高考数学知识点复习指导(文)(共120个知识点)

1、第一部分 第二部分 第三部分 第四部分 第五部分 第六部分 第七部分 第八部分 第九部分 第十部分 第十一部分 第十二部分 第十三部分 第十四部分【文】集合与简易逻辑2不等式的解法2函 数 3导 数 6三角函数 6数列 9平面向量 11不等式性质12直线和圆 13圆锥曲线 14立体几何 17复数 18概率与统计19极坐标与参数方程2012第一部分集合与简易逻辑1 .数集的符号表示：自然数集 N ;正整数集N* ;整数集Z;有理数集 Q实数集R2 .是任何集合的子集，条件为 A B时不要遗忘了 A 的情况3 .对于含有n个元素的有限集合子集数目：其子集、真子集、非空子集、非空真子集的 个数依次为

2、 2n , 2n -1, 2n -1, 2n -24 .理解集合的意义一抓住集合的代表元素。如：x|y=f(x)表示y=f(x)的定义域，y|y=f(x)表示 y=f(x)的值域，(x,y)|y=f(x) 表示 y=f(x)的图像5 . A 是 B 的子集 A BAU B=B AA B=A6 .四种命题及其相互关系：若原命题是“若p则q”，则逆命题为“若q则p"；否命题为“若 p则q” ；逆否命题为“若q则p”。互为逆否关系的命题是等价命题.对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“ ABB A”判断其真假 7.要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条

3、件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；命题“p或q ”的否定是“p且q” ； “ p且q ”的否tete p 或 q8、逻辑联结词：命题 p q真假判断：两真才真，一假则假；命题 p q真假判断：两 假才假，一真则真；命题 p真假与P相反9、全称量词一一“所有的”、“任意一个”等，用“”表示；全称命题 p： x M,P(x); 全称命题 p的否定 p: x M, P(x)。 存在量词一一“存在一个”、“至少有一个”等，用“”表示；特称命题p： x M, P(x); 特称命题p的否定 p： x M, P(x);10 .充要条件：由A可推出B , A是B成立的充分条件；B是A成立的必要条

4、件。从集合角度解释，若 A B ,则A是B的充分条件；B是A的必要条件；小充分大必要 第二部分不等式的解法11 .一元二次方程的基础知识：求根公式：根的判别式：=b2-4ac根与系数关系：bc2xi+X2=- x1x2=-根的分布：方程ax+bx+c=0有两正根的条件是：0x1冷0*g0;aa有两负根的条件是：0,Xi X2 0,xgx2 0;有一正一负两根的条件是：>0, x1x2<0;在(k,)上有两根的条件是：0,x对k,f(k) 0、在(，k)上有两根的条件是：0,x对k,f(k) 0、在(，k)和(k,)上各有一根的条件是 f (k) <012 . 一元二次不等式的

5、解法：先将二次项系数化为正数，解出对应方程的两根，根据不 等号方向写出解集(大于取两边，小于取中间)注意：二次项系数为字母或两根表达式 含字母时要类讨论开口方向及根的大小。13 .二次方程、二次不等式、二次函数间的联系：二次方程ax2+bx+c=0的两个根即为二次不等式ax2+bx+c>0的解集的端点值，也是二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴交点的横坐标 14.分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分变成标准型喷>0，再转化为整式不等式 f(x)g(x)>0求解，注意最高次项的系数要为正g(x)15 .绝对值不等式的解法：单绝对值不等式用公式法

6、：|x| a x a或x a.|x| a a x a;双绝对值不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解16 .指数不等式、对数不等式的解法：先将不等式两边转化为同底的指对数式，再利用单调性转化为整式不等式求解。注意对底数的讨论，对数不等式还要注意真数要大于0第三部分 函数17 .函数定义：函数是定义在两个非空数集A, B上的一种特殊对应关系，对于 A中每一个数x,在B中都有唯一的数与之对应。函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点18 .相同函数的判断方法：表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关)；定义域一致(两点必须同时具备)19 .定义域求法：使函数解析式有意义(如：分母 0；偶次根式被开

