数学建模古塔的变形

1、2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模 竞赛参赛规则（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建 模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的 成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表 述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。 如有违反竞赛

2、章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会， 可将我们的论文以任何形式进行 公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表 等）。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D中选择一项填写）：C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员（打印并签名）：1.2. 3. 指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以 上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取 消评奖资格。）日期：2013年9月13日赛区评阅编

3、号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：对古塔变形问题的数学建模摘要中国古语有云，“救人一命胜造七级浮屠”，所谓浮屠也就是大众口中的“塔”。在中国辽阔的大地上，古塔的踪影随处可见。它们造型精美、结构巧妙，成为可多得的独特景观。早起的古塔，主要是阁楼式的建筑，从唐朝经过两宋至辽、金，是我国古塔发展的高峰时期，特别是唐和两宋，古塔的建造达到了空前繁荣度，总量较以前大增，材料也更为丰富，除了木材和砖、石以外，还使

4、用了铜、铁、琉璃等、材料上有木塔为主转为以石塔为主，平面则由四方形逐渐演变为六角和八角形。由于古塔建造年代久远，碍于当时的科技技术，或多或少总存在一些问题，最常见的是地基不均匀沉降，从而导致塔体倾斜。由于古塔建造的年代不同，地质情况千差万别，建造后所经历的人为破坏和自然力破坏也不尽相同，因此对古塔倾斜后处理与加固技术多种多样，归纳起来不外乎两类，即复位纠偏和加补强。根据管理部门调查表，分别 4 次观测一个上千年的古塔在长时间承受自重、气温、风力，地震、飓风的影响下，古塔会产生各种变形，如倾斜、弯曲、扭曲等，为保护古塔变形情况，文物部门需要适时对古塔进行观测，了解各种变形情况，以制定必要的保护措

5、施。我们根据 4 次测量的数据，建立了古塔倾斜变形的预测模型。根据这个模型，我们可以比较准确的预测出每一年的变形情况，然后根据情况文物部对其制定合理的保护措施。针对问题 1，我们首先要根据这几年来四次古塔的数据变化情况，用建模软件MATLA制作成模型图，用数学建模中拟合的方法来画出塔的基本形状，再确定古塔每 层的中心点，建立中心点拟合线方程模型，观察是否有倾斜、扭曲、变形等情况。针对问题 2， 古塔倾斜的原因主要与日光照射、 地基活动有关。 首先朝向阳面的地基水分较少，阴面的地基水分较多，于是1 万多吨的塔，开始向水分较多，地基松软的方向倾斜。另外大量的地下水开采影响了地基的稳固，而古塔附近的

6、铁路运输，也会造成震动。而且，受到地基的不均匀沉降、地震、大风等影响，都会有可能倾斜等变形情况。针对问题 3， 根据管理部门委托的测绘公司的数据表来看， 古塔每年都以很小的角度在偏移，由于各种人为或者自然原因，使得古塔慢慢的倾斜为斜塔，斜塔并不一定都会倒塌，只要塔的重心线（通过重心点所引的垂直线）还在塔的底面积范围内，塔就是安全的。因此纠偏要根据每座塔的具体情况而定。且一般来说，有些塔在倾斜的过程中，原本松软的地基会被渐渐压实，然后与倾斜角度构成新的平衡，便就此稳定下来。关键词： 古塔 变形 变形趋势预测 倾斜 弯曲 扭曲 维护 文物 中心位置0 问题背景在中国辽阔美丽的大地上，随处都可以看到

7、古塔的踪影。这些千姿百态的古塔，其造型之美，结构之巧，雕刻、装饰之华丽，均堪与我国其它种类的古代建筑相比。然而，在我国早期的古代建筑物中有楼有阁，有台有榭，有廊有庑，有民居有桥梁有陵墓，唯独没有塔。原来塔这种建筑并不是我国的固有类型，而是外国的一种建筑。在传入我国以后，塔又和我国原有的建筑形式相结合，形成了一种具有中国民族传统特色的新的建筑类型。由于古塔距今历史久远，期间经过各种风吹雨打，自然以及人为损坏，因此需要相关管理部门对古塔做测量，并且针对不同的变形情况制定不同的维护方法，以保证古塔的保留，防止历史建筑物的坍塌导致文化遗产的流逝与人员伤害。1 问题重述古塔，是中国五千年文明史的载体之一

