2010届高三数学一轮复习强化训练精品――空间几何体的表面积与体积

1、1.（2008 山东）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是.俯视图答案 12 二2.如图所示，在棱长为4 的正方体 ABCDABCD 中，P 是 AB 上一点，且 PB=1 AB1，则多面体 P-BCCH 的体积为.4答案 二4.已知正方体外接球的体积为32二,那么正方体的棱长等于35.（2008 福建，15）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为,3，则其外接球的表面积是2010届高三数学一轮复习强化训练精品空间几何体的表面积与体积主学习答案-33.如图所示，4，一个内角为 60的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何2答案 9 ：-.6.三棱锥 S ABC 中，

2、面 SAB SBC SAC 都是以 S 为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2,则三棱锥 SABC 的表面积是答案 3+.、3典例剖析例 1 如图所示，长方体 ABCDABCiD 中，AB=a, BC=b, BB=c,并且 a b c 0. 求沿着长方体的表面自A 到 G 的最短线路的长.解 将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示三个图形甲、乙、丙中 AG 的长分别为:-(a b)2c2= :a2b2c22ab，；a2- (b c)2= * a2b2c2-2bc，；(a c)2b2= a2b2c22ac， a bc 0,abac bc0.故最短线路的长为 Ja2+b2+c2

3、+2bc .二S几何体*=S球+S圆锥AQ + S圆锥BQ丄二 R2+ 三二 R2=二 R2,2 2 2例 2 如图所示，半径为 R 的半圆内的阴影部分以直径 求该几何体的表面积(其中/ BA(=30 )及其体积. 解 如图所示，过 C 作 CO 丄 AB 于 O,在半圆中可得/ BCA=90 , / BA(=30 , AB=2R,AB 所在直线为AC=3 R BC=R CQ=竺 R23RX,3 R=-2 22二12 RXR=_22 22二A a ff h C川乙丙A二旋转所得到的几何体的表面积为2又 V球=-R,V圆锥AOl=- AQ 二 C(2= 7；R AQ33421 ,V圆锥BQl=

4、BQ 二 CQ = -BQ 13二V几何体=V球-（V圆锥AQ+V圆锥BQ）431353= R- R= R.326例 3 如图所示，长方体 ABCA B C D 中，用截面截下一个棱锥 CA DD, 求棱锥 C A DD 的体积与剩余部分的体积之比 .解 已知长方体可以看成直四棱柱 ADD A BCC B .设它的底面 ADD A面积为 S,高为 h,则它的体积为 V=Sh.1而棱锥 C A DD的底面面积为丄 S,高是 h,2因此，棱锥 C A DD的体积11 1VC-A DD=丄X1ShF 丄 Sh.326余下的体积是 Sh-1ShF Sh.6 6所以棱锥 C A DD 的体积与剩余部分的

5、体积之比为1 : 5.例 4（14 分）如图所示，在等腰梯形 ABCD 中, AB=2DC=2，ZDA 母 60，别沿 ED EC 向上折起，使 A、B 重合，求形成的三棱锥的外接球的体积解 由已知条件知，平面图形中 AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.方法一 作 AF 丄平面 DEC 垂足为 F, F 即为 DEC 的中心.心弓,人卍卜爭2=弓，6分在厶 AFGH AHQ 中，根据三角形相似可知，外接球体积为-7： XQ/A=- 二乞二丄-.14 分33438方法二如图所示，把正四面体放在正方体中.显然，正四面体的外接球就是正方体的外接球.6 分T正四面体的棱长为 1，二正方体的棱

6、长为 ，二外接球直径 2R= ,3，10 分22二折叠后得到一个正四面体.取 EC 的中点 G,连接 DG AG过球心 Q 作 QHL 平面 AEC则垂足 HAEC 的中心.外接球半径可利用 QHMAGFA 求得.AI+-3. / QA=AGAH3.33-*2 3 _ 66E 为 AB 的中点，将BEC 分10 分R=64体积为12 分该三棱锥外接球的体积为6-.814 分知能迁移1. 如图所示，在直三棱柱 ABGABQ 中，底面为直角三角形，/ ACE=90, AC=6, BG=CG= 2 .P 是 BC 上一动点，则 CP+PA 的最小值是.答案 5.22. 如图所示，扇形的中心角为 90

7、，其所在圆的半径为 R 弦 AB 将扇形分成两个部分，这两部分各以 AO 为轴旋转一周，所得旋转体的体积V和 V2 之比为.答案 1 : 13. 如图所示，三棱锥 A BCD 一条侧棱 AD=8 cm，底面一边 BC=18 cm,其余四条棱的棱长都是17 cm求三棱锥 A BCD 的体积.解取 BC 中点 M,连接 AM DM取 AD 的中点 N，连接 MN/ AC=AB=CD=BD,/ BC 丄 AM BC DM又TAMnDMMI,/ BC 丄平面 ADM BC=18，AC=AB=DB=DC=17./ AM=DM=4、 13，/ NML AD / MN=8 .,3 .1/.AD= MN* A