7、方数非负；对数的真数0,底数 0且1 ;零指数塞的底数 0);实际问题有意义；若 f (x)定义域为a,b, 复合函数fg(x)定义域由a g(x) b解出；若fg(x)定义域为a,b,则f(x)定义域 相当于x a,b时g(x)的值域.20 .求函数值域(最值)的方法：(1)二次函数区间最值：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对关系)，(2)换元法一一通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如y 2sin 2 x 3sin x 1, y 2x 1 xx1 (运用换元法时，要特别要注意新元t的范围)(3)单调性法一一利用一次函数，

8、反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，(4)导数法：一般适用于高次多项式函数或其他复杂函数，求导解导数为0的根计算极值和区间端点函数值比较大小，得出最值21 .求函数解析式的常用方法：(1)代换法：已知形如f(g(x)的表达式，求f(x)的表达式。可设 g(x)=t,用t表示x,再代回原式即可(2)转化法：若根据函数奇偶性求解析式，则设xC所求区间，利用f(x) = f(x)或f(x)=f( x)求解析式(3)方程的思想一一已知条件是含有f (x)及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于f(x)及另外一个函数的方程组。 通过解方程组得到f(x) 解析式。如已

9、知f(x) 2f( x) 3x 2,求f(x)的解析式22 .函数的单调性。(1)定义：设函数y=f(x)的定义域为I ,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两 个自变量Xi , x2,当Xi<X2时，都有f (x1)<f (x2) (f (x1)>f (x2),那么就说f (x)在区间D 上是增函数(减函数)；(2)常见函数的单调性：y=kx+b(看k正负)f(x)= ax2+bx+c (一看开口方向；二看对称轴) 指对数函数(看底数 a>1增；0<a<1减)哥函数y = x。在第一象限内。如果 a> 0,则募函 数的图象过原点，并且在 0, +

10、8止为增函数.如果必0,则备函数的图象在(0,十8)上为减函数，图象无限接近 x轴与y轴.其他象限看奇偶性(3)复合函数单调性法则：特点是同增异减，(4)特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域；二是在多个单调区间之间一定不能添加符号"”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用不等号表示.(5)注意函数单调性的逆用：若f (Xi)< f (X2),则有x1<x2 (增函数)或x1>x2 (减函数)23 .函数的奇偶性。(1)具有奇偶性的函数定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判 定函数定义域是否关于原点对称。若f(x)是奇函数，那么f(x)=-f

11、(-x);若f(x)是偶函数，那么f (x) f ( x) f (| x |);定义域含零的奇函数必过原点(f(0)=0);(3)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.(4)若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个(如y=0定义域关于原点对称即可).奇函数在对称的区间有相同的单调性；偶函数在对称的区间有相反的单调性；24 .函数的对称性： y=f(x)与 y=f(-x) 若 f(a+x)=f(a-x)的图像关于y轴对称；y=f(x)与y=-f(x)的图像关于x轴对称;或f(x)=f(2a-x) 恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称；若 f(a+

12、x)=f(b-x)25 .函数的周期性:恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a+b对称；若f(T+x尸f(x),则f(x)是周期函数，T是它的一个周期。若若若若y=f(x) y=f(x) y=f(x) y=f(x)满足f(x+a尸f(x-a)恒成立，则f(x)的周期为2|a| ;是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则y=f(x)的周期为2|a| ;奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则y=f(x)的周期为4|a| ;关于点(a,0),(b,0)对称，则y=f(x)的周期为2|a-b| ;y=f(x)的图象关于直线 x=a, x=b对称，则函数y=f(x)的周期为2|a-b| ； f(x+a

13、)=-f(x)或 f(x+a)=-26 .指数式、对数式运算：1 一 一 一，-,贝U y=f(x)的周期为2|a|f(x)loga1 = 0, log aa= 1;logex=lnx ,b=logaNab=N, alogaN= N,log cb log ab =;log calOgaMn= nlOgaM ; log a(MN) = lOgaM + lOgaN；lOgaM-= lOgaM -lOgaN.；27.指数、对数值的大小比较：(1)化同底后利用函数的单调性；(2)利用中间量(0或1); (3)化同指数(或同真数)后利用图象比较。28.指数函数 y=ax与对数函数 y=log ax (a

