装配偏差文献综述

1、机械产品装配是整个机械产品制造过程的最后阶段，装配质量的高低，直接影响到机械产品的工作性能、使用效果、可靠性和服役寿命。而通过对机械零件装配过程进行研究分析，合理地建立起装配质量与零件偏差以及装配工艺参数的之间关系模型，即装配偏差模型，对于装配偏差的预测、诊断乃至最终产品的质量控制，显得尤为重要。装配偏差模型的研究，大体经历了基于零件刚性假设的模型研究到考虑零件柔性变形的装配模型研究的过程，国内外很多学者在这一过程中，都做出了相应的卓有成效的进步，国内外也相继出现了一些专门分析装配偏差的软件，不过现有的装配偏差分析软件主要是基于刚性假设，柔性偏差分析精度不高。1. 基于刚性假设的装配偏差模型刚

2、体模型假设零件为刚体，在装配过程中不会发生变形，只有整体的移动或偏转。因此，对于刚性零件的装配，其装配偏差主要来源于零件本身的几何、形位公差以及装配定位偏差。装配链中所有组成元素按几何关系形成封闭环，称为形封闭，对装配偏差的分析主要是关于零件运动学的研究。基于刚性假设的装配偏差模型主要有尺寸链模型和确定性分析模型，此外，Whitney在其著作Mechanical Assemblies中基于多体齐次变换提出了一种Chains of Frames模型。1.1 尺寸链模型尺寸链是指零件在加工或装配过程中，由互相联系的尺寸按一定顺序首尾相接排列而成的封闭尺寸组，组成尺寸链的各个尺寸称为尺寸链的链环。其

3、中，在加工或装配过程中最终被间接保证精度的尺寸称为封闭环，其余尺寸称为组成环。尺寸链模型可以同时描述尺寸偏差和几何特征偏差。对于简单的一维尺寸链，通过极值法（Worst Case, WC）或者统计法（Root Sum Square, RSS）很容易得到零件偏差与装配偏差的关系1，但对于二维或三维尺寸链，很难准确的得出零件偏差与装配偏差之间显示表达的函数关系（explicit assembly function），使求解变得困难，如公式1、2所示。式中，标准零件尺寸；零件的公差；是装配偏差；规定的装配公差极限；零件偏差与装配偏差之间的关系的装配函数；零件尺寸对装配偏差的敏感系数，一维装配敏感系数

4、为。美国Brigham Young University在尺寸链模型的分析研究领域做出了很多贡献。Chase等提出了研究2D装配尺寸链的隐式分析模型2，并将装配过程中的偏差总结为三个主要的偏差源，即零件的尺寸偏差、零件的几何特征偏差以及装配运动调整量，其中前两个偏差源为独立变量，而后者则是非独立变量。如图1所示，尺寸就是一个随着尺寸、以及变动的运动调整量。图1 零件偏差产生运动调整通过将装配尺寸链中的零件尺寸以及运动调整量表达为矢量形式，Chase建立了一个基于运动装配的矢量环模型，如图2所示。而后，将矢量分量依此投影到x方向、y方向以及旋转方向，得到三个标量形式方程。从而建立起零件偏差与装配

5、偏差间的隐式函数表达关系（implicit assembly function）。图2 一个2D简单的矢量环模型图而后，利用直接线性化方法（Direct Linearization Method, DLM），即计算装配约束方程的一阶泰勒展开，通过线性代数的表达方式，获得装配偏差与零件偏差之间的敏感系数矩阵。最后回归到尺寸链计算的极值法或者统计法，预测装配偏差。闭环装配的约束方程经过一阶泰勒展开后可以得到以下形式：式中：装配间隙的偏差零件偏差（组成环，the variations of the manufactured variables）装配运动调整量（封闭环，the variations o

6、f the assembly variables）对零件偏差（manufactured variables）的一阶偏导对运动调整量（assembly variables）的一阶偏导于是得到：对于开环尺寸链，也可以相应的得到零件偏差与装配偏差之间的线性表达关系。随后利用极值法或者统计法，可以预测最终的装配偏差，如公式8、9所示：随后，Brigham Young University的J.Gao以及Chase等又进一步研究了3D尺寸链模型的直接线性化求解方法。相比2D空间的尺寸链模型，3D空间的模型显然更加复杂，各个装配矢量环的长度以及相对角度之间的关系需要用齐次变换的平移矩阵以及旋转矩阵来表达。

