2020年稽阳联考数学试卷及参考答案和评分标准

1、2020年11月稽阳联谊学校高三联考数学试题卷命题人：春晖中学林国夫新昌中学董益芳 柯桥中学丁扬恺审稿人：诸暨中学朱水英本科试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共4页，选择题部分1至3页，非选择题部 分3至4页，满分150分，考试时间120分钟。考生注意：1 .答题前，请务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别境写在试题卷 和答题纸规定的位置上.2 .答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试 题卷上的作答一律无效.参考公式:数学试题卷第1页(共4页)共40分在每小题给出的四个选项中，只有一如果事件4 8互斥，那么其4+5尸P(4 升P(B)如

2、果事件), B相互独立，那么R4步尸(4)P(B)如果事件彳在一次试验中发生的概率是P,那么次独立重复试验中恰好发生k次的概率 P"(A)=C >(l-pr*(k-O,u，,n) 球的表面积公式S = 4成2球的体积公式1ng/ (其中R表示球的半径) 第I卷(选择题, 、选择题：本大题共10小题，每小题4分， 项是符合题目要求的.棱柱的体积公式VSh其中S表示棱柱的底面积，方表示棱柱的高楂住的体积公式1仁一Sh3其中S表示棱惟的底面积，力表示极锥的高 桂台的体积公式/1方(S + S$2 + S)其中g,团分别表示校台的上下底面面积，力表示棱台的高共40分)( )D.x|-2

3、<x<4()D. 2()1 .已知集合M = x|T<x<4,N = x|x2_x_6<o,则.nN =A. x|T<* B, xhl<x<3 c. xH2<x<32 .已知复数z = 上,其中f为虚数单位，则A' iB- T c. 75x_y_2W03 .若变量xj满足y-240，则维的最小值2x+y-4A0*64 .已知函数/（x） = 7；的图象可能为2-cosxCBD5.已知a>0,b>0,则 “Iogb2>logo2>0 ” 是 “|一1|>|6-1|” 的A.充要条件C.充分不必要条件

4、B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.已知某几何体是由正四楂柱割去两部分后得到，其三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积为A.7 + 5 -3C. 3 + V3 9 3B. 7 + 6,5D.6 + 1, 57.如留,已知点口,）是双曲线C|：二一匕二1上的点， 4 3过点尸作椭圆。2：工+或=1的两条切线，切点为45, 43直线45交q的两渐近线于点旦尸，O是坐标原点，则万万的值为A A4c.13B. 1)1的视图正视图第6题图&四面体初8中，工8aBe = 2,且异面直线45与CD所成的角为60, .若四面体ABCD的外接球半径为V5，则四面体ABCD的体积的最大值为A.

5、 273B. 4百c.回39.已知数列4是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列,且p + q = m + ”,q,m,“N，则下列判断正确的是D.昱6其前项和为8 .若A. Szp=2pq1111C. 一 + 一< H' / 4 4B. a a > q aD. +>-L+ls. s_ s数学送题卷第2页（共4页）10 .已知e为自然对数的底数，4b为实数，且不等式lnx+Qe-a-l）x + b + 140对任意的xw（0,+。）恒成立.则当注取最大值时，。的值为（）a+1A. 2eB. 2e-lC. 3eD. 3e-l第n卷（非选择题共no分）二、填空题：本大题共

6、7小题，共36分，多空期每题6分，单空题每题4分。11 .已知 tan （Z+ | ,且一则 tana =A，sin lot -AI 4J 22212 .若（2x）5 =%+4（2工一1） + %（2工一1）2 +3（2兀-1）3 +4（2%-1）4+。5（2"-1）5 ,则 % + q + . + 4 + 4 + 6 =，。2 =-13 .已知动直线八夕=丘_2与圆C:（x_l）2+/2 =6交于/津两点当 =时，48|= . 当/运动时，线段N8的中点”的轨迹方程为14 .在N8C中，角N、B、C所对的边分别为a、b> c,2bcsnA + （cr2 +Z?2-c2） =

7、0,则/C=:若点。是边48上靠近力的三等分点，且CD = 1,则48C面积的最大值为 .1915,已知正实数4满足一+; = 1，则（。+ 1） + 2）的最小值为-a b16 .袋中装有6个大小相同的球，其中3个白球、2个黑球、1个红球.现从中依次取球,每次取 1球，且取后不放回，宜到取出的球中有两种不同颜色的球时结束.用X表示终止取球时已 取球的次数，则随机变量X的数学期望E（X）=.17 .已知平面向量。3,。,4满足：|。|=向=* = 2,G。=8.若对满足条件的任意。，/一（:|的 最小值恰为12-ZI .设2 = Q W，则x+2y的最大值为.三、解答题:本大题共5小题，共74

