吉林单招理科数学模拟试题一含答案

1、 1 / 23 2019年吉林单招理科数学模拟试题（一）【含答案】 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1复数z满足方程错误!未指定书签。=i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 2已知集合A=x|x2+x20，集合B=x|（x+2）（3x）0，则（?RA）B等于（）Ax|1x3 Bx|2x3 Cx|2x1 Dx|2x1或2x3 3下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）Af（x）=错误!未指定书签。Bf（x）=错误!未指定书签。Cf（x）=2x2x D

2、f（x）=tanx 4已知“x2”是“x2a（aR）”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A（，4）B（4，+）C（0，4 D（，4 5已知角是第二象限角，直线2x+（tan）y+1=0的斜率为错误!未指定书签。，则cos等于（） A错误!未指定书签。B错误!未指定书签。C错误!未指定书签。 D错误!未指定书签。 6执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（）错误!未指定书签。 A16 B8 C4 D2 7（错误!未指定书签。错误!未指定书签。）8的展开式中，x的系数为（）A112 B112 C56 D56 2 / 23 8在ABC中，A=60°，AC=3，面积为错

3、误!未指定书签。，那么BC的长度为（）A错误!未指定书签。B3 C2错误!未指定书签。D错误!未指定书签。 9记曲线y=错误!未指定书签。与x轴所围成的区域为D，若曲线y=ax（x2）（a0）把D的面积均分为两等份，则a的值为（） A错误!未指定书签。B错误!未指定书签。C错误!未指定书签。 D错误!未指定书签。 10为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为me，众数为m0，平均值为错误!未指定书签。，则（） 错误!未指定书签。 Ame=m0=错误!未指定书签。Bme=m0错误!未指定书签。Cmem0错误!未指定书签。

4、Dm0me错误!未指定书签。 11已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=6，BC=2错误!未指定书签。，则棱锥OABCD的侧面积为（） A20+8错误!未指定书签。B44 C20错误!未指定书签。D4612函数f（x）=2sin（2x+错误!未指定书签。+）（|错误!未指定书签。）的图象向左平移错误!未指定书签。个单位后关于y轴对称，则以下判断不正确的是（） A错误!未指定书签。是奇函数B错误!未指定书签。为f（x）的一个对称中心Cf（x）在错误!未指定书签。上单调递增Df（x）在（0，错误!未指定书签。）上单调递减 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13

5、若变量x，y满足约束条件错误!未指定书签。，则z=2xy的最大值为14如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为错误!未指定书签。15已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：错误!未指定书签。错误!未指定书签。=1（a0，b0）渐近线的距离为错误!未指定书签。，点P是 3 / 23 抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为 16已知向量错误!未指定书签。，错误!未指定书签。的夹角为，|错误!未指定书签。+错误!未指定书签。|=2错误!未指定书签。，|错误!未指定书签。 错误!未指定书签。|=2则的取值范

6、围为 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17已知Sn为等差数列an的前n项和，S6=51，a5=13（1）求数列an的通项公式； （2）数列bn的通项公式是bn=错误!未指定书签。，求数列bn的前n项和Sn18袋中有大小相同的四个球，编号分别为1、2、3、4，从袋中每次任取一个球，记下其编号若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放同袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球 （1）求“第二次取球后才停止取球”的概率； （2）若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和数学期望 19在三棱椎ABCD中，AB=BC=4，

7、AD=BD=CD=2错误!未指定书签。，在底面BCD内作CECD，且CE=错误!未指定书签。 （1）求证：CE平面ABD； （2）如果二面角ABDC的大小为90°，求二面角BACE的余弦值错误!未指定书签。 20在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：错误!未指定书签。+错误!未指定书签。=1（ab0）的离心率为错误!未指定书签。且过点（3，1） （1）求椭圆C的方徎； 4 / 23 （2）若动点P在直线l：x=2错误!未指定书签。上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PM=PN，再过P作直线lMN，直线l是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由 21已知函数f（x）

8、=错误!未指定书签。m（x1）22x+3+lnx（m1）（1）求证：函数f（x）在定义域内存在单调递减区间a，b；（2）是否存在实数m，使得曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由 选修4-1：几何证明选讲 22选修41：几何证明选讲 如图，已知PA是O的切线，A是切点，直线PO交O于B、C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交O于点E，若PA=2错误!未指定书签。，APB=30° （）求AEC的大小； （）求AE的长 错误!未指定书签。 选修4-4：极坐标与参数方程 23选修44：坐标系与参数方程 在平面