7、通过对比直接线性化方法的求解结果与修正的蒙特卡罗仿真方法（Monte Carlo Simulation）得到装配偏差预测值，可以得出，当零件偏差相比零部件的名义尺寸较小，且装配函数为弱非线性时，直接线性法能够准确进行装配尺寸偏差计算3。整体来说，尺寸链模型直观、简便，适用于零件连接关系比较简单的情况。然而对于装配关系复杂的产品，零件间常常存在多种装配特征，一个零件也经常与其它多个零件同时进行装配，其装配过程尺寸链关系往往难以提取，尤其在计算机辅助公差分析中，尺寸链的自动生成更加困难，因此具有较大的局限性。1.2 确定性分析偏差模型确定性分析的偏差模型主要研究夹具定位误差对零件装夹后产生的偏差的

8、影响，主要用于夹具的稳健性设计。所谓确定性定位，即零部件空间6个自由度完全约束的状态。通过建立夹具对零部件定位的定位点处的约束方程，计算雅克比矩阵判断零部件是否处于确定性定位状态；而后通过对约束方程进行泰勒展开或相应推导（Heuristic Reasoning），得到零件偏差与定位偏差之间的关系。确定性分析研究的理论基础为运动学理论，研究方法主要有螺旋理论（Screw Theory）和齐次变换（Homogenous Transformation Technique）。Cai等4将工件装夹过程中的偏差分为两大类，即零件由于装夹产生的位置方向偏差（resultant errors）以及夹具的定位偏

9、差（source errors）。利用一种变分的方法推导出夹具定位点偏差与零件偏差之间的关系模型，并以此为基础提出夹具的稳健性设计的思路和方法，其在论文中指出，夹具设计主要分为三大问题，确定性定位(deterministic locating)、完全约束(total fixturing)和稳健性设计(robust design)。其中，确定性定位是指工件在定位方案下保持和所有定位块（locator）接触并不会发生无限小的变动的状态；完全约束是在确定性定位基础上，给工件施加夹紧力后，工件依然稳定的保持和所有的定位块相接触的状态；最后，稳健性设计就是要找到工件由于装夹产生的偏差对定位偏差敏感性最小

10、的定位工况。 Cai的研究基于以下假设：首先，夹具以及零件均保持刚性；其次，定位块与工件的接触为点接触（point contact）；最后，夹紧力作为外加力大小可控。图3 简化3D工件定位方案如图3所示为一简化的3D工件定位图示，其中，为固定的全局坐标系，而为固定在工件上的连体坐标系。由于工件表面定位点的法矢与过定位点的切平面内的任一矢量的点积为0，可得到每个定位点处的约束方程如下：式中，表示定位点处的法矢向量，为定位点i处的工件表面方程，矩阵A为连体坐标系到全局坐标系之间的转移矩阵。则对于有m个定位点的定位系统，可以得到约束方程集合：其中，表示工件的六个自由度。这里，来自于欧拉参数，表示工件

11、的三个转动自由度。于是可以得到雅克比矩阵：当且仅当雅克比矩阵满秩的时候工件可以被确定性定位(deterministic locating)。为了表达的简单方便，使连体坐标系与全局坐标系重合，即。将式10带入13，化简后得到：对于2D定位系统，对于3D定位系统，在施加夹紧力之后，利用欧拉牛顿方程对定位系统做静力分析，在第i个定位点，定位点受到的反作用力为：这里矢量为一个拉格朗日算子：这里为工件受到的夹紧力和夹紧力矩。最终，如果中每一项都非负，则定位系统在作用了夹紧力或夹紧力矩之后，工件仍然和每个定位点保持接触，即工件处于完全约束（total fixturing）状态。综合以上的分析，Cai推导出

12、了装夹过程中定位点的偏差与零部件偏差之间的线性关系。Cai将定位系统的误差分为两类，即Infinitesimal Error Analysis （IEA）和Small Error Analysis（SEA），并分别作了分析。对于前者，只考虑工件表面的一阶信息，即工件表面在定位点被假设是线性的。将公式10的约束方程改写为以下形式：定义定位点位置矢量集为，定位点的偏差则为，则公式11可写成：通过变分的方法，得到以下形式：其中，于是得到确定性定位情况下，定位点偏差与装夹后工件的偏差之间的线性关系：以上分析线性化了工件的表面边界，但实际情况中，工件表面的极少是线性的，尤其是非等截面的工件（nonpri