8、分。解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.18 .（本题满分14分）己知函数/（1）=2而2" +二）-8852工-1,工三二 44 2（I）求/（劝的单调递增区间；（II）若不等式lf（x）-M<2在上恒成立，求实数m的取值范围.数学试题卷第3页（共4页）19(本题满分15分)如图，三棱台ZBC-44G中，45,3C,NNCB = 30°,侧面4CC/为等腰梯形，AC = 2AA = 2ACX = 2C,C = 4 , A,B = 3,(I)求证：ACLA.B.(ii)求直线片。与平面4CG4所成角的正弦值.如.(本题满分15分)已知等差数列缶“满足：=5，是4+

9、4和丐-4的等比中项.数 列，满足：她+砧2夕+ 也=(2 1)' 2al + 2.(H )若 C" = J1 +子，求证：C+G + + . < + g,21.(本题满分15分)已知椭圆C|：5+/ = l和抛物线。2：/=2px(P0)，点尸为C1的左焦点，点£为G的焦点.(I)过点尸的直线与。2相切于点尸，若|PF|=V5 ,求抛物线。2的方程.(II)过点E的直线/交G于忆0两点，点“满足 OQ = OM (。为坐标原点)，且点在线段x = -l y手)上.记APQM的面积 '为S,45FP的面积为$2,求L的取值范围.22.(本题满分15分)

10、已知函数/()=62"+以2_2*(4幻.(I )若/(X)在0,+8)上为单调递增函数，求实数。的母小值.(II)若g(x) = /(x) + (2/ + 2)x有两个极值点玉广式玉 三).G)求实数a的取值范围；(ii)求证：1 +许玉掾.(I)求数列4和"的通项公式.2020年11月稽阳联考数学参考答案及评分标准第I卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共8小题, 项是符合题目要求的.l.B 2.B3.A4.A各题详每小题5分，共4。分.在每小题给出的四个选项中，只有一5.C6.A7.B8.A9.D10.D细参考 解答L解：由于 M=Wl<x<4,N =

11、 "l2<x<3,从而 MnN = xl-lvxv3,选 B.2,解：由于 z = _L = "l±» = _L + L 则 |?|=1选 B.122 223 .解：如图，不等式组<x-y-2<0>'-2<0表示的平面区域为如图所示2x+v-4>0-1的阴影部分，从而当x = 4,y = 2时，上士/有最小值一2,选a. x-6OM(6r2)r sin jv4 .解：由于/（X）= l为偶函数，且/（刈在X = 0右侧取值正，故选A. 2 cosx5 .解：充分性：log力 2 > log02>

12、;0=>a>b>=>a - >b - >0 =1 “ 11>1 % 11,充分性成立.必要性:取1 = 2力=!，贝”4-11>也一11=1>,成立,而条件不成立，故1。8/,2>108,2>0是|4-11>|一11的22D充分不必要条件，故选C.6 .解：该几何体为一个正四棱柱截去两个全等的三棱锥而成，直观图如图,S = 12x2 + i-x/2-V2x2 + x4 = 7 + V3-2222V = V；1 -2V11=L12-2 - - 1 =- > 故选 A.3 237 .解：椭圆G关于点P（1,y0）的切点弦

13、AB的方程为3&x+4yoy = 12.联立，3xox + 4yoy = 12>/3y =x.2得点E4>/3GA/B'同理五H,OE OF =48-3612（昌）:）（回了一 （2力一3心4年=1,故选B.8 .解：构建直三棱柱A3ECDF,设G,“分别为AABEQC。尸的外心，连接G，取其中点。，则。为直三棱柱ABECDF的外接球的球心，也为四面体A3CQ的外接球的球心，因为异而直线A8与C。所成的角为60 ,所以NA8E = 60 .设三棱柱底而三角形A45石的外接圆半径为，则 = J= = 2,A£ = 2rsin60 =273,再由余弦定理,AE