14、>0 , a w 1)名称指数函数 y=ax (a>0且aw1)对数函数 y=log ax (a>0 , a w 1)定义域(-8,+ OO)(0,+ °°)值域(0,+ °°)(-8,+ OO)过定点(。，1)(1,。)指数函数y=a与对数函数y=log ax (a>0 , a w 1)图象关于 y=x对称图象0y产能* GX)单调性a>0V1 ,在(-°°,+ OO)为增函数a< 1,在(-8,+ OO)为减函数a>1,在(0,+ 00)为增函数0 < a<1,在(0,+ 8)

15、为减函数底数与图像位置关系：在第一象限指数函数是“底大图高对数函数是“底大图低29募函数哥函数的定义：一般地，函数y = x。叫做哥函数，其中 x为自变量，”是常数.丫;乂。在第一象限的图象，可分为如图中的三类：(在其他象限的图像要根据函数的定平移变换:翻折变换:k=f(x)有解f (x)恒成立 ak D (D为f(x)的值域)； f (x)最小值.所有的哥函数在(0, + 8都有定义，并且图象都过点 (1,1)(2)当a>0时，哥函数的图象都通过原点，并且在 0, +8止是增函数(从左往右看，函 数图象逐渐上升).特别地，当a> 1时，xC (0,1), y=x"的图象

16、都在y = x图象的下方，形状向下凹，a越大, 下凹的程度越大.当0V “V 1时，xC (0,1), y=x"的图象都在y=x的图象上方，形状向上凸，a越小，上凸的程度越大.当“V 0时，哥函数的图象在区间(0, +8止是减函数.30 .函数的零点.零点概念：对于函数y=f(x),把使f(x) =0 成立的实数x叫做函数y=f(x)的零点。(2)函数零点的意义：函数 y=f(x)的零点就是方程f(x)=0实数根，亦即函数 y=f(x)的 图象与x轴交点的横坐标。(3)判断函数F(x)的零点个数，一般将F(x)=0拆成f(x) = g(x),通过看两个函数y=f(x) 和y=g(x)

17、的图像交点个数判定(4)二分法：对于在区间a,b上连续不断，且满足 f(a) f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地 把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间函数值异号的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法31 .常见的图象变换"左加右减”(注意是针对x而言)；"上加下减"(注意是针对f(x)而言).、，.一如< 黄由左边图象.、，V f(x)保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象V f(|x|)、，小、保留对上方图象y f (x)将若由下方图象翻折上去y 1f(x)|a f (x)能成立 a f (x)最小值，af (

18、x)能成立 af (x)最大值32.恒成立，能成立问题处理思想：方程 a f(x)恒成立 a f(x)最大值, a第四部分导数33.导数的运算(1)常见函数的导数公式0( C 为常数)；(xn) nxn1(n Q) . (sin x)cosx ；(cosx)sin x ；(ax)1 i 1一x2,XX(2)导数的四则运算法则:34、导数的几何意义：函数ax In a ； (ex)1(u v) ux .,1 .e ； (log a x)-logae. (lnx)x12打u、v ； (uv) u v uv ； (_)vf (x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线1xu v uv2.vy f (x

19、)在点P x0, f x0处的切线的斜率，即曲线y f (x)在点p %, f % 处的切线的斜率是fx0,相应地切线的方程是yy0fx0xx00特别提醒：解这类题首先要弄清楚已知点是否为切点，如果不是切点，应先设切点为x0,y0然后写出切线方程：y y° f % x %再把已知点代入求出切点。如果已知点是切点，则直线求此点的导数得出直线的斜率。35、导数与函数的单调性：(先求函数的定义域)求函数单调区间方法：解不等式f (x) 0,则f(x)为增函数；若f (x) 0,则f(x)为减函数；根据函数单调区间求参数问题：若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增，则f (x) 0恒成

20、立；若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减，则 f (x) 0恒成立36、函数的极值：求函数y=f(x)在某个区间上的极值的步骤：(i)求导数f (x)； (ii )求方程f (x) 0的 根x0; (iii )检查f (x)在方程f (x) 0的根x0的左右的符号：“左正右负”f(x)在 小处取极大值；“左负右正” f(x)在x0处取极小值。特别提醒：x0是极值点的充要 条件是x0点两侧导数异号，而不仅是f % =0, f % = 0是为极值点的必要而不充分37、求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数y=f(x)在(a,b)内比较，其中最大的一个a的终边上的任

