2018高考全国2卷理科数学带答案

1、A. 9B. 83.函数/(x) = C二二的图象大致为 厂 上,工1 41AB4.已知向量明万满足|a| = l, a b = -lA. 4B. 3225 .双曲线:一分=1(40,力0)的离心名 UA. y = yfixB. y = y/3x6 .在 AABC 中，cos- = , BC = 1, /25C. 5D. 4八A一一CDa (2a-b)=C. 2D. 0+为s,则其渐近线方程为C.尸土争D.尸士今1C=5,则 AB=2.已知集合A = (x,y)|/+ y2 3,xZ,y e Z,则A中元素的个数为绝密启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150

2、分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在 条形码区域内。2 .选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0. 5毫米黑色字迹的签字 篦书写，字体工整、苞迹清楚。3 .请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效; 在草稿纸、试题卷上答题无效。4 .作图可先使用铅卷画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔,描黑。5 .保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求

3、的。.l + 2i1 . =l-2iA. 45/2B. V30C. /297.为计算S = l 1 + !_+ .+-!- -L,设计了右侧的程 2 3 499 100序框图，则在空白框中应填入N = 0, 7 = 0REDA. / = / + 1B. i = i + 2C. i = i + 3D. i = i + 4N = N + ；|S = 1-7 I8 .我国数学家陈景泗在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”如30 = 7 + 23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A. B. C. D.1214

4、15189 .在长方体ABC。A4GA中，AB=BC=lf 9=有，则异面直线4。1与。与所成角 的余弦值为A. 1B.在C.在D.正565210 .若/(x) = cosx-sinx在一凡。是减函数，则。的最大值是11 .已知刈是定义域为(YC,+8)的奇函数，满足/Q-x) = /(l + x).若/Q) = 2,则/(1) + /(2) + /(3) +/(50)=A. -50B. 0C. 2D. 5012 .已知尸,人是椭圆C： % +方=1(。60)的左，右焦点，A是。的左顶点，点P在过A且斜率为由的直线上，PRg为等腰三角形，Zf；P = 120,则。的离心率为 6二、填空题：本题

5、共4小题，每小题5分，共20分。13 .曲线y = 2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为.x+2y-5 2 0,14 .若x, y满足约束条件，x-2y + 30,则z = x+y的最大值为 X5W0,15 .已知 sina + cos夕=1, cosa + sin= 0,则 sin（a + Q）=.16 .已知圆锥的顶点为S,母线SA, SB所成角的余弦值为二，SA与圆锥底面所成角为45 , 8若ASAB的面积为5房，则该圆锥的侧面积为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答

6、。（一）必考题：共60分。17 . （12 分）记S”为等差数列%的前项和，已知=-7, S3=-15.（1）求4的通项公式；（2）求S”，并求S“的最小值.18 . （12 分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了 y与时间变量/的两个线性回将 模型.根据2000年至2016年的数据（时间变量/的值依次为1,2,17）建立模型： $ = -30.4+13.5/;根据2010年至2016年的数据（时间变量/的值依次为1,2,7 ）建立模 型：y = 99 + 17.5/.（1）分别利用这两个模型，求

7、该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠并说明理由.19 . （12 分）设抛物线C： y2=4x的焦点为尸，过尸且斜率为女60）的直线/与C交于A, 8两点, | AB | = 8.（1）求/的方程;(2)求过点A, 8且与C的准线相切的圆的方程.20 . (12 分)如图，在三棱锥中，AB = BC = 242,PA = PB=PC=AC=4,。为 AC 的中点.(1)证明：PO_L平面ABC;(2)若点M在枝8c上，且二面角M R4C为30, 求PC与平面RAM所成角的正弦值.21 . (12 分)已知函数/(x) = ex -ax2.(1)

8、若。=1,证明：当x20时，/(%)1： (2)若/(X)在(0,+8)只有一个零点，求a.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。22 .选修4一4：坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中，曲线。的参数方程为；：；(6为参数)，直线/的参数方程为. a为参数).y = 2 + Zsina,(1)求C和/的直角坐标方程；(2)若曲线。横直线/所得线段的中点坐标为(1,2),求/的斜率.23 .选修4一5:不等式选讲(10分)设函数 f(x) = 5-x+a-x-2.(1)当a = lB寸，求不等式x)20的解集；(2)若求a的取值

9、范围.绝密启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1. D 2. A3. B 4. B 5. A7. B8.9. C 10. A 11. C6. A12. D二、填空题13. y = 2x14.15.16. 40岳三、解答题17.解:(1)设七的公差为&由题意得3可+3d = -15.所以”的通项公式为=2-9 .(2)由得 S“ = -8 = (- 4f 一 16 .所以当用4时，S”取得最小值，最小值为-16.18 .解：(1)利用模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y = -30.4 + 13.5x19 = 226.1 (亿元).利用模型

10、，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y = 99+17.5x9 = 256.5 G乙元).(2)利用模型得到的预测值更可靠.理由如下：(i )从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y = _30.4 +13.5,上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增 加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基 础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型 9 = 9