14、1 = AB2 + BE2 - 2AB BE cos 60 = AB? + BE? - AB BE = 12,所以 12 = AB? + BE? - AB BE N 2AB BE - AB BE = AB BE所以 v-bcd = - V*cdf =-ABBE sin 60 BC = AB - BE <2>/3 , 33 26故四而体A3CD的体积的最大值为2/5.故选A.9 .解：由于 S2P =二 / ) = p(af, +。/小)工 2pcip » 故选项 A 错误. 2由于7" 一 ，则 4P q - % q =%+(p - 川 M 也+(g - )刈一

15、 % .=am-q-n)dyan +(q-n)d-am - an =(q-n)d(am-an)-(q-n)2d2 =-(q-n)d2(n-m) 一一)2/<0,故选项B错误.11勺 +(%ani + anani +an11由于一+ =-一->-一L = + ,故选项C错误. ap%a74ama 八设 x = q = ? 一 >0 , 则 pq-mn = (n + x)(m -x)-mn = -x(n - tn) -x2 <0 , 从而pq < mn t 由于+ 9 = ？ + = 2 +/ +2pq = m2 +n2 + linn ,故2 +夕2 > / +

16、2.u c 厂 /、P? + q2 m t z 、/+2 l故 50+Sg =(p + q)ai+-d >(? + )q +d = 5历 + 5乙乙%Sg=pq+西FW四 + 中小时 + 心安2)*+/"一:""7 ，("1+ 一2) , 加(一 1)(夕一1), ?(， + -2) , ?(加一 1)(一1) 口。< mna +qd + d- < mna； + aAd + j=Sm Sn.224由此B +故选项D正确.故选D.注：本题也可用特殊数列代入，利用排除法求解.10 .解：由于11】¥ + (26 。-1)* +。+

17、1<0 0111工+2 14(。+ 1)%一( + 2) ,此不等式对任意 X£(0,"HO)恒成立，则需要保证 + 1>0 .令x = L,则lnl + 2 l4(a + l) 一 2 e ee从而( + 1)1之 + 2,从而生 ea + e另一方而，当a = 3e 1,。= 1 时，lnx+(2-a-l)x+ + l«0即为Inxex+2«0,1-ex11设/(x)= lnx - ex + 2(x>0),则.(x) = e = -NO 得 0cx，故/(x)在(0,-上单调递增， x xee也二可取 + 1 e在(1,+s)上单调

18、递减，从而/(x)K/d) = O，即。= 3c - l/ = l可使不等式恒成立，从而综合上述，当也二取最大值1时， = 3e 1.故选D.第II卷(非选择题部分共110分)二、填空题:本大题共7小题,11.13一；一一3512. 32;10共36分，多空题每题6分，单空题每题4分。13. <22 ; (a- )" +(y + l) =- (去掉原点).2乃 9>/314.:15. 1813916.6017. 3说明：第13题不去掉原点也不扣分.各题详细11.解：由于tan a + = 【4Jtan a +11 nil1 7t 37rd.=一，则 tana = ： 又一

19、vav ，故 sina =1 - tan cr 2VTo而'* = _ 亚，从而 sin2a = 2sma.c°sa = 2x 巫 x(-亚)=二 1010105C.12.解：令x = l,则q)+q +a2+a3+a4+a5 = 2、=32 ：由于(2x) =(2*-1 + 1)5,从而, = C；= io13.解:当1 = 1时,点。到/的距离二夜.故填佝 + «| + a2 + a3 +a4+a5 = 32 ； a2 =10.=汇三=则1481= 21r-r = Vl + 1 V2由于直线/过点0(0,2),C(1,0),则点M在以。C为直径的圆上，该圆的圆心

20、坐标为(L 1),半径 2卡等 ,故点M的轨迹方程为(x；)2+(y + l)2 = q (去掉原点).14 .解：由于2bcsinA+#(/+ -6) = 0,故2bcsinA+必cosC = 0,从而 csin4+ VJwcosC = 0,即 sin C sin A + >/3 sin Acos C = 0,故 tanC = 一所以 C .又3+ 1在，从而|说=IcACB=il+La299229而=1.故一而£1,即,故1 215 .解：由于一+ 1 = 1,则为+力=出?，从而(4 + 1)(/? + 2) = 2+。+ " + 2 = 2(2。+份 + 2

