山东省青岛市2021届高三上学期期末教学质量检测考试数学试题

1、山东省青岛市2021届高三上学期期末教学质量检测考试数学试题2021.013/11本试卷22小题，满分150分。考试用时120分钟。一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 ,若全集 U=R,集合 4 = 1£*/+'一620,集合3 = ,"/?1/8(1-1)<0,则(14)门3=()A.(-L2)B.(l,2)C(-3,2)2 1+sinJ。=() 2-2sin210A.2B.-l43/Vx>0“ <x +的充要条件是0x + 2A.a>2B.a22C.a<2D.a

2、W24 .莱茵德纸草书(RhindPapyrus)是世界上最古老的数学著作之一。书中有这样一道题目:把93个面包分给 5个人,使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最小的一份为()A.3B.4C.8D.95 .已知双曲线：一晨-二 = 1(0<<-)的焦点到渐近线的距离等于L则0=()cos- 8 sin- 0226 .已知函数f(x)的部分图象如下所示，则f(x)可能为0C. f (x)=B./3) =xcos.r + sinx2X + Txcosx + xsinx2V-2-XD. f(x)=cosx + xsinx2、+ 2r7,设a,p是

3、两个不同的平面是一条直线，以下结论正确的是()A.若 l_La,w沮则 l±pB.若则 0®C.若 l_La、a_L。,则 lu0D.若则 1_L。8 .某种芯片的良品率X服从正态分布N(0.95,0.012),公司对科技改造团队的奖励方案如下:若芯片的良品率不 超过95%,不予奖励;若芯片的良品率超过95%但不超过96%,每张芯片奖励100元;若芯片的良品率超过96%, 每张芯片奖励200元。则每张芯片获得奖励的数学期望为。元A.52.28B.65.87C.50.13D.131.74附:随机变量J服从正态分布N(4。,)，尸(一v + cr) = 0.6826 ,尸( 2

4、cr < § < + 2b) = 0.9544. P( - 3cr < f < + 3。) = 0.9974.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部 选对的得5分，部分选对的得了分，有选错的得0分。9 .已知向量万万=1,1/1= 1,降一加=有,设。石所成的角为。，则0A b=2B. aL(b-a) C. ciUbD.0=6O°10 .定义在R上的函数f(xX茜足:x为整数时,f(x)=2O21;x不为整数时,f(x)=0.则0A.f(x)是奇函数B.f(x)是偶函数C.VxGR.f(

5、f(x)=2021D.f(x)的最小正周期为 11 L已知函数f(x尸sm(3x+(p)(其中。>0.Q<q)v2图象的两条相邻的对称轴之间的距离巳J(£) = 1,下列结论正26确的是()A./(x) = sin(2x + )6B.将函数y=f(x)的图象向右平移土个单位后得到函数y=sin2x的图象6C当x e (0 .马时,f(x)有且只有一个零点2D.f(x)在0，上单调递增612.在三棱柱A8C-4用G中,AABC是边长为2/的等边三角形，侧棱长为46,则。A.直线4c与直线BBi之间距离的最大值为3B.若儿在底而ABC上的投影恰为ZABC的中心，则直线4A与底

6、面所成角为60。C.若三棱柱的侧棱垂直于底面，则异而直线AB与AC所成的角为30°D.若三棱柱的侧棱垂直于底而，则其外接球表面积为647r三、填空题:本题共4个小题，每小题5分，共20分。13 .已知i是虚数单位，复数z =一 + i,则lzl=./-I14 .若二项式( + 2x)"5wN.)的展开式中所有项的系数和为243,则该二项式展开式中含有产的系数为一.15 .设函数/(x) = *(x + )的图象在点(0,1)处的切线为y=ax+b,若方程1/ -6=/有两个不等实根,则实数m 的取值范围是16 .如图所示，在平面直角坐标系中,。(0.3,0),圆Q过坐标原点

7、0,圆L与圆Q外切。则(1)圆L的半 5径等于一；(2)已知过点L和抛物线-=2py(p>0)焦点的直线与抛物线交于AB且3.。月=-3,则四、解答题:本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17 .(10 分)4S” =母+勿，6=2,=2S”这两个条件中任选一个，补充到下而横线处，并解答。 已知正项数列册的前n项和为S心.求数列”“的通项公式；(2)若数列'满足logl hn =4a” 一 1,且金=。屹，求数列&的前n项和32注:如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分。18 .(12 分)在如图所示的平而图形中.AB=2.5C =

8、 VNA8C = NAEC = 2,AE与BC交于点F,若NC4E =。0e(O.-).63用。表示AE.AF求生取最大值时。的值. AF19 .（12 分）如图，在直角梯形ABED中,BEAD.DE，AD.BCJ_AD.AB=4.3E = 2" 矩形BEDC沿BC翻折，使得平而 ABC_L 平面 BCDE.若BC=BE,证明:平面ABDL平面ACE;（2）当三棱锥A-BCE的体积最大时，求平面ADE与平而ABC所成的锐二而角的余弦值.20 .（12 分）魔方（Rubiks Cube）,又叫鲁比克方块,最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺鲁比克（RubikEni6）教授于 1974年