21、意一点的极值(极大值或极小值)；(2)将y=f(x)的各极值与f(a) ,f(b) 为最大值，最小的一个为最小值。第五部分三角函数38、任意角的三角函数的定义：设”是任意一个角，P (x,y)是(异于原点)，它与原点的距离是r,那么 sin ,cos rx,y一，tan,x 0rx39、三角函数值的符号：“一全正二正弦，三正切四余弦”40 .弧长公式：l | |R,扇形面积：S 2lR41 .同角三角函数的基本关系式：sin2c0s2(1)“正余弦和差积式 sinx cosx、sinxcosx ”2| |R2, 180o 兀弧度1,tan的关系sincos如(sinx cosx) =1 2si

22、nxcosx.(2)已知正切值，关于正、余弦齐次式处理方法:k42.三角函数诱导公式 (2兀+ a)符号看象限(看原函数，同时把cos( ) cos , tan( )sin 3 cos ； sin2 sin cos 2 sin cos的本质是：奇变偶不变(对k而言，指k取奇数或偶数)“看成是锐角).牢记几个诱导公式：sin( ) sin ,tan , sin( ) cos , sin( ) cos ,2243、正余弦函数性质y=sinx与y=cosx的性质一_ 的熟 fTJK4inx浊£工)定文城RnW R值域-1*11-11及楣应的X 的集修工+导时时 丁心.=-1x >k

23、Ji Hl F=1x=- .时 丁皿=1周期ft周明为1=工"冏明期1=工布偶性奇国单网懂在工仁2kn -32k Ji f 上加是帽函就显在工三1上kJi- 2 j*现一宁 上掷是M画软.本工n 2U "上都是厚1曲数.在 1,三2k + it 上都是减函数对佛中心传开期对斑糟WX = k * + r-K ="44、正弦函数y sin x(x R)、余弦函数y cosx(x R)的图像:余弦函数图像正弦函数图像rpf x = cos3.456 x45、y Asin( x )的函数性质：1(1)几个物理量：A一振幅；f二不一频率(周期的倒数)(2)研究函数y=Asi

24、n(x+()性质的方法：类比于研究；w x+()相位；()一初相；y=sin x的性质，只需将y=Asin( wx+()中的x+() 看成y=sin x 中的x ,整体代换到正弦函数相应性质中，但在求 y=Asin( co x+力)的单调区间时，要特别注意 A和的符号，通过诱导公式先将化正。(3)函数y=Asin( cox+(j)表达式的确定：A由最值确定；由周期确定象上的特殊点的相位值列方程确定(即(4)函数 y=Asin( x+()+k 的图象与 y=sin x3、0-，2)22图象间的关系：函数y=sin x的图象纵坐标不变，横坐标向左()>0)或向右()<0)平移|()|个

25、单位得y=sin(x+ 4)的图象；函数y=sin(x+ e )图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的丁"倍，得到函数y=sin( cox+(j)CO的图象；函数 y=sin( 3 x+()图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数y=Asin( cox+(j)的图象；函数 y=Asin( 3x+4)图象的横坐标不变，纵坐标向上(k>0)或向下(k<0),得至U y=Asin( cox+(j) +k 的图象。特别注意，若由y=sin cox得到y=sin( cox+(j)的图象，则向左或向右平移应平移|1个单位，46、正切函数y tanx的图象和性质： I ) J )(

26、1)定义域：x|x k ,k Z。2(2)周期性：是周期函数且周期是，/(3)奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是 (kTt, 0),特别提醒：正切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x轴的交点，另一类是渐近线与 x轴的交点，但无对称轴，。 兀兀 (4)单调性：正切函数在开区间(kTt- , kTt+万)内都是增函数。但在整个定义域上不具有单调性。47、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：sin ( a+ B )=sin a cos 0 +cos asin 0 ;sin ( a-0 ) = sinc cos 0 -cos a sin3cos( a+ B)=:cos a cos 0 -

27、sins sin 0;cos( a0 ) = cosc cos 0 +sin a sin3tantan tan;tantan tan；tan 22tan1 tan tan1tan tan21 tansin 22sin cos ;cos2cos2>sin222cos1 12sin2sincos1sin2 22 sin1cos22 cos1cos2;令2，2sinsin coscos sinsin22sin cos1 sinJ(COS-sin-)|COS-sin-1ja-cos2(cos_)2T2|cos_|；4cos-i2(sin-)2V2|sin-12222. '22.2'

