式{q,a2M3，4，%，&……}

例：1）Z={0,1,-1,2,-2,3,-3…}

2）[0,1]中的有理数全体={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,•••}

2可数集的性质（子集）

定理1任何无限集合均含有可数子集.

证明：设M是一个无限集，取出其中的一个元素从M中任取•元素，记为q.则

M-{ejH0,在M—{,}中取一元素4，显然4Hq.设从M中已取出〃个互异元素

^^，…〃，由于加是无限集，故M-{e}e2,---en}H0，于是又可以从M-{e}e2,---en}中

取出一元素e“+],它自然不同于qq,…e”.

所以，由归纳法，我们就找到M的•个无限子集佰02,…,e”…}它显然是一个可数集.证

毕.

这个定理说明可数集的一个特征：它在所有无限集中有最小的基数.

可数集的性质（并集）

有限集与可数集的并仍为可数集

有限个可数集的并仍为可数集

可数个可数集的并仍为可数集

A={al,a2,a3,---},5={4也，…也}，C={cl,c2,ci,---}

假设A,8,C两两不交，则

AuB={4也，…也,4，/，…}（当集合有公共元素时，不重复排）

AuC={q,q,生,c2,小，C3,…}

关于可数个可数集的并仍为可数集的证明

当4互不相交时，按箭头所示，我们得到一个无穷序列;

当4有公共元时，在排列的过程中除去公共元素；

因此U4,是可数集。

n=l

说明：与Hilbert旅馆问题比较；如何把无限集分解成无限个无限集合的并？

例全体有理数之集Q是可数集

首先［0,1］中的有理数全体={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,…}是可数集，

。=（。C［0J）5。C［-1,0］）u（QC口,2］）5。C［-2,-1］）。…

所以Q是可数集（可数个可数集的并）

说明：有理数集在直线上稠密，但仍与稀疏分布在直线上的整数集有相同多的点（对等意

义下）.

3可数集的性质（卡氏积）

定理：有限个可数集的卡氏积是可数集

只须证：设是可数集，则AxB也是可数集（利用数学归纳法即得有限个乘积的情形）

AxB={（x,y）\xEA,yeB}=.它ye团二会

从而AxB也是可数集（可数个可数集的并）固定，y在变

例1平面上以有理点为圆心，有理数为半径的圆全体A为可数集

证明：平面上的圆由其圆心（x,y）和半径r唯一决定，从而

A〜QxQx。*={（x,y,r）|x,yw

例2代数数全体是可数集

整系数多项式方程的实根称为代数数；不是代数数的实数成为超越数。

设P是整系数多项式全体所成之集，巴是“次整系数多项式全体

Pn={a„x"++…+%GZ,i=1,2,…,n,a产0}

首先PQZ,~（Z-{0}）xZxZx--xZ（有限个可数集的卡氏积）

0V

〃个

故「=。匕为可数集（可数个可数集的并）

〃=0

由代数基本定理知任意〃次整系数多项式至多有有限个实根，从而结论成立.

例3设A是一个无限集，则必有A*uA,使4*口4，而A—A*可数

证明：由A是一个无限集，则A包含可数子集{0,62,63,…},令

4）=A-{e,,e2,e3,---},A*=A-{ex,ei,e5,---］,

则

A*uA,A*=4U{e2,e4,e6,---}04\J{el,e2,e3,---}A

且

A-A*={4,63,e$,…}

是可数集，证毕.

小结本节利用一一对应的思想，给出了集的基数和可数集的定义.集的基数是有限

集元素的个数在无限集的推广.可数集是具有最小基数的无限集.可数集经过有限或

可数并运算后仍是可数集.有理数集是一个重要的可数集

作业：P3012,15

练习题

1、设A中的元素是直线上两两不交的开区间，则A为至多可数集.

2、怎样建立无限集与它的一个真子集的一一对应关系？

3、证明任一可数集的所有有限子集全集是可数集.

4、证明递增函数的不连续点的全体为至多可数集.

§4、不可数集合

教学目的介绍不可数集概念及其属性.