21、a b= 2(2 + Z?)(l + -) + 2 = 2(4 + - + ) + 2>2(4 + 4) + 2 = 18,当且仅当Z? = 2z7 = 4,即 a ha b当。=2力=4取等号.16.解：根据题意X可取2,3,4P(X=2) =3x2x2 + 3x2 + 2x2 _ 116x515( _4_3x2x2 + 3x2 + 2 + 2x3_ 13, _、_3x2x2 + 3x2xl _ 1(，_6x5x4-60 '(一 尸6x5x4x3-20139故 E(X) = 2xP(X =2)+ 3xP(X =3)+ 4xP(X =4)= ,17 .解:如图，设£ =

22、瓦5石=而工=无,3 = 而,由于1力=1臼=£石=2,则cos < PA. PB>= t 故 NA尸8 = 60°,由于 a c = 8 ,过点。作 2故|7-2|的最小值即为点。到直线/的距离,由此R4的垂线/,垂足为K,则PK = 4,故点。在定直线/上.故点D的轨迹为以点A为焦点，准线为/的抛物线.设AK的中点 。为原点建立直角坐标系，则抛物线的方程为炉=-4、,取尸8的中点M,平行于直线A"作抛物线的切线，切点分别为O。，切线交x轴于点E. 由于=元£ +)3，叩而=不西+)质=工刀+ 2>-=1所+ 2所故当点0位于点

23、63;)0时，x+2y 2有最大值，最大值为吧.PA设抛物线V=-4x上的点。0(-产,力)，该点处抛物线切线为x + /y"=o.令=3)=一；，则 1J3，则切线 £)(£X + "旷3 = 0 ,故点 £(3,0) ,从而(x+2、7L =3.三、解答题:本大题共5小题，共74分。解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算过程.18 .解:(I)由于f(x) = 2sin2(x + ) &cos2x-l = 2sin(2x-) 434分又、£止,勺，则£42%-£4至，则令解得色,故八)的单调递增区间为

24、 4 263363 2412(II )若不等式了。)一 ? 1< 2在工 £,鼻上恒成立=-2 + m < f(x) <2 + m.9分由于当£<2x-<,故f(x) = 2sin(2x-马的值域为1,2. 4 2633312分由此匚:二故。<7,14分.19.解法一：Q）如图，过点8作AC的垂线，垂足为。， 以OB、OC所在直线为工轴和），轴建立空间直角坐标系.2分由于乙408为二而角AAC 8的平面角，由于AO =书,BO = E，AB = 3,故NA08 = 120° .则A(O,-1,O),B(>/3,O,O),C

25、(O,3,O), %(-噂,0().考虑到而=(0,1,0),则丽=；丽= 乙乙乙1 3即。,支）_, 3也3由于AC = (0,4,0), 48 = (*,0,-二),从而4。43 = 0,故人。，48.22(II)设平而 ACC14 的法向量为5 = (x,y,z),由于6( = (心= (0,3,0),。3 = 0,从而x：y：z = 6：o：l ,因此取 1 = (6,0). n-OC = 011分I-J> I I又。4=（0,-二,二）.设宜线BC与平面4CGA所成角为。，则cos<C4> =" 7 7I I3_5 一 3 _3师2x/F 2 用 6813

26、分从而sin 0 = |cos < n, CB； >| =,直线B.C与平而ACC所成角的正弦值为 .15分.解法二：（I）如图，过点8作4c的垂线，垂足为O,则 BO ± AC, A。，AC，80仆 A。=。, BO, Ap u 平面 AftB ,故AC,平面AQ3.5分nCB1A/GB又48u平面4。3,故ACJ.48.7分(II)设4鸟，48交于点£>,在AC上取一点E,使得DE/B£ ,则A。：。用=2:1,故AE:EC = 2:1,从而40 = 1,0石=*£：。= 3.直线8。与平而4。14所成的角即为直线DE与平面ACC】

27、A所成的角9分考虑到平面AQ8J_平而力CG4,则过点。作4。的垂线，垂足为“，则平面ACG4,故ZDEH为直线OE与平面ACG4所成的角.11分从而“.嚼=* =卷，故si"吹悬h嚼 6综合上述，直线BXC与平面ACG4所成角的正弦值为个士 15分20 .解： 由于 3是6+4和45-4的等比中项，则。32=(4+4)(%-4)>0.即(5 + 4)2=(9-")(5 + 34-4)>0,从而4d?-164 + 16 = 0,从而("一2尸=0,故d = 2.从而 4 = % + ( - 2)d = 2n +1.4分由于=6,从而4=2.当22时，。