8、，古塔为祖国城市山林增光添彩，塔被佛教界人士尊为佛塔。矗立在大江南北的古塔，被誉为中国古代杰出的高层建筑。但由于存在时间久远，受各方面影响，古塔的可能会发生变形。如果不能及时发生古塔的变形，去及时维护，古塔就有可能遭受无法挽回的损失。古塔的变形，由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。管理部门委托测绘公司先后于1986年 7月、 1996年 8 月、 2009年 3月和 2011 年 3月对该塔进行了

9、 4 次观测。请你们根据附件1 提供的 4 次观测数据，讨论以下问题：问题1：给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。问题2：分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。问题3：分析该塔的变形趋势。2 问题分析由给出了的一个古塔实例以及相应数据 （附件 1， 该实例古塔的 4 次观测数据） 的条件下，要求建立该古塔的各层中心位置的通用方法，且列表给出各次测量的古塔各层的中心位置。并进一步分析该古塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况，最后分析该古塔的变形趋势。问题 1 中要我们确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心位置。首先，我们假设各测量点都是选取得

10、科学合理的位置，都是围绕中心点的，并且同一层测量点大致在同一平面上，由已知数据（附件1）也可以看出它们是大致在同一平面上。那么，我们由已知条件知道每层给出的各测量点的数据，我们通过画三维图形可以看出， 那近似于一个的多边形， 所以我们就可以把问题转变为求多边形的中心位置，然后记录各个中心位置坐标数据。问题 2 中要我们分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。我们可以根据问题 1 中求得的各层的中心位置坐标，然后将各层的中心位置坐标，接连起来，观察它。理论上正常古塔的中心位置坐标连线应该大致是一条垂直于 X 轴和 Y 轴平行 Z 轴的直线。如果中心位置坐标连线，还是直线但不平行于Z 轴了，说明该古塔

11、发生了倾斜，如果中心位置坐标连线不是一条直线，而是一条有一个弧度的曲线，那么说明该古塔发生了弯曲，如果中心位置坐标连线不是一条直线，而是一条有多个弧度的曲线，那么说明该古塔发生了扭曲。问题 3 要我们分析该塔的变形趋势时，我们通过分析每一个中心点的变化趋势，来判断整个塔的变形趋势，与预测古塔以后可能会发生的变形情况。3 模型假设假设1：各测量点都是选取的都是科学合理的位置。假设2：每层的测量点都是围绕着这一层的中心点。假设3：同一层测量点都大致在同一平面上。假设4：各层测量点构成的几何图形的中心是与这一层的中心位置相重合的。假设5：测量点的位置都是古塔上固定的位置。4 符号说明Oj 第 j 层

12、中心；j 层数 j （1、2、3.13） ；i 测量点标记 i（1、2、3.） ；x x轴坐标；y y轴坐标；z z轴坐标；X 拟合线x轴坐标；Y 拟合线y轴坐标；Z 拟合线 z 轴坐标；x0 第 j 层中心的 x 轴坐标；jy0 第j层中心的y轴坐标；z0 第j层中心的z轴坐标；n 测量点数t 时间t 时间差x x坐标差y y 坐标差z z 坐标差Qxx真实值与计算的近似值之差Qyy真实值与计算的近似值之差M,N,P,a,b,c,d方程中的参数aj, bj ,Cj ,d j第j层的方程参数5模型建立与求解5.1确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出古塔各层中心坐标根据几何中心计算方法，我

13、们可以得出计算各层中心位置的通用方法。即：我们把每层的8个测量值，分别求x, y, z的均值，得到的坐标就是每层的中心 位置。表1: 1986年各层中心位置楼层中心位置坐标x/my/mz/m1566.6648522.71051.78742566.7196522.66847.32023P 566.7735522.627312.755214566.8161522.594417.07835566.8621522.559121.72056P566.9084522.524426.23517566.9467522.508129.83698566.9843522.492433.35099567.021852

14、2.476436.854910567.0569522.423040.172111567.1045522.423044.440912567.1518522.383648.711913567.0850522.740352.8343塔顶567.2473522.243755.1232表1数据分析：我们可以从表中发现，中心位置的 x轴坐标，在逐渐增加，而y轴坐标在逐渐减 少。而正常的塔，理论而言，x轴和y轴坐标因该是不变的。注：表1数据的计算代码见附件5。结论：说明该古塔发生了倾斜变形。表2: 1996年各层中心位置层中心位置坐标x/my/mz/m1566.6650522.71021.78302P 56