9、直角坐标系x0y中，动点A的坐标为（23sin，3cos2），其中R在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为cos（错误!未指定书签。）=a （）判断动点A的轨迹的形状； （）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值选修4-5：不等式选讲 24已知函数f（x）=|x1|+|xa| 5 / 23 （1）若a=2，解不等式f（x）2； （2）若a1，?xR，f（x）+|x1|1，求实数a的取值范围2019年吉林单招理科数学模拟试题（一）参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1复

10、数z满足方程错误!未指定书签。=i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 【考点】复数代数形式的乘除运算 【分析】由错误!未指定书签。=i，得错误!未指定书签。，然后利用复数代数形式的除法运算化简，求出复数z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求 【解答】解：由错误!未指定书签。=i， 得错误!未指定书签。，即z=1+i 则复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，1） 位于第一象限 故选：A 2已知集合A=x|x2+x20，集合B=x|（x+2）（3x）0，则（?RA）B等于（）Ax|1x3 Bx|2x3 Cx|2x1 Dx|2x1或2x3 【

11、考点】交、并、补集的混合运算 【分析】求出A与B中不等式的解集确定出B，求出A的补集，找出补集与B的公共部分，能求出结果 6 / 23 【解答】解：集合A=x|x2+x20=x|2x1， 集合B=x|（x+2）（3x）0=x|2x3， （CRA）B=x|x2或x1x|2x3 =x|1x3 故选：A 错误!未指定书签。 3下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）Af（x）=错误!未指定书签。Bf（x）=错误!未指定书签。Cf（x）=2x2x Df（x）=tanx 【考点】奇偶性与单调性的综合 【分析】根据函数的解析式及基本初等函数的性质，逐一分析出四个函数的单调性和奇偶性，即可得到

12、答案 【解答】解：A中，f（x）=错误!未指定书签。是奇函数，但在定义域内不单调；B中，f（x）=错误!未指定书签。是减函数，但不具备奇偶性；C中，f（x）2x2x既是奇函数又是减函数； D中，f（x）=tanx是奇函数，但在定义域内不单调； 故选C 4已知“x2”是“x2a（aR）”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A（，4）B（4，+）C（0，4 D（，4 【考点】充要条件 【分析】由x2得到x24，根据充分不必要条件的概念得：a4 【解答】解：由题意知：由x2能得到x2a；而由x2a得不出x2；x2，x24； 7 / 23 a4； a的取值范围是（，4 故选：D 5已知角是第二象限角

13、，直线2x+（tan）y+1=0的斜率为错误!未指定书签。，则cos等于（） A错误!未指定书签。B错误!未指定书签。C错误!未指定书签。 D错误!未指定书签。 【考点】直线的斜率 【分析】表示出k，求出tan，根据角是第二象限角，求出cos即可 【解答】解：由题意得： k=错误!未指定书签。=错误!未指定书签。， 故tan=错误!未指定书签。， 故cos=错误!未指定书签。， 故选：D 6执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（）错误!未指定书签。A16 B8 C4 D2 【考点】程序框图 【分析】已知b=8，判断循环条件，i8，计算循环中s，i，k，当x8时满足判断框的条

14、件，退出循环，输出结果s即可 【解答】解：开始条件i=2，k=1，s=1，i8，开始循环， s=1×（1×2）=2，i=2+2=4，k=1+1=2，i8，继续循环， 8 / 23 s=错误!未指定书签。×（2×4）=4，i=6，k=3，i8，继续循环；s=错误!未指定书签。×（4×6）=8，i=8，k=4，88，循环停止，输出s=8；故选B： 7（错误!未指定书签。错误!未指定书签。）8的展开式中，x的系数为（）A112 B112 C56 D56 【考点】二项式系数的性质 【分析】先求出通项公式，再令4错误!未指定书签。r=1，由此可