28、; 12148.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路：(1)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如 ()(),(_) _ ,3' 3(2)三角函数名互化(切割化弦)，公式变形使用tan tan tan 1 mtan tan 。(4)三角函数次数的降升(降哥公式：8s21cos2 , sin21 cos2与22升塞公式：1 cos22cos2 , 1 cos2 2sin2 )。(5)正余弦值互求时一定要注意角的范围决定开方结果的正负49、辅助角公式：asinx bcosx 4ab2sin x常见殳形： sinx 43cos

29、x 2sin(x ) > 3. 3sin x cosx2sin(x)> sinx cosx 石sin(x50.三角形中的有关公式:(1)内角和定理：&AB C,sin(A B)A B sinC,sin,2C cos 2(2)正弦定理：_ab- -c- 2R.sin A sin B sinC(3) 余弦正理：a2b2 c2 2bccosA,cosA bc2bc(4)面积公式：slah labsinC r(abc)(其中r为三角形内切圆半径).2 a 2251 .三角函数的值域的求法：(1) y=asinx+b (或y=acosx+b)型，禾U用sin x 1或cosx 1 ,

30、即可求解，此时必须注意字母a的符号对最值的影响。(2) y=asinx+bcosx型，引入辅助角，化为 y= JOb2 sin (x+ )，利用函数sin x1即可求解。(3) y=asin 2 x+bsinx+c (或 y=acos 2 x+bcosx+c ),型，可令 t=sinx (t=cosx) ,-1 < t< 1, 化归为闭区间上二次函数的最值问题。asin x ba cos x b、(4 ) Y=(或 y=)型，解出 sinx (或 cosx )，禾U 用csin x dcosx dsin x 1或cosx 1去解；或用分离常数的方法去解决。(5)y=asinx b型

31、 可化归为sin (x+ ) =g (y)。利用函数sin x 1即可求 ccosx d解(6 )对于含有sinx七osx,sinxcosx的函数 的最值问题，常用的方法是令 sinx cosx=t, t|J2 ,将sinxcosx转化为t的函数关系式，从而化为二次函数的最值问题。(7)y=asin 2 x+bsinxcosx+mcos 2 x+n型问题，可先利用降哥公式转化为二倍角形式，再利 用辅助角公式转化为y sin x ,根据x的范围求解 x整体取值范围，在求解相应值域52 .三角不等式的解法：sinx>a, cosx>a型不等式，应先画出正余弦函数在 0,2兀的图像，根据

32、取值要求找出对应角的范围，再加上周期2k兀即可，如果角的区间不连续，则平移使之相连。tanx>a问题要注意加周期 k兀第六部分数列53 . Sn 与 an 关系应用：Sn=a+a2+ an；.已知Sn求an,用作差法：an3，( 1),明。已知a1a2L an f (n)求an ,用Sn Sn 1,( n 2)作商法：anf(1),(n 1)f(n)f (n 1),(n2)检验当n=1时，若a1适合SS-1,则n=1的情况可并入n>2时的通项an；当n=1时，若a1不适合1,则用分段函数的形式表示.(2)由an与3的关系求an,通常用n-1代替n,两式作差将1用an替换，转化为出与

33、胡-1的关系，然后求解.(3)由an与&的关系求S.通常利用an=$3-i(n>2)将已知关系式转化为 $与3-1的关 系式，然后求解.54 .等差数列的有关概念：(1)等差数列的判断方法：定义法 an 1an d(d为常数)或an1 an anan1(n 2)。 等差数列的通项：an a1 (n 1)d或an am (n m)d。(3)等差数列的前 n项和：snn(a1an), Sn na1 n(n 1)d。.22(4)等差中项：若a, A,b成等差数列，则 A叫做a与b的等差中项，且 a ab o255.等差数列的性质：(1)当 m+n=p+q时，则有 am an ap aq