15、6.7205522.66747.314613566.7751522.625612.75084F566.8183522.592217.07515566.8649522.556321.71606566.9118522.521026.22957P 566.9506522.504229.832218566.9884522.488133.34549567.0265522.471436.848210567.0620522.457240.167611567.1102522.417344.435412567.1578522.377548.707413567.0912522.734052.8300塔顶567.2

16、543522.236655.1198表2数据分析：我们可以从表中发现，中心位置的 x轴坐标，在逐渐增加，而y轴坐标在逐渐减少。而正常的塔，理论而言，x轴和y轴坐标因该是不变的 注：表2数据的计算代码见附件5。结论：说明该古塔发生了倾斜变形。表3: 2009年各层中心位置层中心位置坐标x/my/mz/m1566.7268522.70151.76452566.7640522.66937.30903P 566.8001522.638412.732314566.8293522.613217.06975566.8603522.586621.70946:566.9471522.534226.2110756

17、6.9792522.512329.82468567.0305522.479733.33989567.0816522.446636.843810567.1370522.393740.161111567.1799522.354744.432612567.2225522.316048.699813567.2712522.271552.8183塔顶567.336522.214855.091表3数据分析：我们可以从表中发现，中心位置的 x轴坐标，在逐渐增加，而y轴坐标在逐渐减 少。而正常的塔，理论而言，x轴和y轴坐标因该是不变的。注：表3数据的计算代码见附件5。结论：说明该古塔发生了倾斜变形。表4: 2

18、011年古塔各层中心位置坐标层中心位置坐标x/my/mz/m1566.7270522.70141.76322566.7462522.66907.29053566.8004522.638712.72694566.8297522.642717.05205566.8610522.586021.70396P 566.9478522.533526.204517566.9800522.511529.81708567.0313522.478833.33669P 567.0825522.445736.8222110567.1381522.392640.144111567.1810522.353544.4248

19、12567.2238522.314748.683813567.2725522.270152.8131塔顶567.3375522.213555.087表4数据分析：我们可以从表中发现，中心位置的 x轴坐标，在逐渐增加，而y轴坐标在逐渐减少。而正常的塔，理论而言，x轴和y轴坐标因该是不变的 注：表4数据的计算代码见附件5。结论：说明该古塔发生了倾斜变形。5.2 分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况 我们由已知的空间直线的标准点向式方程 整理得直线射影式方程a其中M 一 M N7. b x0 7z0, c 7.? ? ?N y0zoP o这样直线可以看作是用这2个方程表示的平面相交的直线，所以可以分别

20、对2个方程进行数据拟合。设？ a? b表示按拟合方程求得的近似值。一般地，它不同于实测值xi,两者之 差同理可得当Q取最小值时a, b, c, d的值即为方程的系数，即满足下列方程时 Q值最小。有令方程组(6)可写成其中：根据n组数据点解方程组就可以得到 a, b, c, d的值，也就可以得到拟合线方程。 然后我们就可以通过中心位置点拟合线和拟合线方程来判断， 古塔是否已经发生倾斜， 弯曲或扭曲。(1)通过前的算法模型，我们建立出1986年中心位置拟合线方程为：注：a, b, c, d参数的计算彳t码见附件6。图1 1986年古塔数据综合分析分析1986年古塔变形情况：通过观察图1的第4个子图

21、，我们可以看出中心位置点基本上都是在拟合线上或 附近的，说明我们的建立的模型正确的，是可靠性较高的模型。我们通过分析表1中心点的位置坐标，中心点x坐标有逐层增加的趋势，y坐标有 减小的趋势，然后结合拟合线方程和图 4中的第1个子图，可知中心拟合线不与z轴 平行，有向x轴数值增加方向倾斜。我们再分析图 1 中的第 3 个子图，这是一个府视图，我们可以观察到古塔的测量点曲线图的曲线密集程度分布是不均匀的，也说明古塔发生变形。注：图 1 生成的代码见附件7。结论：综上分析我们可以得出古塔发生了倾斜变形，往x 轴数值增加方向与y 轴数值减少方向倾斜。（ 2）通过前的算法模型，我们可以建立起1996 年