13、smatic workpieces）并不存在平整的表面，需要考虑工件表面的二阶边界信息。此时，通过考虑工件表面第i个定位点处的高斯曲率，引入权重因子来优化前面提到的线性模型，即：。此时，定位系统的定位误差表达为即可带入到之前的线性模型中求解。通过以上分析最终可以得到了定位误差与工件位置误差之间的线性表达关系。但在实际生产中，当定位点位置误差相对于零件加工尺寸误差较大，或者零件表面为非等截面，几何信息较为复杂时，这种线性模型分析出来的结果很难达到理想的预测精度。在这种情况下，Carlson5 对定位点处的约束方程做二阶泰勒展开，从而提出了一种二次敏感分析模型，能够较好的预测工件几何信息复杂多变、

14、定位误差较大且存在相互耦合等情况下零部件定位后的误差。以上的模型都是基于简化的运动学假设，将工件与定位点之间的接触考虑为理想的点接触，从而忽视了零件以及定位块的表面几何特性。尽管通过对定位点处的约束方程进行二阶泰勒展开，得到二次敏感分析的模型，可以较好的综合零件在接触点处的曲率信息及定位块之间的相互关系，但这种模型仍然没有摆脱点接触假设，忽视了定位块的几何特性且计算复杂。Wang M. Y. 6等将以上模型统一称为point-kinematic model，在分析了这种点接触模型的劣势之后，基于接触运动学理论7（The Contact Kinematics）提出了一种考虑接触属性的完全运动学模

15、型（full-kinematic model）。这种模型通过建立装夹系统（Locators-Plus-Workpiece System）内部的速度关系（velocity formulation）来表征偏差的传递。考虑两个表面光滑的刚体与在点处接触，如图4所示。依次建立刚体与的连体坐标系和；以及刚体在接触点位置的接触坐标系和刚体在接触点位置的接触坐标系。以及坐标系的z轴都指向外法线方向，则此时在这两个坐标系的x轴之间存在一个夹角，称为接触角（contact angle）。图4 接触运动学坐标系设表面参数为，则工件表面的单位法矢表达为：，可以确定工件表面的三个参数即曲率K、扭曲和缩放M。根据接触理

16、论7，两个相接触的刚体之间存在5个自由度，其中两个是刚体表面接触点的位移，两个是刚体表面接触点的位移，最后是两个刚体绕着共同的外法线的相对转动。由此可以定义两个刚体接触的啮合参数（meshing parameters）如下：为了更加直接自然的描述两个刚体的相对运动，在接触坐标系下定义刚体相对于刚体的速度，即接触速度（contact velocity）为：并且，啮合参数与接触速度之间存在以下线性关系：其中：由于两个刚体维持接触有，因此单独定义接触速度中的非零项为矢量：于是接触方程可改写为：其中，被称为接触矩阵（contact matrix），当且仅当接触矩阵满秩的时候（），接触方程29才有意义。

17、此时被称为Regular Conract7。 基于以上接触运动学的理论，Wang等在Regular Contact且接触无摩擦的前提假设下，提出了确定性分析的完全运动学模型（full-kinematic model）。为了表达清晰，Wang给出了一个运动链图表达工件的装夹定位状态，如图5所示。其中，刚体表示工件，刚体表示定位块。坐标系定义与前文相同，其中表示全局坐标系。图5 定位块-工件装夹系统运动链图为了简便，使每个定位块的连体坐标系、工件连体坐标系与全局坐标系重合，即。将接触速度表达到定位块的连体坐标系中，和分别为定位块和工件在连体坐标系中表达的速度，和为定位块和工件在接触坐标系中表达的速

18、度，是接触坐标系与连体坐标系之间的速度转移矩阵，于是又如下关系：则带入公式26，得到：上式的第三个子式表示的是两个刚体的接触条件，即。如果接触点的位置矢量为，则由公式33可以得到接触约束的表达式为：式中，表示定位点沿着定位法向的速度，。将另外两个速度和三个旋转分量表示为，对应于接触速度，则公式33每个定位点处剩余的五个方程可以写为：其中，矩阵实际上就是去掉第三行。综上所述，最终推导出确定性分析的完全运动学模型如下：其中：当工件处于确定性定位时，矩阵G要满秩。则在确定性定位以及Regular Conract的条件下，最终工件由于装夹产生的位置和方向误差为：使用速度做确定性分析可以更加灵敏的反应每

19、个瞬时工件与定位块的接触情况，从而更准确的窥测工件是否在夹具上定位好或者是否已经从夹具上脱离。相比较点接触模型，完全运动模型还能综合考虑定位点各个方向的偏差对最终零件偏差的影响，同时，工件-定位系统的几何信息以及定位偏差的相互作用也能更准确的在模型中反应出来，从而使偏差预测精度得到提升。虽然完全运动模型能较为准确的反应工件装夹过程中的偏差传递，但是其分析过程必须要详尽的获得工件与定位块在接触区域的几何信息，且计算过程十分复杂，为其应用求解带来不便。在这种情况下， Liu T.以及Wang M. Y.8在对比了前述确定性分析的模型之后，提出了一种对线性点接触模型修正的确定性分析模型，在计算过程较