34、,特别地，当 m+n=2p时，则有 am an 2ap. (2)若a成等差数列，则Sn,S2n 5,S3n S2n ,也成等差数列 56.等比数列的有关概念：(1)等比数列的通项：an a1qn1或加 amqn m。(2)等比数列的前 n和：当q=1时，Sn na1 ；当q 1时，S a1(1 qn) a1 4q。n 1 q 1 q(3)等比中项：若a,A,b成等比数列，那么 A叫做a与b的等比中项。提醒：不是任何 两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个JOH。57 .等比数列的性质：2(1)当 m+n=p+q时，则有 amgan apgaq,特别地，当 m+n=2p时，则有

35、amgan ap .(2)若怎是等比数列，且公比 q 1,则数列Sn,S2n Sn,S3n S2n也是等比数列。(3)如果数列an既成等差数列又成等比数列，那么数列an是非零常数数列，故常数数列an仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。58 .递推数列的通项求法：若 an 1 an f(n)求 an 用累加法：a. (a. a. 1) (a01 a. 2) L (a2 a1) a1。(2)已知 包f (n)求an,用累乘法：a 旦 a_±L & a anan 1 an 2 a1(3)已知a1且an+1 = Aa+B,则an+1+k = A( an + k)(其中

36、k可由待定系数法确定 )，转化为 等比数列a+k.(4)形如 an+1 =AaBa+ C的数列，可通过两边同时取倒数方法构造新数列求解.59 .数列求和的常用方法：(1)分组求和法：等差数列与等比数列对应项相加而成的新数列的求和问题(2)错位相减法：一个等差数列与一个等比数列对应项相乘而成的新数列的求和问题；如基本步骤如下：乘上公比、错位书写；上下相减、末项为负；中间求和、注意项数,右式整理、高次化低；去除系数、代2检验。(3)裂项相消法：解决通项公式是等差数列相邻两项乘积的倒数的新数列的求和问题常用裂项形式有： _J_ 1，；11(1 iJ_y,n(n 1) n n 1 n(n k) k&#

37、39;n n k第七部分平面向量60.向量的有关概念与表示(1)向量：既有方向又有大小的量，记作向量AB,a,b,c自由向量：数学中所研究的向量是可以平移的，与位置无关，只要是长度相等，方向相 同的向量都看成是相等的向量.(2)向量的模：向量的长度，记作： |AB|(3)向量的夹角：两个非零向量a, b,彳oA a,oB b,则 AOB称为向量a, b的夹角,61、零向量：模为0,方向任意的向量，记作： 0单位向量：模为1,方向任意的向量，与 a共线的单位向量是：a / °、(a 0)|a|相等向量：长度相等，且方向相同的向量叫相等向量.相反向量：长度相等，方向相反的向量.向量共线：

38、方向相同或相反的非零向量是共线向量，零向量与任意向量共线；共线向量 也称为平行向量.记作 a / b62 .向量的几何运算(1)加法：平行四边形法则、三角形法则、多边形法则.(2)减法：三角形法则.共起点；差向量方向指向被减向量数乘：记作：a.它的长度是：| a | = | - | a |它的方向：当 >0时,与a同向当 <0时， a与a反向当 =0时， a= 0 (4)数量积：定义：a b= | a | I b | cosa, b>.a± brb 0是 为锐角的必要非充分条件；当0是 为钝角的必要非充分条件；性质：设a, b是非零向量，则： a - b=0r当 为

39、锐角时，a?b>0,且a, b不同向，ar r为钝角时，a ? b <0,且a, b不反向，a b特殊地：a,a=|a|2或|a| 、；a a夹角：cos ab cos a, b63 .向量的坐标运算若在平面直角坐标系下，a= (x1, y)，b=(x2, y2)(1)加法：a+b=(x1 + x2,y1+y2)(2)减法：ab=(x1一x2,y一y2)(3)数乘： a= ( x1, y1)(4)数量积：a - b = xx2+y1y2(5)若 a=(x, y),则 |a|、7(6) cos a b_A_b_. x1x2cos a, m ,22221a 11b |-7x1 y1 ,

40、 x2 V22,、2若 A(x1, y1), B(x2, y2),则 | AB |x?)(yy?)(8)a在b方向上的正射影的数量为|a|cos a,ba b x1x2 y1y 2 |b| , x2 y264 .重要定理(1)平行向量基本定理：若a= b,则a / b,反之：若a/ b,且bw 0,则存在唯一的实数(2)平面向量基本定理：如果a和e2是平面内的两个不共线的向量，那么该平面内的任一向量的一对实数ai, a2使 a = aiei + a2e2(3)向量共线和垂直的充要条件：若在平面直角坐标系下，a=(XI, yi), b=(x2, y2)使得a= ba,存在唯一则：a / bxiy

