计算方法实验六数值积分

1、山西大学计算机与信息技术学院实验报告专业班级课程名称计算方法实验日期批改日期指导老师实验名称实验六 数值积分一. 实验目的：b利用复化梯形公式、复化辛普生公式和龙贝格数值积分公式计算f (X)dx的近似a值。二. 实验方法：(1) 将a , b区间n等分，记分点为Xi a ih,(h - ,i 0,1 ,n)，并在每个小区间nXi, Xi 1上应用梯形公式hn 1Tn Jf(a) 2 f (Xi)f(b)2i 1(2) 在每个小区间Xi,Xi 1上，用辛普生公式n 1n 1Snf(a) 4f(x.1)2f(Xi) f(b)6i 0i 2i 11式中X 1为X,Xi 1的中点，即x 1 Xii

2、2 i 2 2(3) 先用梯形公式计算T1 (b a)/2 f(a) f(b)，然后，将求积区间(a,b)逐次折半的 方法，令区间长度h (b a) 2i,(i0,1, n).1/2?Tnnh/2 f(ak 11h?(k )，式中 n22i于是，得到辛普生公式 Sn T2n (T2n-Tn)/3。柯斯特求积公式CnS2n (S2n Sn)/15。最后，得龙贝格求积公式Rn C2n (C2n 6)/63。利用上述各公式计算，直到相邻两次的积分结果之差满足精度要求 实验内容利用复化梯形公式、复化辛普生公式和龙贝格数值积分公式计算2e2xexdx和i01 x2dx的近似值，要求误差为12忙，将计算结

3、果与精确值比较，并对计算结果进行分析(计算量、误差)四.实验程序:复合梯形公式:#in elude <stdio.h>#in elude <math.h>#defi ne esp 0.5e-7#defi ne a 1#defi ne b 2#defi ne e 0#defi ne d 1#defi ne f1(x) (x*pow(E,x)#defi ne f2(x) (4/(1+(x*x)void fun 1()in t i,n ,k=0;double h,q,t,g;n=1;h=(double)(b-a)/2;t=h*(f1(a)+f1(b);dok+;q=t;g=0

4、;for (i=1;i<=n ;i+)g+=f1(a+(2*i-1)*h);t=(q/2)+(h*g);n *=2;h/=2;while (fabs(t-q)>esp);printf(” 函数 1 分了 %d 次：n",k);printf("积分结果为：");prin tf("%12.8lfn",t);void fun 2()in t i,n ,k=0;double h,q,t,g;n=1;h=(double)(d-c)/2;t=h*(f2(c)+f2(d);dok+;q=t;g=0;for (i=1;i<=n ;i+)g+=

5、f2(c+(2*i-1)*h);t=(q/2)+(h*g);n *=2;h/=2;while (fabs(t-q)>esp);printf(” 函数 2 分了 %d 次：n",k);printf(”积分结果为：”);prin tf("%12.8lfn",t); int mai n()复合梯形公式*/n");prin tf("* *fun 1();fun 2(); return 0;复合辛普生公式代码：#in clude <stdio.h>#in clude <math.h> #defi ne esp 0.5e-7

6、#defi ne a 1#defi ne b 2#defi ne c 0#defi ne d 1#defi ne f1(x) (x*pow(E,x)#defi ne f2(x) (4/(1+(x*x)void fun 1()in t i,n ,k=0;double f1,f2,f3,h,s0,s; f1=f1(a)+f1(b);f2=f1(double)(b+a)/2);f3=0;s=(double)(b-a)/6)*(f1+4*f2);n=2;h=(double)(b-a)/4;dok+;f2+=f3;s0=s;f3=0;for (i=1;i<=n ;i+)f3+=f1(a+(2*i-