本节要点区间［0,1］是典型不可数集，注意比较可数集与不可数集性质的异同，利用R集

证明相关问题具有重要意义，相应的证明技巧较强，通过较多的例题和习题,使学生逐步掌

握.

本节难点证明集合不可数.

授课时数1学时

不是可数集的无限集称为不可数集.

1不可数集的存在性

定理1区间［0,1］是一个不可数集.

证明：假设［0,1］可数，则［0,1］上的点可以排成一个无穷序列：

百，，,,・，5***

记［05为3把/°三等分于其中取一不含玉的闭区间，记为则人的长度.再

把《三等分，取其中不含马的闭区间，记为，2,贝“721=5,这样下去，可以得到一列闭

区间｛/“｝满足：

故｛/“｝形成闭区间套，因此存在唯一点X。£/“(〃=0,1,2,…)，而由假设，使

得与任儿，这与玉,€/“(〃=0,1,2,…)矛盾，故［0,1］是不可数集.

2连续势集的定义

定义1：与区间［0,1］对等的集的基数称为连续基数(连续势)，这个基数记作c.

推论1C>Q

证明：由定理1.4.1知,。人.但［0,12［1,；,，一｝口｛1,2,3」一｝,故c>a.

证毕.

推论2开区间(0,1)的基数也是c.

定理2全体实数所成之集R的基数是c.

2Y—1

证明令(p(x)-tan~—%，xe(0,l),则夕是(0,1)到(-8,+8)上的---映射，

所以R的基数是c.

推论1全体无理数所成之集的基数是c.

3连续势集的性质(卡氏积)

（1）有限个、可数个连续势的卡氏积仍为连续势集

定理3设4={（玉,％产、尤/一）：王€（0,1）},则N=N（证明略）

推论n维Euclid空间R"的势为N

（2）连续势集的性质（并集）

连续势集的（有限个，可数个，连续势个）并仍为连续势集

定理4实数列全体所成之集邑的基数是C.（证明略）

4无最大势定理

定理5（Cantor）：设A是一个任意给定的非空集合，则2人>a.

证明：首先A与2A的一个子集对等是显然的，只考虑A〜{{a}:awA}u2A即可。

假设A〜2狐则存在A到2A上的一一映射e：A〜2人，令A*={a:awA,ae9（a）},

由于A*是A的子集，即4*€2狐因此存在a*eA,使得9（a*）=A*

（1）若a*eA*,则由A*的定义，有a*史°（a*）=A*

（2）若a*eA*=夕伍*）,则由A*的定义，有a*eA*

这是矛盾的.故齐》Z.

5可数势与连续势

定理6：2"=元或{0,1}'=R（即N=2*。）

证明：由于N的子集全体与特征函数全体存在一一对应关系，故2'与{0,1}'对等；

下证：{0,1}*=N

对任意的“e{0,1}。令/（夕）=£丝»;易知了:{0,l}N-是单射，所以

n=l3

{0,1}^<K.

另一方面，对Vxw（0,l）,设光=£&,%=0』（有无穷多1）（即：将x写成二进

77=12

制小数0.44%…，且要求不以0为循环节）.

作g:(0,l)T{0,l}3%~济{0,1}”其中9(〃)=%,〃=1,2,3广・(即将小数

0.qa2a3…对应到序歹”{。1，。2，。3，.一})

易证g：(0,1)T{0,1广是单射，因此2.2N.山Bernstein定理知=N.

连续统假设

Cantor认为在N。与N之间不存在别的基数，即不存在这样的集合A,使得Xo<A<K,

但Cantor证明不了，这就是著名的Cantor连续统假设。

Hilbert在1900年第二届国际数学家大会上将它列为二十三个难题的第一个问题。

小结.直线上的区间是典型的不可数集.证明一个给定的集是可数集或不可数集是应

当掌握的基木技巧.

作业：P3017,18

练习题

1.直线”中任何包含非空开区间的点集都具有连续势N.

2.设，贝ijA,8中至少有一个势为N.

3.设JA„=N,则中至少有一个势为X.