20、为简便的基础上，能较好的反应偏差的传递。传统的线性点接触模型所推导出的定位偏差与工件偏差一般有如下关系式9：式中，为沿着定位点法向方向的定位偏差，；为零件装夹的偏差，。而在修正的线性点接触模型中，修正后的，其中是不考虑定位点切向误差时得出的，而则是由于沿着工件表面方向的误差引起。经过一些列的推导，最终可以得到工件的误差：于是，只要先利用线性点接触模型求出，再加上计算出来的修正量，即可得到由于定位误差所引起的工件位置和方向误差。除了以上的研究方法，旋量理论（Screw theory）也是确定性分析的一种常用研究方法。旋量理论在装配分析中的应用可以分为两种类型，即运动分析（Motion Analy

21、sis）和约束分析（Constraint Analysis）。运动分析过程可以得到装配体的运动旋量（Twist），其秩表示装配体在装配定位好之后具有的自由度；约束分析通过推导力旋量（Wrench）矩阵，分析其秩表征装配体装配后过约束的数量。具体的来说，Adams和Whitney等10利用旋量理论对刚性零件装配的约束问题进行了建模分析，根据零件的约束特征建立了十七种特征类型，通过约束特征类型来决定两个装配零件过约束、欠约束和完全约束的情况，最终确定零件的约束状态，从而对装配质量进行定量分析。Adams11将旋量理论应用到刚性零件装配的运动极限分析中，建立了装配特征允许或约束刚性零件在空间6自由度

22、运动的能力。综上所述，基于确定性分析的装配偏差建模方法能够有效解决刚性零件在3-2-1定位下装配三维尺寸链建模困难的问题，在分析尺寸较小且刚性较大的零部件装夹定位过程中的偏差传递有一定的分析精度和效率，但对于柔性较大的零件装配，其分析精度难以满足要求。2. 考虑柔性的装配偏差模型由于刚性装配偏差模型将装配系统中所有零部件假设为刚体，忽略了其在装配过程中的变形。装配分析主要分析的是零部件形封闭的过程，研究的内容是零部件的几何运动。但实际装配系统中，零部件是会发生变形的，尤其在汽车车身、飞机等装配工艺中，存在大量的薄板装配过程，柔性零件装配成为一个形封闭与力封闭相耦合的过程，装配过程演变为动力学的

23、研究。因此，传统的基于几何运动学的偏差分析方法则不再适用。1980年，Takezawa12根据对汽车柔性薄板件装配测量数据的回归分析，指出：“the conventional addition theorem of variance is no longer valid for deformation sheet metal assemblies. The assembly variance has decreased (compared to part variances), and is closer to the variance of the stiffer part”，由此揭开了柔性

24、装配偏差研究的序幕。由于柔性装配偏差分析要考虑零部件在装配过程中的变形、回弹，因此将有限元方法引入到装配偏差分析成为一种必然选择。在此基础上，各国学者对柔性装配偏差建模相继提出了一些开创性的研究方法和思路。Liu和Hu考虑了薄金属板焊接装配的工艺，将薄金属板简化为一维悬臂梁，提出了一维偏置梁模型1314。在模型中，Liu和Hu将金属板的装配分为串行装配（Assembly in series）和并行装配（Assembly in panel），如图6所示： (a) 串行装配 (b) 并行装配图6 串行装配与并行装配示意图首先，两根需要焊接在一起的一维梁其末端存在偏差分别为和；在焊枪的作用下，将两根

25、梁末端校正到理想位置，然后将其焊接在一起；最后，焊枪释放，在回弹的作用下，最终焊好的两根梁会产生的偏差。分析过程中，考虑梁最初的偏差很小，因此装配过程中梁的变形很小。因此假设装配过程中梁完全处于线性阶段；此外，将焊接的过程假设为仅仅是一个机械连接的过程，忽略了焊接热的影响。通过材料力学以及有限元工具的分析，最终回弹后产生的偏差与两根梁初始的偏差有如下线性的关系：若两根梁的偏差独立且服从正态分布，则最终装配偏差的均值与方差有以下关系：随后，Liu和Hu分析了装配顺序、多点焊接以及板厚等对装配偏差传递的影响，认为在并行装配过程中，零部件的几何偏差以及刚度均会影响到装配偏差；而在串行装配中，只有零件