22、中心位置拟合线方程为：注： a， b， c， d 参数的计算代码见附件6。图 2 1996 年古塔数据综合分析分析 1996年古塔变形情况：通过观察图 2 的第 4 个子图，我们可以看出中心位置点基本上都是在拟合线上或附近的，说明我们的建立的模型正确的，是可靠性较高的模型。我们通过分析表2 中心点的位置坐标， 中心点 x 坐标有逐层增加的趋势， y 坐标有减小的趋势，然后结合拟合线方程和图 4 中的第 1 个子图，可知中心拟合线不与z 轴平行，有向 x 轴数值增加方向倾斜。我们再分析图 2 中的第 3 个子图，这是一个府视图，我们可以观察到古塔的测量点曲线图的曲线密集程度分布是不均匀的，也说明

23、古塔发生变形。注：图 2 生成的代码见附件7。结论：综上分析我们可以得出古塔发生了倾斜变形，往x 轴数值增加方向与y 轴数值减少方向倾斜。（ 3）通过前的算法模型，我们可以建立起2009 年中心位置拟合线方程为：注： a， b， c， d 参数的计算代码见附件6。图 3 2009年古塔数据综合分析分析 2009年古塔变形情况：通过观察图 3 的第 4 个子图，我们可以看出中心位置点基本上都是在拟合线上或附近的，说明我们的建立的模型正确的，是可靠性较高的模型。我们通过分析表3 中心点的位置坐标， 中心点 x 坐标有逐层增加的趋势， y 坐标有减小的趋势，然后结合拟合线方程和图 4 中的第 1 个

24、子图，可知中心拟合线不与z 轴平行，有向 x 轴数值增加方向倾斜。我们再分析图 3 中的第 3 个子图，这是一个府视图，我们可以观察到古塔的测量点曲线图的曲线密集程度分布是不均匀的，也说明古塔发生变形。注：图 3 生成的代码见附件7。结论：综上分析我们可以得出古塔发生了倾斜变形，往x 轴数值增加方向与y 轴数值减少方向倾斜。（ 4）通过前的算法模型，我们可以建立2011 年中心位置拟合线方程为：注： a， b， c， d 参数的计算代码见附件6。图 4 2011 年古塔数据综合分析分析 2011 年古塔变形情况：通过观察图 4 的第 4 个子图，我们可以看出中心位置点基本上都是在拟合线上或附近

25、的，说明我们的建立的模型正确的，是可靠性较高的模型。我们通过分析表4 中心点的位置坐标， 中心点 x 坐标有逐层增加的趋势， y 坐标有减小的趋势，然后结合拟合线方程和图 4 中的第 1 个子图，可知中心拟合线不与z 轴平行，有向 x 轴数值增加方向倾斜。我们再分析图 4 中的第 3 个子图，这是一个府视图，我们可以观察到古塔的测量点曲线图的曲线密集程度分布是不均匀的，也说明古塔发生变形。注：图4生成的代码见附件7。结论：综上分析我们可以得出古塔发生了倾斜变形，往 x轴数值增加方向与y轴 数值减少方向倾斜。表5:各层两次测量期间中心位置变化情况1996-19862009-19962011-20

26、09变 化 量10.0002-0.0003-0.00440.0618-0.0087-0.0185r 0.0002 1-0.0001-0.001320.0009-0.0010-0.00560.04350.0019-0.0056-0.0178-0.0003-0.018530.0016-0.0017-0.00440.02500.0128-0.01850.00030.0003-0.005540.0022-0.0022-0.00320.01100.0210-0.0054P 0.0004 10.0295-0.017750.0028-0.0028-0.0045-0.00460.0303-0.00660.00

27、07-0.0006-0.005660.0034-0.0034-0.00560.03530.0132-0.01850.0007-0.0007-0.006570.0039-0.0039-0.00470.02860.0081-0.0076P 0.0008 1-0.0008-0.007680.0041-0.0043-0.00550.0421-0.0084-0.00560.0008-0.0009-0.003290.0047-0.0050-0.00670.0551-0.0248-0.00440.0009-0.0009-0.0216100.00510.0342-0.00450.0750-0.0635-0.0

