2018二次函数与直角三角形存在性问题(新)

1、二次函数中直角三角形存在性问题1 .找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直；以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点2 .方法：以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则 k1*k2=-1以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者三条边分别表示之后，利用勾股定理求解例一：如图，抛物线y mx2 2mx 3mm 0与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点.(1)请求出抛物线顶点 M的坐标(用含 m的代数式表示)，A B两点的坐标；(2)经探究可知， BCM与4ABC的

2、面积比不变，试求出这个比值；(3)是否存在使 4BCM为直角三角形的抛物线若存在，请求出；如果不存在，请说明理由.例二、如图，抛物线y=-x2+mx+n与x轴分别交于点 A (4, 0), B (-2, 0),与y轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式；(2) M为第一象限内抛物线上一动点，点M在何处时， ACM的面积最大；(3)在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P,使得 PAC为直角三角形若存在，请求出所有可能点P的坐标；若不存在，请说明理由.练习：1 .如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c (a，0的顶点M在第一象限，抛物线与 x轴相交于A、B两点(点A在 点B的左边)，与y轴交与点C,

3、O为坐标原点，如果 ABM是直角三角形，AB=2, OM = J5(1)求点M的坐标；(2)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使彳PAC为直角三角形若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)y小V2 .如图，抛物线 y=x2-2mx (m >0)与x轴的另一个交点为 A,过P(1, -m)作PM，x轴与点 M, 交抛物线于点B.点B关于抛物线对称轴的对称点为C.(1)若m=2,求点A和点C的坐标；(2)令m>1,连接CA,若 ACP为直角三角形，求 m的值；(3)在坐标轴上是否存在点E,使得 PEC是以P为直角

4、顶点的等腰直角三角形若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.3 .如图，抛物线 y=ax2+bx+2与x轴交于点 A(1, 0)和B(4, 0).(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线的对称轴交 x轴于点E,点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC/ x轴，与对 称轴右侧的抛物线交于点 C,且四边形 OECF是平行四边形，求点 C的坐标；(3)在(2)的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P,使 OCP是直角三角形若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.4、在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+( k-1)x-k与直线y=kx+1交于A, B两点，点A在点B的左侧.(1)如图1,当k=1时

5、，直接写出 A, B两点的坐标;(2)在(1)的条件下，点 P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出 ABP面积的最大值及此时点 P的坐标；(3)如图2,抛物线y=x2+( k-l)x-k (k>0)与x轴交于点C、D两点(点C在点D的左侧)， 在直线y=kx+1上是否存在唯一一点 Q,使得/ OQC=9°0若存在，请求出此时 k的值；若不存在，请说明理由.1 5、5、如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6 (aw。相交于A (,)和B(4, m),点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC，x轴于点D,交抛物线于点 C.(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在这样的 P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；(3)求 PAC为直角三角形时点 P的坐标.6、如图，抛物线 y=ax2+bx+c经过A(-3, 0)、C(0, 4),点B在抛物线上，CB/ x轴，且AB 平分/ CAO.(1)求抛物线的解析式；(2)线段AB上有一动点P,过点P作