26、的几何信息会影响到最终的装配偏差。通过分析实验结果，还得出以下结论：(a)当工装偏差较小时，相同板厚时的装配偏差最小；(b)较厚板的偏差对装配偏差起主要影响作用；(c)当工装的偏差较大时，板厚相差越大则装配偏差越小。总体来说，一维偏置梁模型比较创新性的给出了柔性装配偏差建模的新思路，但是由于将薄板件简化为一维悬臂梁，不能考虑复杂零件三维的变形，因此这种模型局限性很大，计算结果精度较差。在此基础上，Liu和Hu15对柔性金属板装配偏差建模做了进一步的深入研究。类似于一杯偏置梁模型，Liu和Hu将金属板焊接装配工艺简化为四个过程，如图7所示。图7 金属板装配过程示意图Liu和Hu先指出了一种通用的

27、柔性装配偏差建模的方法，即蒙特卡洛仿真（Monte Carlo Simulation）结合有限元分析（FEA）的分析方法。首先利用蒙特卡洛仿真的方法，通过一个随机数发生器生成零件偏差的分布，从而产生若干带偏差的零件模型。而后，对这些模型在装配过程中的装夹、焊接、释放过程进行有限元分析，最终得到回弹后工件的装配偏差分布。这种蒙特卡洛仿真的方法比较容易理解，理论上也能分析出比较准确的装配偏差，但实际操作过程十分复杂，计算量巨大，可操作性较低。采用结合有限元的蒙特卡洛仿真的基本流程如图8所示。图8 直接蒙特卡洛仿真流程图最终，Liu和Hu开创性的提出了柔性装配偏差分析的影响系数法（Method of

28、 Influence Coefficient， MIC）15。影响系数法分析装配偏差的假设有：(1) 装配过程中同时夹紧，同时释放回弹；(2) 装配过程中，零件变形处于线弹性阶段；(3) 零件材料各项同性；(4) 装配过程中的夹具以及其他设备均为刚性；(5) 忽略焊接过程中的热变形影响。如图7所示，假设零件最初存在偏差，在夹紧力作用下将其校正到理想位置，而后对零件进行焊接，则有：其中是未焊接前工件的刚度，下标u表示未焊接(unwelded)。焊好后，夹紧力释放，零件回弹，最终产生装配偏差。这一过程可看作是处在理想位置的装配体受到作用力作用，最后产生偏差，如图7-d所示，即：其中是焊接后装配体的

29、刚度，下标w表示已焊接(welded)。并且与相等，。综上可以得到零件偏差与装配偏差之间的关系：为了表达清楚，省去下标，得到：其中为回弹后的装配偏差，为装配前的零件偏差，表示装配偏差对零件偏差的敏感度矩阵（sensitivity matrix）。因此，通过蒙特卡罗法，利用随机数发生器生成零件偏差的分布，而后利用影响系数法，计算最终的装配偏差分布，可以有效的减轻直接蒙特卡罗法计算量大，计算效率低的问题，同时在装配偏差中考虑到柔性装配的影响。基于前面提到的线性假设，影响系数法通过以下思路求出影响系数矩阵。(1) 单位力相应（Unit Force Response）假设零件有N个偏差源，在第j个偏差

30、源上作用沿着偏差方向的单位力（j=1N），相应的零件的N个偏差源会产生变形为：则当第j个偏差源上作用的不是单位力，力的大小为Fj时，由线性前提，相应的零件的N个偏差源会产生变形为：由于线性条件下可以使用叠加原理，当零件每个偏差源上都作用有沿偏差方向的力Fj（j=1N）时，则整个系统每个偏差源位置产生位移为：(2) 矩阵求逆（Matrix inversion）对公式48中的矩阵求逆，可以得到对于整个系统有：即为刚度矩阵。公式49还可以改写为：上式中，刚度矩阵的每一列矢量可以认为是使得相应的第j个偏差源产生单位偏差所需要施加的夹持力，也可以认为是回弹过程中回弹单位位移所释放的夹持力。(3) 回弹计

31、算（Spring-back Computation）将需要装配的零件在有限元软件中连接固定起来(tie)，则通过在装配系统上作用的力，从而得到由于第j个偏差源存在单位偏差所引起的装配回弹后产生的回弹量为：其中，M表示的是感兴趣的回弹测点数量。因此，当第j个偏差源存在偏差为Vj时，装配回弹后产生的回弹量为：当考虑每个偏差源的偏差量后，可以得到整体的回弹量为：其中，即是表征装配偏差与零件偏差之间关系的敏感系数矩阵。应用影响系数法分析柔性装配偏差的流程如图9所示。假如零件偏差相互独立，则装配偏差的均值以及方差与零件偏差的均值和方差存在关系：如果偏差源相互之间不是独立的，则需要通过引入协方差矩阵对公式