11、9 + 17.5/可以校好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模 型得到的预测值更可靠.(ii )从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型得到 的预测值226. 1亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理.说明 利用模型得到的预测值更可靠.以上给出了 2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.19 .解：(1)由题意得尸(1,0), /的方程为y = k(xl)(左0).设 4,切),5区,为)，y k(x 1)由，一得出212一(24+ 4+k2 = 0.y2 = 4xA = 16k2 +16 0 , 故X +

12、x, = 2 二, k4*2 + 4所以|A6|=| AF + BF= (x1 + l) + (x,+l) = . k4二 + 4由题设知 =8,解得k = -l (舍去)，k = l. k因此/的方程为y = x-l.(2)由(1)得48的中点坐标为(3,2),所以48的垂直平分线方程为丁一2 = (工一3), 即 y = -x+5.设所求圆的圆心坐标为(/，Vo),则yo =一儿 + 5,o .x0 = 3,= 11,(v解得(0 或4 0(x0 +1)2 = 0。/ + +16.=2 bo = -6.2因此所求圆的方程为(xBf + U Zfuieaallf + Cy + GynhU .

13、20.解:(1)因为 AP = CP = AC = 4,。为 AC 的中点，所以QP_LAC,且。尸= 2。？.连结06.因为A5 = 5C = aC,所以AABC为等腰直角三角形,且O6_LAC, OB = -AC = 2.2由 OP- + OB2 = PB2 知 PO 上 OB .由0尸_106,。尸_14。知尸0_1平面46。.如图，以O为坐标原点，05的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系。一jiyz由已知得 0(0,0,0),5(2,0,0),4(0,-2,0),C(0,2,0),Pg,0,2 而=(0,2,2折,取 平面PAC的法向量方= (2,0,0).设M(q,2-a,0)(0

14、2),则 AM = (。,4-。,0).(设平面PAM的法向量为 =(x, y,z) .由而 =0,而 =0得卜k2辰=0 ,可取 ar+(4-a)y = 0ii = (6(。- 4), /3a,-a),所以cos.由已知得2疯。- 4)2yj3(a-4)2 + 3a2 + a2所以丽言号=邛，J (舍去):所以 =(_卓，竽又正=(0,2,2道)，所以cos(正,)=乎.所以尸C与平面B4A/所成角的正弦值为21.解：(1)当 a = l 时，f(x)之 1 等价于(/ + 1把-10.设函数 g(x) = (V + l)e-x-l,则 g(x) = -(x2-2x+l)ex = -(x-l

15、)2ex.当xwl时，g(x)0,所以g(x)在(0,+qo)单调递减.而 g(0) = 0,故当 x之。时，g(x)O,即/(x)之 1.(2)设函数 /?(x) = 1 -ax2ex./(x)在(0,口)只有一个零点当且仅当/z(x)在(0,+oo)只有一个零点.(i)当 0,没有零点;(i i)当 0时，hr(x) = ax(x-2)ex .当 xw (0,2)时，hf(x) 0 .所以h（x）在（0,2）单调递减，在（2, 口）单调递增.An故 /?(2) = 1-是 h(x)在0,+qo)的最小值. e-若(2)0,即 ,6(x)在(0,2)没有零点; 4若(2) = 0,即q =

16、J, 6(x)在(0,xo)只有一个零点;4若依2)0时，ev x2,所以71(467)= 1-16。e4a3 , 16/16/1 A-=11- = l-0.(e2fl)2(2a)4a故(x)在(2,4。)有一个零点，因此/?(x)在(0,+s)有两个零点.综上，/(X)在(0,K力)只有一个零点时，a = .422.解：22(1)曲线C的直角坐标方程为二+二=1.4 16当cose。0时，/的直角坐标方程为y = tanax+2tana ,当cosa = 0时，/的直角坐标方程为x = l.(2)将/的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于f的方程(1 + 3 cos2 a)t2 + 4(

17、2 cos a + sin a)t -8 = 0 .因为曲线C微直线/所得线段的中点(1,2)在c内，所以有两个解，设为乙，G,则 f 1 + f 2 = 0 .又由得+/,=_ 4(2 cos a+：in a),故2cosa+sina = 0,于是直线/的斜率-l + 3cos- ak = tana = -2.23.解:2x+4,x-l,(1)当 4 = 1 时，/(x) = 2,-1 x 2.可得/(x)NO的解集为x|-2xK3.(2)等价于|x+a| + |x-2巨4.而|x+a| + |x-2闫。+ 2,且当x = 2时等号成立.故/(x)l ：(2)若/(x)在(0,+8)只有一个零点，求a.解：(1) fx) = ex-2xt fx) = ex-2.当 xln2 时，fx) 0 ,所以(%)在(y,ln2)单调递减，在(In2,y)单调递增，故/(1)N/(1112) = 2 211120, /(x)在(，)单调递增.因为 xNO,所以/(x)N/(0) = l.e(2)当 x0时，设g(x) = r - ，则 fa)= /g(x), /(x)在(0,+