9、发明的.魔方与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议,而魔方 受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹.通常意义下的魔方，即指三阶魔方，为3x3x3的正方体结构，由26个 色块组成.常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原.截至2020年，三阶魔方还原官方世界纪 录是由中国的杜宇生在2018年11月24日于芜湖赛打 破的纪录，单次3.475秒.（1）某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度y（秒）与训练天数x（天）有关,经统计 得到如下数据：X （天）1234LO67y （秒）99994532302421现用y = “ + 2作为回归方程类型，

10、请利用表中数据，求出该回归方程,并预测该魔方爱好者 x经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度y约为多少秒（精确到1）?参考数据（其中X7f=l7J=1184.50.370.55参考公式:对于一组数据（i, VjX（w2,均,匕j）,其回归直线。=£ + pu的斜率和截距的最小二乘 n估计公式分别为:P =丹& -加%; _混（2）现有一个复原好的三阶魔方，白而朝上，只可以扭动最外侧的六个表面.某人按规定将魔方随机扭动两次，每 次均顺时针转动90。,记顶面白色色块的个数为X,求X的分布列及数学期望E（X）.21 .(12 分)已知函数/(x) = 2-or(lnx-1)-1的

11、图象在x=l处的切线斜率等于1.其中e=2.718为自然对数的底 数,a,b£R.若a=0,当x>e时，证明： /3) v;若a>e,证明:f(x)有两个极值点X/2(N <巧),在(为,当)上恰有一个零点跳,且占超 > 玉;.22 .(12 分)已知0为坐标原点，椭圆C：二+二=13>匕>0)的离心率e =点P在椭圆C上,椭圆C的左右焦点分别cr2为片,巴，P6的中点为Q，">6。周长等于6+半.(1)求椭圆c的标准方程；2W为双曲线。:产-二=1上的一个点，由W向抛物线上:=4v做切线/14,切点分别为A.B4(i)证明:直线A

12、B与图3? + ,2 =相切:(ii)若直线AB与椭圆C相交于M.N两点，求AOMN外接圆而枳的最大值.5 / 11高三数学答案第2页共6页高三数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1-8: B C I) A CDAB二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。9. ABD;10. BCD;11.ACD;12. AD;三、填空题：本超共4个小题，每小题5分，共20分。13.孝； 14. 80；15. (0,1)；16. (1) V5； (2) 2；四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17. (10 分)解：(1)选时，当

13、 =1时，4a, = at2 + 2a,因为q>0,所以q=2, 1分由 4S” = %? + 2ali,可得4s.3=%+： +2%, -得，4(+=勺“2 一履+2%-2可，2分整理得句/_1一%用_勿0 = 0， 所以(。向+()07-2-2) = 0, 3分因为%>0,所以4+1-q=2, 4分所以数列,是首项为2,公差为2的等差数列， 所以%=2 ; 5分选时，因为叫+i = 2S；所以当"22时，(一l)/=2SiI分一得：%“=( +1”, BP = 2分% a.由 n /-I m-2 3 2 1c-zr,=-x -x 1 = 2na. a. h -1 /:

14、 -2 /? -3 2 1中，令 =1,得d = 2%=4, % = 2适合上式所以当22时，a=巴一:小 flrr-l 4-2 4-3又=,=2 = 2x1所以对任意aK = In（2）因为log也=-1 即log“=-l J 2 J所以 a=4）i,于是 c”=4也= 2x（；）"T, 此= 2xl + 4x； + 6x（；）2+.+ 2/ix（g ；A/.=2x； + 4x（；）2 + 6x（；）3+2/1x（） ©得 |,M“=2 + 2x：+2x4)2 + 2x(33 + . + 2x(3n 2“x(3”=2x l + -+.+(-)n-1 -2/;x(-)n2x

15、(?”一 i-4r =2x9310分所以此=5-(5+”(§尸18. (12 分)解：(1)由题知在ZU8C中，由余弦定理知： AC2 = AB2 + BC2 - 2AB - BC - cos B 1 分所以力。=1,且4c3 = 13分在&4CK中，因为2 =工，/CAE = 0 ,所以4C£ =红一。4分66APACStt由正弦定理知：二 i丹,所以4E = 2sin(2f-e)5分sin Z/1CE sin£6A(y 1 在 RtAJC中，AF = -=6 分cos。 cos。A FS rrJT(2)由(1)知： = 2cos-sin( 0) , e

16、(0,)7 分Ar63j r*所以=2cos6 sin(-) =cos2 <9+ >/Jsin6coseAF6=sin20 =sin(2分方I。分226因为0w(o，w),所以 366 6当2。+工=工时，即2 =工时,sin(26 +马取最大值1 6 2664En所以，下取最大值时，0 = -12分Ar619.(12分)(I)证明：连接8。，因BC = BE所以8QjLC£1分因为平面48C1,平面8cOE,平面/BCn平面4C。石=4C, AC A. BC所以力。，平面8。后3分因为8Ou平面8c。£,所以/IC18。4分因为1CnCE = C，所以8。1平