32、53进行修正。图9 采用基于蒙特卡洛仿真的影响系数法分析流程图 而后，Hu等又进一步提出了装配偏差流理论16（Stream of Variation Theory），以预测和诊断多级装配系统中的偏差传递过程。基于对串行装配与并行装配的分类研究，Hu对装配偏差的可诊断性做了说明，并指出在金属板装配过程中，对于某个装配偏差集合，当且仅当只有一组偏差源与之相对应，则此时偏差源是可诊断的（full diagnosable），否则就是不可诊断的（non-diagnosable）。并且，串行装配过程是可以诊断的，而并行装配是不可以被直接诊断的。 随后，Liu和Hu17在小变形假设下，忽略零件在装夹过程中的

33、局部变形、材料硬化以及焊接热效应的影响，将车身的主要焊接接头划分为搭接(lap joint)、对接(butt joint)、对接-搭接接头(butt-lap joint)三种形式，如图10所示，并使用这三种接头分别搭接了三个方盒，如果11所示。利用力学偏差仿真模型（Mechanistic Variation Simulation）对三种接头及其构成的盒形结构进行了偏差特性分析。图10 基本接头形式图11 三种盒形结构最终，分析结果表明三种接头中，搭接接头和对接-搭接接头具有吸收偏差的功效，搭接接头装配尺寸质量最好，对接-搭接接头其次，对接接头装配质量最差。此外，金属板厚度对装配质量也有影响。随

34、着两块需要连接的金属板的厚度比增大，对接接头装配偏差不断下降，搭接接头装配偏差不大扩大；并且，随着厚度比无限增大，最终的装配偏差不断接近较厚板的装配偏差，如图12所示。图12 板厚对搭接、对接装配质量的影响进一步分析对接接头卷边长度对装配质量的影响。分析表明，随着对接接头卷边长度从10mm增加到30mm，装配偏差呈明显下降趋势，如图13所示。图13 对接接头卷边长度对装配偏差的影响影响系数法建立了零件偏差与装配偏差之间的映射关系，如公式51所示；当零件偏差相互独立时，装配偏差的均值以及方差与零件偏差的均值和方差还存在公式52、53的关系，应用协方差可表达为：结合上式以及公式53，在薄板焊装过程

35、中，增多焊点的数目，装配偏差的波动会增加。然后直观上，薄板焊装过程中增多焊点的数目会增强结构刚性，减小装配偏差，因此，在实际薄板装配过程中，由于薄板表面的连续性，各偏差源不可能相互独立，薄板零件毗邻点偏差的相互依赖被称为几何协方差（geometric covariance），如图14所示。基于此，Camelio18结合主元素分析方法（PCA）和有限元分析方法（FEA），利用零件尺寸偏差的协方差矩阵，提出了一种新的柔性装配偏差方，可以较好的提高计算效率和计算准确性。其中，PCA主要用来从产品测量数据中提取变形模式（deformation patterns），FEA主要用来确定每个变形模式对最终装

36、配偏差的影响。图14 零件偏差源相关性应用主元素分析法，可将一组相关变量转变为一组不相关的数据，即：因此，对于零件的偏差源，则有：结合影响系数法得到的敏感矩阵，计算装配偏差的协方差矩阵：其中，于是：式中，被称为偏差矢量，可以理解为第i个变形模式对装配偏差的影响。事实上，在薄板装配过程中，不是所有的变形模式都对装配偏差有很大影响，其中有一些是可以忽略不计的（很小），忽略这些影响小量，只需计算重要变形模式的影响（significant modes of deformation），最终，公式58进一步简化为：式中，p表示重要变形模式的数量。因此，通过计算偏差矢量以及偏差的变形模式，最终可以较高效率的

37、求得装配偏差的协方差矩阵，此种柔性装配偏差模型的分析流程如图15所示。图15 使用协方差矩阵的装配偏差模型分析流程图Hu和Camelio进一步对此前影响系数法及衍生出来的柔性装配偏差分析方法做了综述性的总结19。论文先简短回顾了单站位下的柔性装配偏差分析模型15以及多站位柔性装配系统的偏差传递模型20，而后提出了柔性装配公差分配（Tolerance allocation）21以及稳健型设计（Robust Design）22的方法。随后进一步提出了柔性装配过程的自适应控制（Adaptive Control）概念，通过在装配之前测量零件偏差，利用装配系统的微调能力（The fine adjustm