28、0650.0011-0.0011-0.0170110.0057-0.0057-0.00550.0697-0.0626-0.0028P 0.00111-0.0012-0.0078120.0060-0.0061-0.00450.0647-0.0615-0.00760.0013-0.0013-0.0160130.0062-0.0063-0.00430.1800-0.4625-0.01170.0013-0.0014-0.0052塔 顶0.0070-0.0071-0.00340.0817-0.0218-0.02880.0015-0.0013-0.0040表5数据分析：首先我们分析z轴上的数据变化，我们从

29、z轴数值变化可知，z轴数值一直都是在 减少，说明该古塔的各层中心高度一直在降低，但各层间的减少量不一样，说明不是地基下沉引起的变化，说明该古塔一定有倾斜变形。我们再分析下x轴上的数据变化，我们从x轴数值变化可知，该古塔的中心位置 坐标的x轴坐标几乎都在增加，有明显的趋势，说明古塔有往 x轴正方向倾斜。我们最后在分析下y轴上的数据变化，y轴坐标在2009至1996年间1到7层中心 位置坐标有增加而8到塔顶有减少，说明该时期该古塔在 y轴方向上可能有弯曲，但 看表5中其它两个期间的数据y轴数值都是在减少说明这两个时间，该古塔又有向 y 轴数值减少方向倾斜。从表5中我们看不到古塔有在某个方向上有，坐

30、标数值增加了，再减少，再增加， 或减少了，再增加，再减少，所以我们可以初步认定该古塔没有发生扭曲。注：表5数据的计算代码见附件7。结论：综上分析我们可以大致知道此古塔的倾斜趋势是往x轴正方向即x轴坐标增加方向倾斜，而在y轴方向上有弯曲的迹象，并且有向 y轴坐标减少的方向倾斜， 没有发生扭曲。表6：中心位置的变化情况1996-19862009-19862011-1986变 化 量10.0002-0.0003-0.00440.0620-0.0090-0.02290.0622-0.0091-0.024220.0009-0.0010-0.00560.04440.0009-0.0112P 0.0266

31、10.0006-0.029730.0016-0.0017-0.00440.02660.0111-0.02290.02690.0114-0.028440.0022-0.0022-0.00320.01320.0188-0.00860.01360.0483-0.026350.0028-0.0028-0.0045-0.00180.0275-0.0111-0.001110.0269-0.016760.0034-0.0034-0.00560.03870.0098-0.02410.03940.0091-0.030670.0039-0.0039-0.00470.03250.0042-0.01230.03330

32、.0034-0.019980.0041-0.0043-0.00550.0462-0.0127-0.01110.0470-0.0136-0.014390.0047-0.0050-0.00670.0598-0.0298-0.01110.0607-0.0307-0.0327100.00510.0342-0.00450.0801-0.0293-0.01100.0812-0.0304-0.0280110.0057-0.0057-0.00550.0754-0.0683-0.00830.0765-0.0695-0.0161120.0060-0.0061-0.00450.0707-0.0676-0.01210

33、.0720-0.0689-0.0281130.0062-0.0063-0.00430.1862-0.4688-0.01600.1875-0.4702-0.0212塔 顶0.0070-0.0071-0.00340.0887-0.0289-0.03220.0902-0.0302-0.0362表6数据分析：首先我们分析z轴上的数据变化，我们从z轴数值变化可知，z轴数值一直都是在减少，说明该古塔的各层中心高度一直在降低，但各层间的减少量不一样，说明不是地基下沉引起的变化，说明该古塔一定有倾斜变形。我们再分析下x轴上的数据变化，我们从x轴数值变化可知，该古塔的中心位置 坐标的x轴坐标几乎都在增加，有明显

34、的趋势，说明古塔有往 x轴正方向倾斜。我们最后在分析下y轴上的数据变化，y轴坐标在这4次测量间1到7层中心位置坐标有增加而8到塔顶有减少，说明该时期该古塔在 y轴方向上可能有弯曲。从表6中我们没有发现古塔有在某个方向上有，坐标数值有增加趋势了，再减少， 再增加，或有减少趋势了，再增加，再减少，所以我们可以初步认定该古塔没有发生 扭曲。注：表6数据的计算代码见附件7。结论：综上分析我们可以大致知道此古塔的倾斜趋势是往 x轴正方向即x轴坐标 增加方向倾斜，而在y轴方向上有弯曲的迹象，并且有向 y轴坐标减少的方向倾斜， 没有发生扭曲。综上6次数据分析可得结论：该古塔发生了倾斜和弯曲，古塔的倾斜趋势是