41、2x2yi=0, a± bxix2+yiy2=0 (4)若 a=(xi, yi), b=(x2, y2),则 a byi y265 、ABC中中向量一些常用的结论： GA GB GC 0 OA OB OB OCG为ABC的重心；OC OA,。为 ABC的垂心;向量(业B 业C)(0)所在直线过 ABC内心(是BAC角平分线所在直线)；|AB| |AC|uur uir uuu特别的，若C是A,B中点,uuu i uir则有OC 10A2第八部分i uur OB2不等式性质向量OC,OAOB中三终点A,B,C共线存在实数x,y使得oc xOA yOB且x+y=i.26(1)(2)(3)则

42、 an bn 或 n/a, i ib,则一 一。a b2Tab ,即-ab266、不等式的性质: 同向不等式可以相加；不可以相减： 同向正数不等式可以相乘，但不能相除； 同向正数不等式两边可以同时乘方或开方:i i(4)右 ab 0 , a b ,贝U ；若 ab 0 , a a b67 .均值不等式定理：若a 0,b 0,则a b68 .常用的重要不等式：-2.22 a b 2ab； ab a_b ;269.含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键. ”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是"。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其

43、解集；若按未知数讨论，最后应求并集.集合的形式表示结果第九部分直线和圆70、直线的倾斜角的概念：当直线 l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间 所成的角a叫做直线l的倾余角.特别地，当直线l与X轴平行或重合时，规定a = 0 ° .倾斜角a的值 范围：0 ° & a < 180° .71、直线的斜率：(1)定义：倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线 的斜率k ,即k = tan ( W90° );倾斜角为90°的直线没有斜率；当a C 0 ° , 90° ) 时

44、，a越大，l的斜率越大；当a (90 ° , 180° )时，a越大，l的斜率越大.(2)斜率公式：经过两点P(x1,y1)、P2(x2, y2)的直线的斜率为kyy2x1x2 ；xx272、直线的方程：(1)直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线，过定点 P(x°, y°)的直线要设成x=x0和y y° k(xxO)；直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点;值相等直线的斜率为 1或直线过原点。73、点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P(x0,y0)到直线Ax+By+ C = 0的距离dAx

45、0 By。C直线的斜率为-1或直线两截距绝对(2)两平行线l1 : AxBy C1 0,l2 : Ax By C20间的距离为dC1 C2,A2 B274、直线 l1： Ax B1y(1)平行A1B2C10 与直线 l2：A2x B2 yA2B10(斜率相等)且B1C2C2 0的位置关系：B2C10(在y轴上截距不等)；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等(2)直线Ax1 + B1y+C1 = 0与直线Ax2+B2y+C2=0垂直A1A2 B1B2 0。75、对称问题：(1)中心对称 点 P(x, y)关于 O(a, b)的对称点 P' (x' , y

46、')满足 x' =2a-x, y' =2b-y 直线关于点的对称可能转化为点关于点的对称问题来解决.(2)轴对称“J _ XL点A(a,b)关于直线 Ax + By+C=0(BW0)的对称点A' (m,n), 尸 又“直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.一 一 提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。76、简单的线性规划：(1)二元一次不等式表示的平面区域：用特殊点判断；无等号时用虚线表示不包 含直线l ,有等号时用实线表示包含直线 l ;(2)求解线性规划问题的步骤是什么？根据实际问题的约束条件列出不等式； 作出可行域，写出

47、目标函数；确定目标函数的最优位置，从而获得最优解。(3)在求解线性规划问题时要注意：将目标函数改成斜截式方程；寻找最优解 时注意作图规范；注意直线的斜率正负对最值取点的影响。(4)线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的 线性规划问题，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值。77、圆的方程：2圆的标准方程：x a y圆的一般方程：x2 y2 Dx,22b r 。2_2Ey F 0(D2+ E2 4F 0),圆的参数方程:x a r cos y b r sin(为参数)，其中圆心为(a,b),半径为r。78、直线与圆