38、ent capabilities）时刻补偿零件的偏差，从而减小最终装配系统的偏差。柔性装配系统自适应控制的过程如图16所示：图16 柔性装配自适应控制流程相比有关影响系数法的研究工作，胡敏23直接利用有限元软件（ANSYS）进行柔性非线性零件的装配工艺仿真，同时，利用有限元软件自带的接触分析功能，建立了一种可以考虑零件接触的柔性装配工艺的数值仿真方法，为后续的研究提供了一种新思路。胡敏称这种分析方法为NVAM（new variation analysis method），其仿真思路如图17所示：图17 NVAM方法仿真装配工艺的流程图Liao和Wang24基于这种接触有限元方法，利用有限元软件

39、（ANSYS），进一步研究了接触对柔性非线性零件装配工艺的影响，并分析了在接触过程中考虑零件表面摩擦是否可以提高分析精度。而后，Liao和Wang更通过搭建实验平台，通过实际对两块金属板进行装配，如图18所示。并与有限元软件分析的结果做比对，研究表明，考虑装配过程中零件的接触可以获得更高的分析精度，而零件见的摩擦对于装配偏差分析影响不大。实验过程中，Liao把金属板点焊装配通过在金属板接触部位焊点位置用螺栓连接替代，从而忽略了焊接热变形的影响，简化了模型。图18 实际金属板装配实验平台然而，此前的柔性装配偏差分析模型均没有考虑零件表面的微观几何特性的影响。因此，Liao和Wang25基于分形几

40、何（Fractal Geometry）理论，结合有限元分析，研究零件表面的微观几何信息对装配偏差的影响。客观自然界中的事物，普遍具有结构的不规则形，而这种不规则中又常常包含一种固有的自相似性，即事物的局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性。而装配的零件表面的微观几何信息无疑也具有这样的特性。分型理论正式研究这种特性的理论方法。在分形分析中，分形维数D是一个重要的参数。欧拉空间中物体的维数都是整数，一条直线维数为1，一个平面维数为2，但在客观自然界，有些物体维数不是整数。如图19-(b)所示的分形曲线的维数满足1D2。图19 典型几何形状的分形维数Liao和Wang

41、引入了一个分形函数Weierstrass-Mandelbrot(W-M)函数，用来提取装配零件表面的微观几何信息。W-M函数的表达式如下：其中，D为轮廓表面的分形维数，G为一个度量常数。于是，通过测量仪器测量出零件表面轮廓的偏差数据，而后，利用功率谱密度分析（power spectrum analysis）结合对数变换，解得系统的分形维数以及度量常数。而后，将参数D和G带入W-M函数，综合计算重建零件表面微观几何偏差信息。之后，将这些偏差信息导入有限元分析，同样把装配过程简化为如图7所示的四个过程，建立了零件偏差与装配偏差之间的映射模型。研究结果表明，零件刚性越差，几何尺寸越小，则其表面微观几

42、何信息对最终的装配偏差影响越大。利用分形理论分析装配偏差的流程示意图如图20所示：图20 应用分形理论分析装配偏差流程图Liao以及Wang26进一步将小波分析引入装配偏差建模。通过将测量出的零件偏差信息作为信号，应用小波变换（Wavelets Transform），将零件偏差分解为不同等级的偏差分量。而后，同样基于图7的装配偏差模型，将不同的分量依次导入有限元软件，分析各自对最终装配质量的影响，从而识别出对装配偏差影响大的零件偏差等级，用于指导装配规划，提高装配质量。利用小波变换分析装配偏差的思路如图21所示。图21 利用小波变换分析装配偏差的流程图3. 基于刚柔综合的装配偏差建模传统基于刚

43、性假设的装配偏差分析模型存在精度比较低的问题，尤其是面对航空航天以及汽车工业中常用到的柔性较大的金属板装配问题时，常常显得力不从心。但现有的柔性装配偏差分析模型一般求解过程十分复杂，存在耗时长，效率低的问题，很多情况下可用性不强。这种情况下，一些学者在分析柔性薄板装配乃至加工系统中夹具设计时，应用了一种刚柔综合的分析方法。与传统分析方法相比，刚柔综合的偏差分析方法把零件装配过程中出现的偏差分为两大类，即刚体位移（kinematic variation or rigid-body error）以及柔性变形（static deformation）。基于小偏差、小变形、材料线弹性的大前提，分别用刚性