71=1

4.[0,1]上的全体连续函数集E的势为N.

第二章点集(总授课时数6学时)

教学目的：欧氏空间配上的测度与积分是本课程的主要研究对象.本节讨论欧氏空间

上的若干拓扑概念.通过本节的学习，可以熟悉欧氏空间上的开集，闭集和Borel集,Cantor集

等常见的集,为后面的学习打下基础.

本章要点由R"上的距离给出邻域，内点，聚点的定义，从而给出开集，闭集的定义.

由开集生成一个CT-代数引入Borel集.Cantor集是一个重要的集，它有一些很特别

的性质.应使学生深刻理解本节介绍的各种集的概念并熟练应用.充分利用几何图形的

直观,可以帮助理解本节的内容.

本章难点Borel集、Cantor集的性质.

授课时数6学时

本章先介绍R”中的距离、极限、邻域、区间及其体积等基本概念，然后定义了内点、

聚点、外点、边界点、开集、闭集等特殊点和集，并讨论了开集与闭集的性质及其构造.最

后介绍了聚点原理、有限覆盖定理.

§1度量空间，〃维欧氏空间

教学目的1、深刻理解中的距离、邻域、点列收敛等概念，弄清它们在刻划不同类型

的点及点集中的作用.

2、理解距离的性质、点到集合的距离、两集合之间的距离、集合的直径等概念,

理解有界集、无界集、区间及区间的体积等概念.

3、了解邻域的四条性质.

本节要点度量空间的概念.

本节难点度量空间的概念.

授课时数1学时

一、度量空间

定义1：设X为一非空集合，d：XxX~R为一映射，且满足

(1)d(x9y)>0,d(x9y)=0«x=y(正定性)

(2)d(x,y)=d(y,x)(对称性)

(3)d(x9y)<d(x9z)+J(z,y)(三角不等式)

则称(X,4)为度量空间.

例1：

(1)欧氏空间(R",d),其中d(x,y)=

]VWy

(2)离散空间(X,d),其中或x,y)=1'

ox=y

(3)q,加空间(q词表示闭区间[a,同上实值连续函数全体)，其中

J(x,^)=max|x(/)-y(OI

二、邻域

定义2：称集合｛P|d(P，4)<b｝为4的6邻域，并记为U(4»).《称为邻域的中

心，6称为邻域的半径.在不需要特别指出是什么样的半径时，也简称为弓的邻域，并记为

U(R).

不难看出：点列｛匕,｝收敛于《的充分必要条件是对任意£>0,存在N,当

〃?>N时有：PmeU(P0).

容易验证邻域具有下面的基本性质：

1)PsU(P)：

2)对于V，(P)和％(P)，如果存在「€U[(P)CU2(P)，则存在

q(P)=a(P)c〃(P)

3)对于VQeU(P),存在U(0)=U(P)；

4)对于VQmP,存在U(。)和U(P)满足U(0)CU(P)H。

定义3：两个非空的点集A,3间的距离定义为

"(48)=3服*(尸，Q)

ren

如果A,8中至少有一个是空集，则规定d(A,8)=0；若3=｛乂｝,贝IJ记

d(A,B)=d(A,X)

显然，若ACBH0,则d(A,B)=0。

定义4：一个非空的点集E的直径定义为：

3(E)=supd(P,Q)

P,QwE

当E=0时，规定6(0)=0。显然，6(E)=0oE至多只有一个元素。

若b(E)<+o«,则称E为有界集。

定义5：称｛3，乂2/-',)阿€4/=1,2广・,〃｝为集合4的直积，记为

X]xX2x…xX“或fid

/=1

定义6：若/=其中4=<4,4>为直线上的区间，则称/为〃维欧氏空间R"

/=1

中的区间；如果所有都是开(闭、左开右闭、左闭右开)区间，则称/是开(闭、左开右闭、

左闭右开)区间。如果所有的4都是直线上的有界区间，则称/是H"中的有界区间；如果至

少有一个/，.是直线上的无界区间，则称/是R"中的无界区间.