48、的位置关系：直线l : Ax By C 0和圆 C: x a0 相交;r 0有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断:(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)0 相离； 0 相切；(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为 d ,则d r 相交；d r 相离；d r 相切。79、圆与圆的位置关系(用两圆的圆心距与半径之间的关系判断)：已知两圆的圆心分别为O1, O2，半径分别为r1,r2，则(1)当|O1O2 r1 2时，两圆外离；当|O1O2r1 r2时，两圆外切；(3)当r1r2<|O1O2r12时，两圆相交；(4)当|O1O2

49、r1r2 |时,两圆内切；(5)当0 |OiO2r1也|时，两圆内含。80、圆的切线与弦长：切线：过圆x2y2R2上一点P(x0,y。)圆的切线方程是：xx°yy0R2,过圆(x a)2 (y b)2 R2 上一点 P (x0,y°)圆的切线方程是：(x a)(x0 a) (y a)(y0 a) R2, 一般地，如何求圆的切线方程？(抓住圆心到直线的距离等于半径)；从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法(抓住圆心到 直线的距离等于半径)来求；过两切点的直线(即“切点弦”)方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知

50、圆的公共弦就是过两切点的直线方程；切线长：圆的切线的长为 ，丘0a)2 (y0 b)2R2 ;(2)弦长问题：圆的弦长的计算：常用弦心距 d ,弦长一半1a及圆的半径r所构成21 9_的直角二角形来解：r2 d2 (a)2；过两圆C1:f(x,y) 0、C2:g(x,y) 0交点的2圆(公共弦)系为f (x, y) g(x, y) 0,当 1时，方程f (x, y) g(x, y) 0为两圆 公共弦所在直线方程.o第十部分 圆锥曲线81.圆锥曲线的定义：(1)定义史要重视:括号二内的限制条件;椭圆中，与两个定点F1, F2的距离的和等于常数2a,且此常数2a一定要大于F1F2 ,当常数等于F1

51、F2时，轨迹是线段F1 F2，当常数小于F1F2时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a,且此常数2a一定要小于|F1F2| ,定义中的“绝对值”与2av|F1F2|不可忽视。若2a = |F1F2|,则轨迹是以F1, f2为端点的两条射线，若 2a >|F1F2|,则轨迹不存 在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。(2)抛物线定义中曲线上的点到焦点距离与此点到准线距离相等，要善于运用定义对它们进行相互转化。82.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点，坐标轴为对称轴时的标准 位置的方程)：X2 y2y2 x2(1)椭圆：焦点在 x

52、轴上时3十上=1(a>b>0),焦点在y轴上时y2+x2=1.(a>b>0), a ba b(2)双曲线：焦点在 x轴上：02-b2= 1,焦点在y轴上： H= 1。(3)抛物线：开口向右时y2=2px,开口向左时y22 px( p 0),开口向上时22x 2py(p 0),开口向下时 x 2py( p 0)。83 .圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程，然后再判断) ：(1)椭圆：由x 2, y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。(2)双曲线：由x 2 , y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；(3)抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号

53、决定开口方向。特别提醒：(1)在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置， 焦点F1,F2的位置, 是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数a,b,确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；(2)在椭圆中，a最大，a2 b2 c2 ,在双曲线中，c最中 22,2大，c a b。84 .圆锥曲线的几何性质：22(1)椭圆(以xy yy 1 (a b 0)为例)：范围：a x a, b y b ;a2 b2一、- c离心率：e 一，椭圆 0 e 1, e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。ax2 y2 双曲

54、线(以二 y- 1( a 0,b 0)为例)：范围：x a或x a, y R；a2 b2当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为x2 y2 k,k 0；离心率：e c,双曲线 e 1,等轴双曲线一ee越小，开口越小，e越大，开a口越大；两条渐近线：y bx。a；离心率：抛物线 e 1 。20)的关系：(1)点P(x0,y0)在椭圆外22与粤=1； (3)点P(x0,y°)在椭圆 a b(3)抛物线(以y2=2px为例)：准线：x2285、点P(%,y。)和椭圆、匕 1 ( a b a b22-7当1; (2)点P(x0,y0)在椭圆上a b2Xoayob286.直线与圆锥曲线的位置关系相交： 0 直线与椭圆相交；0 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0,当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0 直线与抛物线相交，但直