《行列式知识点》

1、行列式、二阶行列式概念：形如aiia2iai2a22aliai2ai3二、三阶行列式：形如a2ia22a23a_a“a”3i3233的式子称为二阶行列式；数学规定的式子称为三阶行列式aiia2iai2a22aiia22a ai2 21规定aaai3a2ia22a23a3ia32a33aiia22&33 ai232333iai3&2ia323i332293iai2&2ia33aii323332a2ia22a23aa“a“3i3233aiiai2i3如(a22a33a23a32)ai2( a23a3ia a 2i 33 )ai3( a2ia32a a22 3iaiia22a

2、23ai2a23a2iai3a2ia22aiia22a23如a2ia23ai3a2ia22a“a“a“a_a.a“a“a“a.a“a.a“3233333i3i3232333i333i32a3i2A|29i3A|3Ai三、n阶行歹U式的定义定义：n阶行歹U式D如Laina2ia22La2nMMOManian2Lann等丁所有取自不同行、不同列的n个元素的乘积aiPia2P2 L anPn的代数和，其中 Pin的一个排列，每一项的符号由其逆序代数余子式和余子式的关系Mj ( iy jAjAjaiiai2L%n数决定。D0a22L&nt i2L n,i引 ia22L annaiia22L a

3、nn也可简记为det aA，其中aA为MMOM00Lann行列式D的（ i , j元）0aiiai2Lain根据定义，有D为a22La2nt Pi P2L P naipi a2 P2 L anPnMMOMP1P2L Pnanian2Lann四、行列式按行（列）展开余子式 在n阶行列式中，把元素 aj所在的第i行和第j列划去后，留下来的 n 1阶行列式叫做元素aij的余子式,记作Mj。代数余子式 记Aj1 i Mj ,叫做元素aj的代数余子式。确定某个元素的余子式其实就是将这个元素所在的行和列划去，将剩下的元素按照原来的位置关系所组成的二阶行列式；而这个元素的代数余子式与该元素所在行列式的位置（

4、即第i行,第j列）有关，其代数余子式的正负号是（1）i j引理一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i, j）（ i, j）元外aj都为零,那么这行列式等丁 aj与它的代数余子式的乘积，即D aij Aij o定理n阶行歹o式D如L%na21a22LOa2nMMM等丁它的任意 行（列）的各兀素与其对应的代数余子式an2La2 j A2j L anj Anj ,的乘积之和，即 D ai1 Ail ai2 Ai2an Ain， (i 1,2, L , n )或 D ai j Al j(j 1,2,L , n)五、行列式的性质a 1%2 Lamana21La21a22 La2nT八12a22 L

5、,DM M O MM Man1an 2annaina2n L定义记DaMa n2,行列式DT称为行列式D的转置行列式O Mann性质1行歹U式与它的转置行歹U式相等。DT =D行列互换，行列式不变即a 1 a 2321 a 22ana2nan1an2anna1a21a2a22ana2nan1an2ann性质2行列式的两行对换，其值变号。即aiiai2ainaiiai2ainaki昵aknanian2annaiiai2ainakiak2aknaiiai2a.anian2ann性质性质a., iia.ca 2i2aiiainkaiika i2kainkaiiai2anian2annanian2行列

6、式中的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到ainaina nn一个数乘行歹0式的一行（或歹0）,等丁用这个数乘此行列式即性质行歹0式一行（或歹0）兀素全为零，则仃歹0式为零.即ai1ai2ai, n-1ain0.ani an2an,n-1 ann性质如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零.即a. iiai2aina. iiai2跖a., iiai2aa., iiai2ainkinkaiikai2kama., iiai2amanian2annanian2ann性质若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则这个行列式等丁两个行列式的和a12LaajLan如a12LLa1

7、nana12LL ama21a22L(a2ia2i)La2na21a22La2iLa2na21a22La2iL a2nMMMMLLLLLLLLLLan1an2L(aniani)Lannan1an 2LaniLannan1an 2LaniL ann的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式的值不变。a 1aM cak1ak1am性质8把行列式的某一列（行）性质9行列式中按任一行展开a 2a na 1ai2 ca k2a in Ca knai1ak2aknak1an2annam其值相等，按任-列展开也一样0a 2 anai2a inaak2knan2a nn六、几个特殊的行歹 0

8、式: 主对角行列式：主对角元素的乘积；n （ n 1）副对角行列式：副对角元素的乘积（1 ）十;上、下三角行列式:主对角元素的乘积形如a, a 2 算跖a.a22a23a2na 33a3nanna21a31a22a32a33an1 an2 an33 nn这样的行列式形状像个三角形，故称为推论1 :上，下三角行列式的值均等丁其主对角线上各元素的乘积务八12La n0a22La2nMMOM00Lann1 "A n 4*22 L a nnBllB22L 编推论2:主对角行列式的值等丁其对角线上各元的乘积，副对角行列式的值等丁1 2乘以其副对角线上各元的乘积11212L2On 'Nnn即七、行列式的计算上三角形或下三角形该方法适用丁低阶行列式利