2022届高考数学一轮复习第八章第七节双曲线课时作业理含解析北师大版202207011114

1、第七节第七节 双曲线双曲线授课提示：对应学生用书第 365 页a 组基础保分练1“k9”是“方程x225ky2k91 表示双曲线”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件解析：因为方程x225ky2k91 表示双曲线，所以（25k） （k9）0，所以 k25，所以“k9”是“方程x225ky2k91 表示双曲线”的充分不必要条件答案：a2若双曲线x2a2y2b21（a0，b0）的一条渐近线过点（2b，a） ，则该双曲线的离心率为（）a32b2c3d62解析：依题意得该双曲线的渐近线方程为 ybax，则 aba（2b） ，得 a22b2，得 ecaa2b2a62答案

2、：d3 （2020高考全国卷）设双曲线 c：x2a2y2b21（a0，b0）的左，右焦点分别为 f1，f2，离心率为 5p 是 c 上一点，且 f1pf2p若pf1f2的面积为 4，则 a（）a1b2c4d8解析：由ca 5，c2a2b2，得c 5a，b2a，|f1f2|2c2 5apf1f2中， f1pf2p， |f1p|2|f2p|2|f1f2|24c220a2 不妨设 p 在 c 的右支上， 则|f1p|f2p|2apf1f2的面积为 4，12|f1p|f2p|4，即|f1p|f2p|8（|f1p|f2p|）2|f1p|2|f2p|22|f1p|f2p|20a2284a2，解得 a1答案

3、：a4已知双曲线x24y2b21（b0）的右焦点为（3，0） ，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）a 5b3c5d4 2解析：由题意知 a24，4b232，故 b 5，所以渐近线的方程为 y52x，则焦点到渐近线的距离 d|3 52|154 5答案：a5已知直线 l 与双曲线 c：x2y22 的两条渐近线分别交于 a，b 两点，若 ab 的中点在该双曲线上，o 为坐标原点，则aob 的面积为（）a12b1c2d4解析：由题意得，双曲线的两条渐近线方程为 yx，设 a（x1，x1） ，b（x2，x2） ，所以 ab中点坐标为x1x22，x1x22， 所以x1x222x1x2222， 即 x

4、1x22， 所以 saob12|oa|ob|12| 2x1| 2x2|x1x2|2答案：c6已知双曲线 c：x23y21，o 为坐标原点，f 为 c 的右焦点，过 f 的直线与 c 的两条渐近线的交点分别为 m，n若omn 为直角三角形，则|mn|（）a32b3c2 3d4解析：因为双曲线x23y21 的渐近线方程为 y33x，所以mon60不妨设过点 f 的直线与直线 y33x 交于点 m， 由omn 为直角三角形， 不妨设omn90， 则mfo60 又直线 mn 过点 f（2，0） ，所以直线 mn 的方程为 y 3（x2） 由y 3（x2） ，y33x，得x32，y32，所以 m32，3

5、2 ，所以|om|322322 3，所以|mn| 3|om|3答案：b7 （2021昆明调研）已知双曲线 c：x2a2y2b21（a0，b0）的一条渐近线与直线 x2y0垂直，则双曲线 c 的离心率为_解析：易知直线 x2y0 的斜率为12，所以双曲线的一条渐近线的斜率为 2，即ba2，所以双曲线 c 的离心率 eca1ba2 5答案： 58设双曲线x2a2y2b21（a0，b0）的右焦点是 f，左、右顶点分别是 a1，a2，过 f 作 a1a2的垂线与双曲线交于 b，c 两点若 a1ba2c，则该双曲线的渐近线的斜率为_解析：由题设易知 a1（a，0） ，a2（a，0） ，bc，b2a ，c

6、c，b2a a1ba2c，b2acab2aca1，整理得 ab渐近线方程为 ybax，即 yx，渐近线的斜率为1答案：19 （2021湛江模拟）已知双曲线x2a2y2b21（a0，b0）的右焦点为 f（c，0） （1）若双曲线的一条渐近线方程为 yx 且 c2，求双曲线的方程；（2）以原点 o 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为 a，过 a 作圆的切线，斜率为 3，求双曲线的离心率解析： （1）因为双曲线的渐近线方程为 ybax，所以 ab，所以 c2a2b22a24，所以 a2b22，所以双曲线方程为x22y221（2）设点 a 的坐标为（x0，y0） ，所以直线 ao

7、的斜率满足y0 x0（ 3）1，所以 x0 3y0，依题意，圆的方程为 x2y2c2，将代入圆的方程得 3y20y20c2，即 y012c，所以 x032c，所以点 a 的坐标为32c，12c，代入双曲线方程得34c2a214c2b21，即34b2c214a2c2a2b2又因为 a2b2c2，所以将 b2c2a2代入式，整理得34c42a2c2a40，所以 3ca48ca240，所以（3e22） （e22）0，因为 e1，所以 e 2，所以双曲线的离心率为 2b 组能力提升练1若双曲线x2a2y2b21（a0，b0）上一点 m（3，4）关于一条渐近线的对称点恰为右焦点 f2，则该双曲线的标准方