15、得开式中x的系数 【解答】解：（错误!未指定书签。错误!未指定书签。）8的展开式的通项为Tr+1=（2）rC8rx4错误!未指定书签。r， 令4错误!未指定书签。r=1， 解得r=2， 展开式中x的系数为（2）2C82=112， 故选：B 8在ABC中，A=60°，AC=3，面积为错误!未指定书签。，那么BC的长度为（）A错误!未指定书签。B3 C2错误!未指定书签。D错误!未指定书签。【考点】三角形中的几何计算 【分析】根据三角形的面积公式求得丨AB丨，cosA=错误!未指定书签。，sinA=错误!未指定书签。，求得丨AD丨，丨BD丨在BDC中利用勾股定理即可求得BC的长度 【解答

16、】解：在图形中，过B作BDAC SABC=错误!未指定书签。丨AB丨?丨AC丨sinA，即错误!未指定书签。×丨AB丨×3×sin60°=错误!未指定书签。， 解得：丨AB丨=2， cosA=错误!未指定书签。，丨AD丨=丨AB丨cosA=2×错误!未指定书签。 9 / 23 =1，sinA=错误!未指定书签。，则丨BD丨=丨AB丨sinA=2×错误!未指定书签。=错误!未指定书签。，丨CD丨=丨AC丨丨AD丨=31=2， 在BDC中利用勾股定理得：丨BC丨2=丨BD丨2+丨CD丨2=7，则丨BC丨=错误!未指定书签。， 故选A 错误

17、!未指定书签。 9记曲线y=错误!未指定书签。与x轴所围成的区域为D，若曲线y=ax（x2）（a0）把D的面积均分为两等份，则a的值为（） A错误!未指定书签。B错误!未指定书签。C错误!未指定书签。 D错误!未指定书签。 【考点】直线与圆相交的性质 【分析】求出区域D表示（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，利用曲线y=ax（x2）（a0）把D的面积均分为两等份，可得错误!未指定书签。=错误!未指定书签。，即可得到结论 【解答】解：由y=错误!未指定书签。得（x1）2+y2=1，（y0），则区域D表示（1，0）为圆心，1为半径的上半圆， 而曲线y=ax（x2）（a0）把D的面积均分为两等份，

18、错误!未指定书签。=错误!未指定书签。， （错误!未指定书签。ax2）错误!未指定书签。=错误!未指定书签。，a=错误!未指定书签。， 故选：B 10为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为me，众数为m0，平均值为错误!未指定书签。，则（） 10 / 23 错误!未指定书签。 Ame=m0=错误!未指定书签。Bme=m0错误!未指定书签。Cmem0错误!未指定书签。Dm0me错误!未指定书签。 【考点】众数、中位数、平均数 【分析】根据题意，由统计图依次计算数据的中位数、众数、平均数，比较即可得答案 【解答】解：根据

19、题意，由题目所给的统计图可知： 30个得分中，按大小排序，中间的两个得分为5、6，故中位数me=5.5，得分为5的最多，故众数m0=5， 其平均数错误!未指定书签。=错误!未指定书签。5.97； 则有m0me错误!未指定书签。， 故选：D 11已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=6，BC=2错误!未指定书签。，则棱锥OABCD的侧面积为（） A20+8错误!未指定书签。B44 C20错误!未指定书签。D46 【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积 【解

20、答】解：由题意可知四棱锥OABCD的侧棱长为：5所以侧面中底面边长为6和2错误!未指定书签。， 它们的斜高为：4和2错误!未指定书签。， 所以棱锥OABCD的侧面积为：S=4×6+2错误!未指定书签。=44故选B 错误!未指定书签。 11 / 23 12函数f（x）=2sin（2x+错误!未指定书签。+）（|错误!未指定书签。）的图象向左平移错误!未指定书签。个单位后关于y轴对称，则以下判断不正确的是（） A错误!未指定书签。是奇函数B错误!未指定书签。为f（x）的一个对称中心Cf（x）在错误!未指定书签。上单调递增Df（x）在（0，错误!未指定书签。）上单调递减 【考点】函数y=A