17、面彳CE5分因为BDu平面43D,所以平面44。，平面力CE6分(2)解：在力8C 中，设/C = x, C = V16-x2(0<.r<4),所以,S.c=-AC BC-x 6-x2 =-Vx2(16-x2)<4 -J ft当且仅当/ = 16-,即x = 2jl时，三角形力3。面积有最大值为47分因为平面44CJ,平面4COE ,平面力8CD平面8CQE = 8C, BE 1 BCBE u平面8CDE ,所以8E_L平面45。所以“'a-bce e-abc = gS4MQc - BE < 3O 所以，当X 2&时，三棱锥力-8CE体积的最大值为工3因

18、为BE/CD ,所以CD 1平面ABC.以C为坐标原点，以C4, CB ,所在直线分别为1轴，尸轴，二轴建立空间直角坐标系.则 C(0,0,0), N(2&,0,0),0(0,0,2® &0,2后,2扬，所以万=(一2后,0,26)，D£ = (0,272,0),平面ABC的法向量* = (0,0,2G),DB设平面ADE的法向量2 = (%J，二)，10分-2瓜+ 2任=02。= 0'取X = 6,则y = 0,二=后，即0=(若,0,立)，由、/_y _ 2遍 _ VTo所以 COS <>= | | = -7=，同同2行6 5故平面A

19、DE与平面力3c所成的锐二面角的余弦值为芈11分12分20. (12 分)解：(1)由题知：3 = 5()Zza-7zy6 = 184.5-7x0.37x500.55=100 0.55高;数学答案第4页共6男所以。= y-b= 5()- 10()x0.37=13,IQQ 因此y关于x的回归方程为：y = 13 +一X所以最终每天魔方还原的平均速度)约为13秒(2)由题知:X的取值为3,4,6,9P(X = 3) =尸(X = 4) =P(X = 6) =A=16x6 92x4： _ 2 6x6 -5 4(i+H)+H4 20 5P(X = 9) =6x6小用二16x6 - 336 910分11

20、分所以X的分布列为X34691251P9999所以E(X) = 3x" + 4x j + 6x,+9x：=12 分 21.(12分)解：(1)由题知：/'(x) = bx-Qlnx1 分所以/'(1)=力=1,所以6 = 12分22x 2若。=(),则/(%) 二三二，由/(幻<幺声得炉>/,即证炉一2>0设 g(x) = e*-,因为 g'(x) = /-2x(x>e)3 分® w(x) = gx) = ex - 2x ,则 M(x)=e，_2>04 分因此w(x)在(e, +oo)上单调递增，所以m(x) >

21、m(e) > 0因此gU)在(% +8)上单调递增，所以g(x) >g(e)>0 2 o所以e*>/, l!|J f(x) <6 分(2) n(x)=fr(x) = x-anx , Ri| nx) = 1 - - = (x > 0)7 分X X所以，当 X£(0,)时，'(工)<0 ；当X£(%+O0)时，n(x) > 0所以fx)在(0, a)上单调递减，在(。,+8)上单调递增； 所以 f(x) > fa) =。一。In。由于所以"alna = a(l-lnQ)<08 分又因为 /'(

22、I) = 1 >0J'(c) = "。< OJ'C) = e"一。2 >0所以r(x)有且仅有.两个零点，设为芯/式占<e<a<x2)9分所以当x w (0,x,)时,/'(x) > 0 ； f(x)在(0,再)上单调递增； 当X (再,电)时,/'(X)<0; f(x)在(X,电)上单调递减；当X W (,+8)时/(x)> 0 ； /(X)在(,+8)上单调递增； 又因为/(e) = 010分所以/(x)行且仅方两个极值点引,工区 <七)且在(内,七)上恰有一个零点 因为 $ =

23、lnxpj2 =alnx2,=> Xj -x2 = a(lnx,+x2 = a(lnxx + Inx2);所以屿上3 =心=1。再+lnx,=(一)(lnxlnx,) = (X)ln 工Inx, -lnx2 x1 -x2. x -x2x x2x211分令 / = % w (O,l)(z) = lnz- 2(x2t + I 4"1)2则.二一所=科>°.所以在(°J)上单调递增，所以咐岫=。12分因此Inxi+lnx2=(上与ln1>2 ,即 Inx/2 >2,xx2 >e2 =t 122. （12 分）解：（1）设|2c,因为。为。片

24、的中点所以 冏长为O| + Q0l + I2”|=c +a+C = yfi+-所以）£=V22a 2x2 2V2 所以，桶闽C的标准方程为7十二一二1J J 2（2） （i ）由/=4）得y = J,求导得y' = ：, 422XX设4届,乂）,8（工2，%），则4 ：歹一员=T（x-xJ ,即4 :尸子x-十； 224同理：%：y = + 设阳所,凡），因为卬为中2的交点，所以飞 = *广,汽=竽由题直线48的斜率存在，设其方程为y = h + /，将 y = " + 加代入 x2 = 4y 得：x2 - 4kx -4m =0 由韦达定理得,演+%2 = 4/c9xtx2 = -4w , 所以端=2k,yo=-m,因为心所以X+二7分所以回心。到直线AB的距离d = 1 =/Jl + 公所以,克线与网。：/+/