8、程为（）ax25y2201bx220y251cx25y2251dx225y2201解析： 点 m （3， 4） 与双曲线的右焦点 f2（c， 0） 关于渐近线 ybax 对称， 则43cba1，2bac32，得 c5，ba2，所以 b225a24a2，所以 a25，b220，则该双曲线的标准方程为x25y2201答案：a2如图，f1，f2是双曲线 c：x2a2y2b21（a0，b0）的左、右焦点，过 f2的直线与双曲线交于 a，b 两点若|ab|bf1|af1|345，则双曲线的渐近线方程为（）ay2 3xby2 2xcy 3xdy 2x解析：由题意可设|ab|3k，则|bf1|4k，|af1

9、|5k，则易得 bf1bf2，由双曲线的定义可知|af1|af2|2a，则可得|af2|5k2a，|bf2|8k2a，再根据双曲线的定义得|bf2|bf1|2a，得 ka，则|bf1|4a，|bf2|6a又|f1f2|2c，所以在直角三角形 bf1f2中，16a236a24c24（a2b2） ，则ba2 3，双曲线的渐近线方程为 y2 3x答案：a3 （2021厦门模拟）已知双曲线 c：x2a2y2b21（a0，b0）的一个焦点为 f，点 a，b 是 c的一条渐近线上关于原点对称的两点，以 ab 为直径的圆过 f 且交 c 的左支于 m，n 两点，若|mn|2，abf 的面积为 8，则 c 的

10、渐近线方程为（）ay 3xby33xcy2xdy12x解析：设双曲线的另一个焦点为 f，由双曲线的对称性，可得四边形 afbf是矩形，所以 sabfsabf，即 bc8，由x2y2c2，x2a2y2b21，可得 yb2c，则|mn|2b2c2，即 b2c，所以 b2，c4，所以 a c2b22 3，所以 c 的渐近线方程为 y33x答案：b4 （2021衡水模拟）过双曲线x2a2y2b21（a0，b0）的右焦点 f（ 5，0）作斜率为 k（k1）的直线与双曲线过第一象限的渐近线垂直，且垂足为 a，交另一条渐近线于点 b，若sbof53（o 为坐标原点） ，则 k 的值为（）a 2b2c 3d

11、5解析：由题意得双曲线过第一象限的渐近线方程为 y1kx，过第二象限的渐近线的方程为 y1kx， 直线 fb 的方程为 yk （x 5） ， 联立方程得yk（x 5） ，y1kxx5k2k21， 所以 y5kk21，所以 sbof12|of|yb|12 5|5kk21|52kk21 令52kk21 53，得 k2 或 k12（舍） 答案：b5已知点 f2为双曲线 c：x2a2y2b21（a0，b0）的右焦点，直线 ykx 交 c 于 a，b 两点，若af2b23，saf2b2 3，则 c 的虚轴长为_解析：设双曲线 c 的左焦点为 f1，连接 af1，bf1（图略） ，由对称性可知四边形 af

12、1bf2是平行四边形， 所以 saf1b2 3， f1af23 设|af1|r1， |af2|r2， 则 4c2r21r222r1r2cos3 又|r1r2|2a，所以 r1r24b2又 saf2bsaf1f212r1r2sin32 3，所以 b22，则该双曲线的虚轴长为 2 2答案：2 26已知双曲线 m：x2a2y2b21（a0，b0）的右焦点为 f，过点 f 且垂直于 x 轴的直线与双曲线 m 交于 a，b 两点，与双曲线 m 的两条渐近线交于 c，d 两点若|ab|35|cd|，则双曲线 m 的离心率是_解析：设双曲线的右焦点为 f（c，0） ，易知，|ab|2b2a该双曲线的渐近线方

13、程为 ybax，当 xc 时， ybca， 所以|cd|2bca 由|ab|35|cd|， 得2b2a352bca， 即 b35c， 所以 a c2b245c，所以 eca54答案：54c 组创新应用练1 （2021广东四校联考）p 是双曲线 c：x22y21 右支上一点，直线 l 是双曲线 c 的一条渐近线p 在 l 上的射影为 q，f1是双曲线 c 的左焦点，则|pf1|pq|的最小值为（）a1b2155c4155d2 21解析：设双曲线的右焦点为 f2，连接 pf2（图略） ，因为|pf1|pf2|2 2，所以|pf1|2 2|pf2|，|pf1|pq|2 2|pf2|pq|，当且仅当

14、q，p，f2三点共线，且 p 在 q，f2之间时，|pf2|pq|最小，且最小值为点 f2到直线 l 的距离由题意可得直线 l 的方程为 y22x，焦点 f2（ 3，0） ，点 f2到直线 l 的距离 d1，故|pq|pf1|的最小值为 2 21答案：d2已知双曲线 c：x23y21 的左焦点为 f，过 f 的直线 l 交双曲线 c 的左、右两支分别于点q，p若|fq|t|qp|，则实数 t 的取值范围是（）a0，2 336b2 336，1c，2 336d2 336，2解析：由条件知 f（2，0） 设 p（x0，y0） ，q（x1，y1） ，则fq（x12，y1） ，qp（x0 x1，y0y1） ，则（x12，y1）t（x0 x1，y0y1） ，所以 x1tx021t，y1ty01t因为点 p（x0，y0） ，q（x1，y1）都在双曲线 c 上，所以x203y203，（tx02）23（ty0）23（1t）2，消去 y0，得 x016t4t易知 x0 3，所以16t4t 3，易知 t0，所以 0t2 336，即实数 t 的取值范围是0，2 336答案：a3一种画双曲线的工具如图所示，长杆 ob 通过 o 处的铰链与固定好的短杆 oa 连接，取一条定长的细绳，一端固定在点 a，另一端固