21、sin（x+）的图象变换 【分析】利用诱导公式、函数y=Asin（x+）的图象变换规律求得所得函数的解析式，再利用三角函数的奇偶性、单调性，以及它的图象的对称性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论 【解答】解：把函数f（x）=2sin（2x+错误!未指定书签。+）（|错误!未指定书签。）的图象向左平移错误!未指定书签。个单位后，得到y=2sin（2x+错误!未指定书签。+）=2sin（2x+错误!未指定书签。 +）的图象，再根据所得关于y轴对称，可得错误!未指定书签。+=k+错误!未指定书签。，kZ，=错误!未指定书签。， f（x）=2sin（2x+错误!未指定书签。+）=2cos2x 由

22、于f（x+错误!未指定书签。）=2cos（2x+错误!未指定书签。）=sin2x是奇函数，故A正确；当x=错误!未指定书签。时，f（x）=0，故（错误!未指定书签。，0）是f（x）的图象的一个对称中心，故B正确； 在错误!未指定书签。上，2x（错误!未指定书签。，错误!未指定书签。），f（x）没有单调性，故C不正确； 在（0，错误!未指定书签。）上，2x（0，），f（x）单调递减，故D正确， 故选：C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 12 / 23 13若变量x，y满足约束条件错误!未指定书签。，则z=2xy的最大值为6 【考点】简单线性规划 【分析】由约束条件作出可行域，

23、化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】解：由约束条件错误!未指定书签。作出可行域如图，错误!未指定书签。 联立错误!未指定书签。，解得A（4，2）， 化目标函数z=2xy为y=2xz，由图可知，当直线y=2xz过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为6 故答案为：6 14如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为错误!未指定书签。错误!未指定书签。【考点】由三视图求面积、体积 【分析】首先还原几何体为正方体和三棱锥的组合体，分别计算体积得到所求 【解答】解：由三视图得到几何体如图： 其体积为错误!未指定书签。；

24、故答案为：错误!未指定书签。 错误!未指定书签。 15已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：错误!未指定书签。错误!未指定书签。=1（a0，b0）渐近线的距离为错误!未指定书签。，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为为错误!未指定书签。x2=1 【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质 13 / 23 【分析】确定抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，进而可得a=2b，再利用抛物线的定义，结合P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=2的距离之和的最小值为3，可得FF1=3，从而可求双曲

25、线的几何量，从而可得结论 【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C：错误!未指定书签。错误!未指定书签。=1（a0，b0）一条渐近线的方程为axby=0，抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：错误!未指定书签。错误!未指定书签。=1（a0，b0）渐近线的距离为错误!未指定书签。， 错误!未指定书签。， 2b=a， P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=2的距离之和的最小值为3，FF1=3， c2+4=9， c=错误!未指定书签。， c2=a2+b2，a=2b， a=2，b=1， 双曲线的方程为错误!未指定书签。x2=1 故答案为：错误!未指定书签。x2=1 16已知

26、向量错误!未指定书签。，错误!未指定书签。的夹角为，|错误!未指定书签。+错误!未指定书签。|=2错误!未指定书签。，|错误!未指定书签。 错误!未指定书签。|=2则的取值范围为错误!未指定书签。 【考点】向量的三角形法则 【分析】由|错误!未指定书签。+错误!未指定书签。|=2错误!未指定书签。，|错误!未指定书签。错误!未指定书签。|=2，可得：错误!未指定书 14 / 23 签。+2错误!未指定书签。=12，错误!未指定书签。2错误!未指定书签。=4，可得错误!未指定书签。，错误!未指定书签。，利用cos=错误!未指定书签。与基本不等式的性质即可得出 【解答】解：由|错误!未指定书签。+

27、错误!未指定书签。|=2错误!未指定书签。，|错误!未指定书签。错误!未指定书签。|=2，可得：错误!未指定书签。+2错误!未指定书签。=12，错误!未指定书签。2错误!未指定书签。=4，错误!未指定书签。=82错误!未指定书签。，错误!未指定书签。=2，cos=错误!未指定书签。错误!未指定书签。 错误!未指定书签。 故答案为：错误!未指定书签。 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17已知Sn为等差数列an的前n项和，S6=51，a5=13 （1）求数列an的通项公式； （2）数列bn的通项公式是bn=错误!未指定书签。，求数列bn的前n项和Sn