8、D2=1 8 3 8=32 3 .2/. VBCE=VB ADM+VADM11=-xSAADMX(BM+CM=-x32 J3x18 33=192 3 (cm5)4.如图所示，已知正四棱锥 S ABCD 中，底面边长为 a,侧棱长为2a.(1) 求它的外接球的体积；(2) 求它的内切球的表面积.解(1)设外接球的半径为R,球心为 O,则 OA=OOOS 所以 0 为厶 SAC 的外心,即厶 SAC 勺外接圆半径就是球的半径.-AB=BC=a,. AC3、2 a.J?/ SA=SC=AC= . 2 a,.ASAC 为正三角形.由正弦定理得 2R= AC竺二兰日,sin /ASC sin 603因此

9、,F= _6a, V 球= -戊=8 6- a3.3327(2)设内切球半径为 r，作 5 吐底面 ABCD 于 E,作 SF 丄 BC 于 F,连接 EF,则有 SF= , SB2_BF2=(.2a)2_(：)2=#a.SASB=1BC- SF=lax_Z a= a2.2224S棱锥全=4SASBC+S底=(.7+1) a ./ V棱锥=S底h=丄 a2x上6a=6-3324 一 72S球=4 二 r =a .3-活页作业-一、填空题1.如图所示，E、F 分别是边长为 1 的正方形 ABCDiBC CD 的中点，沿线 AF, AE EF 折起来，则所围成的三棱锥的体积为答案丄242. 长方体

10、的过一个顶点的三条棱长的比是1 : 2 : 3,对角线长为2拆，则这个长方体的体积是.答案 483. 已知三棱锥 S ABC 的各顶点都在一个半径为 r 的球面上，球心 O 在 AB 上, SOL 底面 ABC AC= .、2 r，则球的体积与三棱 锥体积的比值是又SE=；SF2-EF2(7a)222=邑,2_ 3V棱锥r s棱锥全(.71)a2屁V6a12，C4答案 4 ：-.4. （ 2007 辽宁文，15）若一个底面边长为亠，侧棱长为 6 的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积2为 5. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为 16,则这个球的表面积是.答案 24

11、二6. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是7. （2008 四川理，15）已知正四棱柱的对角线的长为.6，且对角线与底面所成角的余弦值为12，则该正四棱柱的体积3等于_答案 28.（ 2008 上海春招）已知一个凸多面体共有 9 个面，所有棱长均为 1，其平面展开图如图所示, 则该凸多面体的体积 V= .答案 1+26二、解答题9. 一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm 和 6 cm,高是-cm,2（1）（2）解求三棱台的斜高；求三棱台的侧面积和表面积.（1）设 O、O 分别为正三棱台 AB（ ABC 的上、下底面正三

12、角形的中心，如图所示,3则 00 三，过 O 作 OD 丄 B1C1, ODL BC，_则 DD 为三棱台的斜高;2过 D 作 DE 丄 AD 于 E，_KUDE=OO=_?，2因 OD=空X3=迴,OD：旦X6/3 ,6 2 6贝 U DE=ODOD= 73-型=空2 2在 Rt DDE 中,DD=JD*2+ED22（、3）2=32（2）设C、C分别为上、下底的周长，h 为斜高,S侧=丄(C+C)h=丄(3X3+3X6)X. 3 = 7-3(cm2),2 2 2S表=S侧+S上+S下=27 3+XF+-3X62=99 3(cm2).244故三棱台斜高为. 3 cm,侧面积为 cm2，表面积为

13、2摯 cm2.44_ _ 1-VCBDE=VEBCE=SABCD CE3=1X丄丄X1X1X丄丄=丄丄32212证明连接 AC BiC/ AB=BC, / BD 丄 AC/ AA 丄底面 ABCD/BD 丄 AA/AiAnAC=A,/BD 丄平面 AAC/BD 丄 AC./tan / BG=-BC=1B1B 2GE 1tan / CBE=匕三=丄，BBC=/ CBE CB 210.如图所示，正 ABC 的边长为 4,DE、F 分别为各边中点，MN、P 分别为 BE、DE EF 的中点，将 ABC 沿DE折成了三棱锥以后.(1)ZMNP 等于多少度？(2)擦去线段 EM EN EP 后剩下的几何

14、体是什么？其侧面积为多少？ 解 (1)由题意，折成了三棱锥以后，如图所示， MNP 为正三角形，故/ MNP/ DAF=60 .DF(2)擦去线段 EM EN EP 后，所得几何体为棱台, 其侧面积为 S=SE-ADF 侧一 S MNP 侧=3X廿廿3X22-3X遇遇X12=9寸3.44411.如图所示，在长方体 ABCD-ABGD 中，AB=BG=1，BB=2,E 是棱 CC 上的点，且 CE=ZCG.4(1)(2)求三棱锥 C BED 的体积;求证：AiC 丄平面 BDE(1)解/ CE=1 CC=2，42vZBBC+/BCB=90 ,:丄CBEZBCB=90，二 BE 丄 BQvBE 丄 AB1，A1B1nBQ=B1，:BE 丄平面 ABC，： BE 丄 ACvBDn BE=B，BED 平面 BDE BDU 平面 BDE:AC 丄平面 BDE12.三棱锥 SABC 中，一条棱长为 a,其余棱长均为 1,求 a 为何值时VS-ABC最大，并求最大值解方法一如图所示，设 SC=a，其余棱长均为 1，取 AB 的中点 H，连接 HS HC,贝 U AB 丄 HC, AB 丄 HS, AB 丄平面 SHC在面 SHC 中，过 S 作 SO 丄 HC 贝 U SO 丄平面 AB