7、1)*h);S=(h/3)*(f1+2*f2+4*f3);n *=2;h/=2;while (fabs(s-sO)>esp);printf(” 函数 1 分了 %d 次数：n",k);printf(”积分结果为：");prin tf("%12.8lfn",s);void fun 2()in t i,n ,k=0;double f1,f2,f3,h,s0,s;f1=f2(d)+f2(c);f2=f2(double)(d+c)/2);f3=0;s=(double)(d-c)/6)*(f1+4*f2);n=2;h=(double)(d-c)/4;dok+

8、;f2+=f3;s0=s;f3=0;for (i=1;i<=n ;i+)f3+=f2(c+(2*i-1)*h);S=(h/3)*(f1+2*f2+4*f3);n *=2;h/=2;while (fabs(s-sO)>esp);printf(” 函数 1 分了 %d 次数：n",k);printf(”积分结果为：");prin tf("%12.8lfn",s); int mai n()prin tf("/* *合辛普生公式 */n")fun 1();fun 2();return 0;龙贝格数值积分公式代码:#in clude

9、 <stdio.h>#in clude <math.h>#defi ne esp 0.5e-7#defi ne a 1#defi ne b 2#defi ne c 0#defi ne d 1#defi ne f1(x) (x*pow(E,x)#defi ne f2(x) (4/(1+(x*x)double t1100100;double t2100100;void fun 1()int n ,k,i,m,w=0;double h,g,p;h=(double)(b-a)/2;t100=h*(f1(a)+f1(b);k=1;n=1;dow+;g=0;for (i=1;i&l

10、t;=n ;i+)g+=f1(a+(2*i-1)*h);t1k0=(t1k-10/2)+(h*g);for (m=1;m<=k;m+)p=pow(4,(double)(m);t1k-mm=(p*t1k-m+1m-1-t1k-mm-1)/(p-1);m-=1;h/=2;n *=2;k+=1;while (fabs(t10m-t10m-1)>esp);printf("函数 1 分了 %d 次：n",w);printf("积分结果为：n");prin tf("%12.8lfn",t10m);void fun 2()int n ,

11、k,i,m,w=0;double h,g,p;h=(double)(d-c)/2;t200=h*(f2(c)+f2(d);k=1;n=1;dow+;g=0；for (i=1;i<=n ;i+)g+=f2(c+(2*i-1)*h); t2k0=(t2k-10/2)+(h*g);for (m=1;m<=k;m+)p=pow(4,(double)(m); t2k-mm=(p*t2k-m+1m-1-t2k-mm-1)/(p-1);m-=1;h/=2;n *=2;k+=1;while (fabs(t20m-t20m-1)>esp);printf("函数 2 分了 %d 次：n

12、",w);printf(”积分结果为：n");prin tf("%12.8lfn",t20m);int mai n()龙贝格数值积分公式*/n");prin tf("* *fun 1();fun 2();return 0;五、结果分析次次ey 4 : 2 : k 了妙了劭ny 眷蟄5 数分S分&S 函积函积pr复合梯形公式结果截图:7,389056103.14159261 to cantinue_复合辛普生公式结果截图:函数恰了&次蚊积分结果为；7.38905610 函数1廿了呻次数I积分结杲为；3,14159265P

13、e'c&s 0仃寸 key to contioueH龙贝格数值积分公式结果截图:H:. -：1d:r. 函堀分了阮 积分括呆为7_30905G1H函数2讦了£次； 积分结果为二3.1415926SFraas nn* key to continue六、结果分析1在求积分时，常把积分区间分成若干小区间，在每个小区间行采用次数不高的求积 公式，如梯形、辛普生然后再把它们加起来，得到整个区间上的求积公式，这就是复合求积公式的基本思想。2龙贝格采用了变步长的求解公式，可以根据精度的要求，在计算过程中适当调整步 长，使计算结果逐步逼近精确值，但是近似值序列收敛于积分精确值的速度较慢。3复化梯形公式、复化辛普生公式和龙贝格数值积分公式都有着较高的精度， 其中龙 贝格数值积分公式精度