28、 【考点】等比数列的前n项和；等比关系的确定 【分析】（1）设等差数列an的公差为d，利用S6=51，求出a1+a6=17，可得a2+a5=17，从而求出a2=4，可得公差，即可确定数列an的通项公式；（2）求出数列bn的通项公式，利用等比数列的求和公式，可得结论 【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，则 S6=51， 错误!未指定书签。×（a1+a6）=51， a1+a6=17， a2+a5=17， 15 / 23 a5=13，a2=4， d=3， an=a2+3（n2）=3n2； （2）bn=错误!未指定书签。=2?8n1， 数列bn的前n项和Sn=错误!未指定书签。=错误

29、!未指定书签。（8n1） 18袋中有大小相同的四个球，编号分别为1、2、3、4，从袋中每次任取一个球，记下其编号若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放同袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球 （1）求“第二次取球后才停止取球”的概率； （2）若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和数学期望 【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式 【分析】（1）记“第二次取球后才停止取球”为事件A，利用相互独立事件同时发生的概率计算公式能求出“第二次取球后才停止取球”的概率（2）由已知条件推导出X的可能取值为3，5，6，7，分别求出相对应的概率，

30、由此能求出X的分布列和数学期望EX 【解答】解：（1）记“第二次取球后才停止取球”为事件A 第一次取到偶数球的概率为错误!未指定书签。=错误!未指定书签。，第二次取球时袋中有三个奇数， 第二次取到奇数球的概率为错误!未指定书签。，而这两次取球相互独立， P（A）=错误!未指定书签。×错误!未指定书签。=错误!未指定书签。（2）若第一次取到2时，第二次取球时袋中有编号为1，3，3，4的四个球； 16 / 23 若第一次取到4时，第二次取球时袋中有编号为1，2，3，3的四个球X的可能取值为3，5，6，7， P（X=3）=错误!未指定书签。×错误!未指定书签。=错误!未指定书签。

31、，P（X=5）=错误!未指定书签。×错误!未指定书签。+错误!未指定书签。×错误!未指定书签。=错误!未指定书签。， P（X=6）=错误!未指定书签。×错误!未指定书签。+错误!未指定书签。×错误!未指定书签。 =错误!未指定书签。，P（X=7）=错误!未指定书签。×错误!未指定书签。=错误!未指定书签。，X的分布列为： X 3567 P 错误!错误!错误!错误! 未指未指未指未指 定书定书定书定书 签。签。签。签。 数学期望EX=3×错误!未指定书签。+5×错误!未指定书签。+6×错误!未指定书签。+7×

32、;错误!未指定书签。=错误!未指定书签。 19在三棱椎ABCD中，AB=BC=4，AD=BD=CD=2错误!未指定书签。，在底面BCD内作CECD，且CE=错误!未指定书签。 （1）求证：CE平面ABD； （2）如果二面角ABDC的大小为90°，求二面角BACE的余弦值错误!未指定书签。 【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定 【分析】（1）由BD=CD=2错误!未指定书签。，BC=4，可知BDCD，再由CECD，可得CEBD，利用线面平行的判定定理可得结论； 17 / 23 （2）当二面角ABDC的大小为90°时可得AD平面BDC，取AC中点F，AE中

33、点G，可证BFG为二面角BACE的平面角，连接BG，通过解三角形可求得BFG，从而得到答案 【解答】（1）证明：BD=CD=2错误!未指定书签。，BC=4，BD2+CD2=BC2， BDCD， CECD，CEBD， 又CE?平面ABD，BD?平面ABD， CE平面ABD； （2）解：如果二面角ABDC的大小为90°， 由ADBD得AD平面BDC，ADCE， 又CECD，CE平面ACD，从而CEAC， 由题意AD=DC=2错误!未指定书签。，RtADC中，AC=4，设AC的中点为F，AB=BC=4，BFAC，且BF=2错误!未指定书签。，设AE中点为G，则FGCE， 由CEAC得FGA

34、C，BFG为二面角BACE的平面角，连接BG，在BCE中，BC=4，CE=错误!未指定书签。，BCE=135°，BE=错误!未指定书签。，在RtDCE中，DE=错误!未指定书签。=错误!未指定书签。，于是在RtADE中，AE=错误!未指定书签。=3错误!未指定书签。，在ABE中，BG2=错误!未指定书签。AB2+错误!未指定书签。BE2错误!未指定书签。AE2=错误!未指定书签。， 在BFG中，cosBFG=错误!未指定书签。=错误!未指定书签。，二面角BACE的余弦值为错误!未指定书签。 错误!未指定书签。 18 / 23 20在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：错误!未指定书签