35、往 x 轴正方向即x轴坐标增加方向和y轴坐标的负方向即坐标减少方向倾斜，而在 y轴方 向上有弯曲，目前该古塔还没有发生扭曲变形。5.3 分析该塔的变形趋势通过4次测量点的数据，我们建立了一个拟合线趋势分析模型，来预测该古塔的 变形趋势，因为从上面的分析我们可知，该古塔没有地基下沉现象，所以我们可知道 塔的高度坐标是一个因变量，所以不在考虑： 模型正确定性与可用性检验：图5第1层到第6层的中心位置移动趋势拟合图图6第7层到塔顶的中心位置移动趋势拟合图分析图5和图6:第1、2、3、6、8、9、10、11、12、13和塔顶的拟合线模型都是与中心位置点非常吻合，说明这些层的模型是基本符合要求的， 具有

36、可靠性的，说明此模型是可用的。注：图5和图6的生成代码见附件8。根据此模型（模型方程11）,我们通过分析计算得到表7中每一层的参数数据: 表7:各层中心位置变形趋势模型参数参数 层abcd10.0044-0.0428-0.00060.005820.0023-0.02050.0001-0.0022310.0018-0.01590.0009-0.0107140.0008-0.00560.0027-0.03135-0.00030.00560.0021-0.023560.0025-0.02140.0009-0.0122|70.0020-0.01630.0005-0.009180.0030-0.0255

37、-0.00060.002090.0039-0.0340-0.00180.0126100.0053-0.0475-0.00450.0788110.0050-0.0432-0.00450.0383120.0383-0.0395-0.00440.0372130.0127-0.1193-0.03260.3151塔顶0.0058-0.0504-0.00160.0087表7数据分析：我们把表7中的数据带入对应的参数，就可以得到每一层的中心 位置的x和y的坐标随时间的变化情况的模型。分析参数a, a几乎都是正数，所以随着时间的增加，中心位置的 x坐标将越来越 大，这符合了我们问题2中分析的古塔变形情况，古塔

38、会向x轴数值增大的方向倾斜。分析参数c, c在1到7层为正数，而在8到塔顶，为负数，也验证问题 2中分析 的古塔变形情况，古塔会向y轴数值减少方向倾斜，和古塔会发生弯曲，弯曲点在 7 和8层之间。我们也可以根据此模型方程结合模型方程（2）可以计算出z轴的坐标值。注：表7数据的计算代码见附件8。结论：该模型是可用的，具有可靠性，和扩展性。通过该模型（模型方程11）我们可以预测以后的时间，该古塔的中心位置坐标是怎么变化的，会变化多少，我们都 可以通过此模型计算得到。通过此模型分析该古塔我们得到该古塔会向 x轴数值增大的方向逐渐倾斜，同时 会向y轴数值减少方向逐渐倾斜，和古塔会逐渐发生弯曲，弯曲点在

39、7和8层之间。6模型分析与评价6.1 从模型的假设来分析在模型的假设中，我们所作的假设都非常符合于现实情况和实事的需求，如每层 的测量点都是围绕在这层的中心点，如果不围绕，那说明测量点只是取的某个局部区域的测量点，不具有代表性。6.2 从模型的真实性来分析模型是在现有的数据条件下，总结出的合理的规律建立起来的模型，而根据模型 求解出来的又如实的反映现实中的情况。如在运用空间直线拟合分析中心位置模型的 可靠性与古塔倾斜情况。6.3 从模型的求解方法来分析根据实际问题，分别对问题进行分类取量分析、数据拟合分析、线性规划分析等 多种方法来进行建模求解，使模型更接近于真实性，准确性，和可靠性。综上分析

40、：该模型的具有合理性，真实性等优点，但它只是针对于该古塔的具体 实例，缺乏模型的扩展性，对其中一些细节问题考虑得过于粗糙，也有其不足之处。 如地域性，有的地方多大风，有的地方多地震。7模型推广问题1中所建立的模型可以用来求古塔的中心位置，只要有合理的，符合我们假 设的测量点，我们就可以计算出古塔的中心位置。问题2中有用到中心位置点拟合的模型，可以用来分析古塔的变形情况，在得到 中心位置数据后，我们就可以通过分析中心位置点的拟合线情况判断古塔发生什么变 形。问题3我们可以古塔的预测模型可以预测将来的某年的各层中心位置变化情况。近而我们可以在根据问题2中的分析模型得知，古塔会发生什么样的变形，是倾