注：A?中的有界区间即矩形，R3中的区间即长方体，因此R"中的区间有时也称为“长

方体”.

显然，E为有界集的充要条件是存在有界区间/E或E为有界集的充要条件是存在

有界邻域线uU(后,。)

定义7：/=1｛/',/'=<"”>,称川=『[(〃-")为区间/的“体积”，即

z=l1=1

=当然，这里约定0x8=8义0=0,当awO时，aX8=8xa=8.

<=1

注：”中的区间体积即区间的长度，R2中的区间体积即矩形面积=长又宽，R3中的

区间体积即长方体体积=长乂宽X高，因此规定H"中的区间体积=〃个边长的乘积，既是

合理的又是自然.

§2、聚点、内点、界点

教学目的1、深刻理解内点、外点、界点、聚点、孤立点的概念，弄清它们的区别与联系.

2、理解并掌握开核、导集、闭包、边界及孤立点集等概念，对一个已知的点集E,

会求这些相关的点集.

3、了解Bolzano—Weierstrass定理.

本节要点内点、外点、界点、聚点、孤立点及开核、导集、闭包、边界及孤立点集等概

念.

本节难点对一个已知的点集E,求这些相关的点集.

授课时数1学时

一、欧氏空间中各类点的定义

(1)稣为E的内点：m3>0,使得。(〃,6)匚£,记为£'

(2)母为E的外点：m6>0,使得E的外点的全体记为

(3)玲为E的边界点：Vb〉0,有U(4»)CEH0且U(4，b)c£记为HE

(4)玲为E的聚点：Vb>0,有U(4，b)c(E—{p°})H0,E的聚点的全体称为E的

导集，记为E'

(5)玲为E的孤立点：36>0,使得。(兄»)门后={。0}

(6)4为E的接触点：V6>0,有U(《,6)CEH0

注：聚点、边界点不一定属于E,内点、孤立点一定属于E.

由定义可知E=E'<j{E的孤立点全体}=EuE=£uHE

例1：(1)令E=Q,则豆=E'=HE=R,E°=0

⑵令E=，…L…I，则9={0}对一切工伙=1,2,3,…)均为E的孤立

[23%Jk

点

二、聚点的等价定义

定理1下面三个陈述是等价的：

(1)E';

(2)对\/6〉0,(U(4»)—{々})CEH0

(3)E中有各项互异的点列{《}(6。4,％=1,2,3,…)，使《~玲(攵78)

证明(1)=>(2)是显然的.

(2)=>(3)：因为(U(《,l)-{4})cE/0,取[e(U(4，l)-{4})cE,则

[eE且4H4.令a则U(4石)中至少有一点鸟eE且

吕。4，，H,令&=min卜仍,兄),卷，则。(外,可)中至少有一点Qc£且

鸟。匕(i=0,1,2).这样继续下去，便得到点列{鼻}且满足要求.

⑶n⑴：XM>0,存在自然数%,当kN勺时，有&e。国»)，即U%,6)cE

为无限集，故兄eE'.

三、开核、边界、导集之间的关系

定理2设力UB,则A'uB',A°uB°,Nu瓦

定理3(Au8y=AU",XUfi=AuB

证明：(1)因为AuAuB,BuAu8,由定理2知，A'c(AuB)',B'c(AuB)'

从而A'D8'U(ADB)'.另一方面，任取PW(ADB)',若PEA'UB',则P史A'且

Pi8'.于是

孙>0,使

(0仍博)-{叩门4=0,

3^2>0,使

(U(P。)—{P})cB=0,

取6=min{b1»2},则

(U(P»)-{P})c{AuB}=[(U(尸》)-{P})CA]“(U(P»)-{P})CB]=0

这说明P任(AuB)',这与Pe(Au8)'矛盾.所以PeA'uB',即(AuB)'uA'u8'

综合以上两个方面，即有(AuB)'=AUB'.

=证毕

定理4(Bolzano-Weierstrass定理)R"中的有界点列必有收敛子列.(证略)

作业：P492,3,4,5