35、。+错误!未指定书签。=1（ab0）的离心率为错误!未指定书签。且过点（3，1） （1）求椭圆C的方徎； （2）若动点P在直线l：x=2错误!未指定书签。上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PM=PN，再过P作直线lMN，直线l是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】（1）由已知条件推导出错误!未指定书签。，同此能求出椭圆C的方程（2）直线l的方程为x=2错误!未指定书签。，设P（2错误!未指定书签。，y0），错误!未指定书签。，当y00时，设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知x1x2，利用点差法l的方程为错误!未指定书

36、签。，从而得到l恒过定点错误!未指定书签。当y0=0时，直线MN为错误!未指定书签。，由此推导出l恒过定点错误!未指定书签。 【解答】解：（1）椭圆C：错误!未指定书签。+错误!未指定书签。=1（ab0）的离心率为错误!未指定书签。且过点（3，1），错误!未指定书签。， 解得a2=12，b2=4， 椭圆C的方程为错误!未指定书签。 （2）直线l的方程为x=2错误!未指定书签。， 设P（2错误!未指定书签。，y0），错误!未指定书签。， 当y00时，设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知x1x2，联立错误!未指定书签。， 错误!未指定书签。， 错误!未指定书签。， 19 / 23 又PM

37、=PN，P为线段MN的中点， 直线MN的斜率为错误!未指定书签。， 又lMN，l的方程为错误!未指定书签。， 即错误!未指定书签。， lxx过定点错误!未指定书签。 当y0=0时，直线MN为错误!未指定书签。， 此时l为x轴，也过点错误!未指定书签。， 综上，lxx过定点错误!未指定书签。 21已知函数f（x）=错误!未指定书签。m（x1）22x+3+lnx（m1）（1）求证：函数f（x）在定义域内存在单调递减区间a，b；（2）是否存在实数m，使得曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由 【考点】利用导数研究曲线上某

38、点切线方程；利用导数研究函数的单调性 【分析】（1）令f（x）=0，因为0，所以方程存在两个不等实根，根据条件进一步可得方程有两个不等的正根，从而得到函数f（x）存在单调递减区间； （2）先求出函数y=f（x）在点P（1，1）处的切线l的方程，若切线l与曲线C只有一个公共点，则只需方程f（x）=x+2有且只有一个实根即可 【解答】（1）证明：令f（x）=0，得mx2（m+2）x+1=0（*）因为=（m+2）24m=m2+40，所以方程（*）存在两个不等实根，记为a，b（ab）因为m1，所以a+b=错误!未指定书签。0，ab=错误!未指定书签。0， 所以a0，b0，即方程（*）有两个不等的正根，

39、因此f（x）0的解为a，b故函数f（x）存在单调递减区间； 20 / 23 （2）解：因为f（1）=1，所以曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l为y=x+2若切线l与曲线C只有一个公共点，则方程错误!未指定书签。 m（x1）22x+3+lnx=x+2有且只有一个实根 显然x=1是该方程的一个根 令g（x）=错误!未指定书签。m（x1）2x+1+lnx，则g（x）=错误!未指定书签。当m=1时，有g（x）0恒成立，所以g（x）在（0，+）上单调递增， 所以x=1是方程的唯一解，m=1符合题意 当m1时，令g（x）=0，得x1=1，x2=错误!未指定书签。，则x2（0，1），易得g（x）

40、在x1处取到极小值，在x2处取到极大值所以g（x2）g（x1）=0，又当x0时，g（x），所以函数g（x）在（0，错误!未指定书签。）内也有一个解，即当m1时，不合题意综上，存在实数m，当m=1时，曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与C有且只有一个公共点 选修4-1：几何证明选讲 22选修41：几何证明选讲 如图，已知PA是O的切线，A是切点，直线PO交O于B、C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交O于点E，若PA=2错误!未指定书签。，APB=30° （）求AEC的大小； （）求AE的长 错误!未指定书签。 【考点】与圆有关的比例线段 【分析】（）先连接AB，根据切线的性质以及已知