41、斜， 还是扭曲还是弯曲，如果有弯曲，或扭曲，弯曲点在哪，扭曲点又在哪。8对古塔的维护建议由于古塔建造的年代不同，地质情况千差万别，建造后所经历的人为破坏和自然 力破坏也不尽相同，因此，对古塔倾斜后处理与加固技术多种多样，归纳起来不外乎 两类，即复位纠偏和加固补强。另外应该根据当地的地理环境，气候环境制定合理的保护与维护措施，如古塔处 是什么地质，常年刮什么风。对以经发生了变形的古塔，一定要及时修护，同时分析 变形的原因，针对变形原因，制定预防方案。9参考文献1梁海奎，古塔变形测量方法探讨，城市勘测，2011年03期：113-114页，2011。2陈淑贞，空间直线方程的解题探讨，海南师范大学学报

42、 （自然科学版），2011年03 期：348-351 页，2011。3陈兆斗 高瑞，高等数学（工本），北京海淀区成府路205号：北京大学出版社，2006。4尚继红 程晓伟，古塔加固工程实例，甘肃科技，2008年 第7期：133-135页，2008。5胡志晓，古塔倾斜观测和数据分析，江苏建筑，2011年 第6期：34-35页，2011。6陈东佐 康玉庆，中国古塔的维修与保护，太原大学学报，2006年 第4期：75-78页，2006。7桂占吉 陈修焕 杨亚辉，基于MATLAB高等数学实验，武汉：华中科技大学出版 社，2010年。10附录附件11986年观测数据层占J 、坐标x/my/mz/m115

43、65.454528.0121.7922562.058525.5441.8183561.39521.4471.7834563.782518.1081.7695567.941517.4071.7726571.255519.8571.777571.938523.9531.7948569.5527.3561.80121565.48527.7647.3262562.238525.3647.3513561.663521.427.3144564.001518.2267.3015567.995517.5637.3066571.165519.9617.3047571.801523.9087.3248569.41

44、4527.1417.33631565.506527.5212.7612562.415525.18812.7863561.931521.39412.7494564.216518.34312.7365568.048517.71612.7416571.076520.06312.747571.666523.86412.7588569.33526.9312.77141565.526527.32717.0842562.555525.04717.1093562.144521.37317.0724564.387518.43517.0595568.091517.83817.0646571.005520.1441

45、7.0637571.558523.82917.0818569.263526.76217.09451565.548527.11921.7262562.706524.89621.7513562.373521.35121.7144564.571518.53421.7015568.136517.96921.7056570.929520.23221.7087571.443523.79121.7238569.191526.58121.73661565.57526.91526.2672562.854524.74826.3093562.6521.32926.3084564.752518.63226.26455

46、68.18518.09526.1896570.857520.31526.1367571.333523.75526.1648569.121526.40626.24471565.671526.65229.8692563.132524.58529.9113562.883521.35629.914564.949518.84629.8665568.172518.34629.7916570.679520.44129.7377571.094523.67229.7658568.994526.16729.84681565.77526.39733.3832563.403524.42733.4253563.1585

47、21.38233.4244565.141519.05533.385568.164518.5933.3056570.506520.56433.2517570.862523.59133.2798568.87525.93333.3691565.868526.14136.8872563.674524.26836.9293563.433521.40836.9284565.333519.26336.8845568.156518.83436.8096570.333520.68636.7557570.63523.5136.7838568.747525.70136.864101565.961525.940.20

48、12563.927524.1240.2143563.693521.43340.2444565.516519.46240.2235568.148519.06840.1716570.171520.80140.0387570.408523.43340.1298568.631525.48240.157111566.078525.62844.4722564.193523.9544.4853563.958521.46344.5054565.649519.60744.4865568.094519.24244.4426570.013520.88544.3097570.236523.3544.48568.615

49、525.25944.428121566.195525.35548.7432564.459523.7848.7563564.224521.49248.7764565.782519.75348.7575568.039519.41548.7136569.854520.96948.587570.063523.26848.6718568.598525.03748.699131566.308525.09252.8662564.716523.61652.8783564.481521.52152.8974565.91519.89352.8856569.701521.0552.7037569.897523.18852.7948568.582524.82252.822塔尖1567.255522.23855.1282567.23