28、也=(2- 1)2向+2-(2-3)2+2 = (2 + 1)2",从而“2 + 12 =2”,%显然4 =2也符合条件，从而以=2。综合上述，4 = 2+i, bn=r.【注：其他合理方法酌情给分.如当x>。时，行<j+x+,=+,故c,=m也 <1+3血7 _ 352/ + 1 而17 _ 35设7L =旌+亨+ ZT，则=*+57 +2 一、也二，则两式相减得/哼+吗+却-2 + U + 2x2+2)2 + 1 5 1 2 + 12+24 22"+2*5 2+ 5故方=3乙14分口e 5 2/1 + 55故q +c2+% <n + Tfl =n

29、 + - n- <« + -15分【注：利用裂项求和也可:2 + 1 2 + 3 2( + 1) + 32+i2”，则A-!乙2 攵+ 3 2(攵 + 1) + 32 + 3 2(/:+ 1) + 3 52122”川21 .解：（I）由题可知：尸（一1,0）设直线/的方程为：y =攵（X+1）,联立'+ 1）可得：攵2+（2攵2-2）工+2 =0.则A =（23一2）2-44=一版2 + 4/=0,故 =2公且为,=一仁？ = 1，即点尸（1,±而）.14分故|pT = J（i+i）2+2 =番,所以抛物线。2的方程：r=x.27分【其他方法也可：设点P（2p

30、产,2/"）,则G在点尸处的切线方程为2p（y = 2p.二，即 22）= 2p+x,由于该切线经过点/（1,0）,故0 = 2/一1,即产=9，故P（l,士丹）,|“| =和+ 17+ 2=/.】（H）设点。2上匚，打，直线尸。方程为:2P ）Px = ty2 '可得:,f = 2 Pxy2-2ptx-p1 =0.故）+）b=2f,yp）b=_2,从而7=上=上K）1又。O = 4OM,则一二X4从而 y02=8p,且则 0vp < 1.从而 S =-SPQ = -x-xyx|)>-y<?| =,* 乙 乙8P= T，y“ =一"7)'Q

31、 =一" 4411分/厂正 -7。=77V()16s2 = FE'yp=-X + 1 X子卜*+2）导13分52+8由此可得&二/"尸二"/ + £ e伴4s? 1/,-八 -4 P + 2 4( P + 2J I 415分22 .解：由于/在0,y>)上为单调递增函数，则/*) = 2/、2,戊2N0对任意的xeO+oo)恒成立.2分方法一：由于/U) = 2e2x + 2ax2>0,/'(0) = 0,因此/"(%) = 4e" + 2”, /"(0) = 4+2a20因此2.5分下而

32、证明。=2可以取到.事实上，当。=2时，fx) = 2(e2x-2x-),则令/ "(X)= 2(22、-2)之0,解得x 2 0.因此.")在0,-Ho)上单调递增，故fx) > f '(0) = 0,故f(x)在0,x。)上为单调递增函数.综合上述，实数”的最小值为-2.7分方法二：显然x = 0不等式/*) = 2*+ 2编:一220成立.当x>0时，则一恒成 X立.3分令p*) =-l(x>0),贝iJp") = F二_30),令如 1)= 2%.田一个 + 1, xr则 q'(x) = 2.+ 4xe2x -2e2x =

33、 4xe2x 2 0,因此q(x)在0,9)上单调递增,从而q(x) >0.故P '")= 绰 > 0(% > 0)，即p(x)在0, +co)上单调递增.5分厂kto-.10jv 0卜-0-2.7分从而一a W出口 (x)=则"一一""'一一 "=(/，-1) =2,从而之-2.综合上述，实数的最小值为(II) (i)由于g(x) = /'+ax2+2/x有两个极值点为,工(为 <42)，则g'(x) = 2e"+2ax + 2/=0有两个 实 根 不片 ， 故 _ = £_±£1. 设, 则XXh，(x)= 2/3"+/) _小9分X2X2设(幻=2/% 工一/,则r(l) = 0,尸(x) = 4e2xx+2e2x -2e2x = 4e2x x N 0 ,解得 x 2 0 ,故 r(x)在(一双0)上单调递减，在(0,y)上单调递增，又r(0)<0.xlim r(x) = - J, /=0 .故当 x K l(x W 0)时，r(x)<0, (幻= U<0：当x>1 时，r(x)>0, 厂bx)=巴 NO .由此/?(x)在(一,0)上单调递减， x在