44、分析的方法（确定性分析，齐次变换矩阵法等）计算零件装配过程中的刚体位移，以及柔性偏差分析的方法（有限元分析，影响系数法等）计算零件装夹过程中的变形，最后利用叠加原理，求得零件装配过程中的偏差。Zhong和Hu2728研究了加工系统中零件装夹后的偏差。基于这种刚柔综合的偏差建模思想，分别利用齐次变换矩阵法（HTM）和有限元方法（FEM）计算零件的刚性偏差和柔性变形。其中，刚性偏差的产生是由于定位块的误差以及工件表面的几何误差；柔性偏差是由于工件在夹紧力作用下产生变形。研究工作的假设有：1) 偏差源分为刚性运动偏差和静态变形，且偏差很小，适用与叠加原理；2) 不同夹持点的夹紧力同时施加到工件上，夹

45、紧力方向垂直于定位基准面，并且不计摩擦；3) 夹具以及定位块等为刚体；对于确定性定位（3-2-1定位）的零件，首先把工件表面用一系列离散的点来进行表达，建立一种基于点的工件模型，如图22所示。图22 基于点的工件模型于是，这些点可以通过一个矩阵来进行表达，其中，表示工件表面一个点的齐次坐标。在实际仿真过程中，这些点可以根据各自的公差分布使用蒙特卡洛仿真生成。装配过程中的刚性偏差主要来源于两个方面，即工件偏差及夹具偏差，分别用齐次矩阵和表示。由于工件的六个定位点存在几何偏差，工件的连体坐标系从理论的LCS变为（）。这个偏差能够分解为在LCS坐标系中表示的线性偏差和角度转动偏差。其中，其中，表示坐

46、标系的单位矢量，通过各个定位点在LCS坐标系中的坐标，可以解得：最终，基于小偏差假设，矩阵有以下形式：于是，由于工件自身的定位基准面的几何误差，导致实际工件表面的任一点的坐标与该点在理想工件表面的坐标具有以下关系：同样，利用以上的计算方法可求出夹具定位点偏差的齐次矩阵。综上可以得到工件装夹的刚性偏差具有以下形式：而后，基于线性小变形的假设，利用有限元软件可以得到工件每个节点的变形与夹紧力的关系：式中，U表示工件表面各个节点在X，Y，Z方向的变形，C是工件的柔度矩阵，把U表达为齐次矩阵的形式，于是，基于叠加原理可以得到刚柔综合的工件装配偏差传递公式：在此基础上，Zhong和Hu研究了4-2-1定

47、位情况下基于刚柔综合的偏差模型28。对于一个4-2-1定位的工件，其主定位面有四个定位块，从而实际上可能出现5种定位方式，即工件主定位面被3个定位块支撑定位（3-2-1定位）或者被4个定位块同时定位支撑。因此，研究4-2-1定位情况下的偏差首先要判别出工件在夹具系统上实际的定位方式。首先，同样利用蒙特卡洛仿真生成工件和夹具定位块的模型。不管工件实际处于哪种定位方式，其主定位面至少与2个定位块始终保持接触。因此需要判别工件与哪两个定位块始终保持接触，显然，对此过程起决定性作用的是z方向的偏差。分别将定位块坐标以及理论上与之接触的主定位面上的点的坐标表达为和，i=14。因此，每个定位块-工件接触对

48、在z方向的总偏差为。将定位块-工件接触对和的连线的中心高度定义为和，分别有：和，如图23所示。显然，处于更高位置的定位块-工件接触对实际与工件主定位面始终保持接触。如果，则实际工件与定位块的接触对为；如果，则实际工件与定位块的接触对为，而如果，则工件实际与四个定位块都保持接触。图23 定位块-工件接触对的确定显然，倘若，则工件的定位方式仍然不确定（还有2种可能），例如，若始终保持接触，则还有和两种可能的定位方式。接下来，利用最小势能原理（the principle of minimum potential energy）可以确定工件稳定平衡的状态。利用公式66，计算剩下的两种可能定位方式定位的

49、变形和夹紧力，分别计算出其各自的势能：通过比较最终可以得到工件在4-2-1定位下实际的定位情况，并最终演化为一个3-2-1的定位方案。因此，可以利用此前关于3-2-1定位的偏差分析方法分析此时装夹的偏差。而对于，即工件与四个定位块均都保持接触的情况，可以任意在主定位面的4个定位块中选择三个，组成3-2-1定位进行偏差分析，唯一的区别在于，在计算柔性偏差时（公式66）需把边界条件设置为4个定位块同时与工件保持接触。综上所述，得到一种4-2-1定位下的刚柔综合的装夹偏差分析模型。参考文献：1 Chase K.W., Parkinson, A Survey of Research in the Ap

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