《广猛说题系列之胡不归与阿氏圆两类系数不为1的最值小例》(上集)

1、广猛说题系列之胡不归与阿氏圆两类系数不为1的最值小例（上集）广猛说题系列之胡不归与阿氏圆两类系数不为1的最值小例（上集）刚刚结束不久的我校第 6次独立练习中，填空题最后一题“坑”住了全年级几乎所有学生，笔者任教的两个班级中，九（2）班只有一个人做对了，而九（13）班也只有两三人尔！究竟是什么题难住了如此之多“英雄好汉”呢？且随我一同去观望观望：原题重现：（来源：高邮市赞化学校独立练习（6）如图1所示，抛物线 y=xA2 - 2x-3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于 巳且tan / EBA=4/3 有一只蚂蚁从 A出发，先以1单位/s的速度爬到线段 BE上的点D处，再以1.25单位/s

2、的速度沿着DE爬到 E点处觅食，则蚂蚁从 A到E的最短时间是s.第11页共11页要想解决这个所谓“难题”，不得不提起一起著名的、大名鼎鼎的、古老的“胡不归”问题一、模型典故（“胡不归”问题），下文来源于网络然而，当他有一则古老的历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了.人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？”早期的科学家曾为这则古老传说中的小伙子设想了一条路线：如图1-1所示，A是出发地，B是目的地；AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧全是砂土地带.为了急切回家，小伙子选择了直线路程AB.但是，

3、他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素.如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但那么，他应该选择那条路线呢？显然，根据两种路面的状况和在其上行走的速度值，可以在AC上选定一点D,小伙子从A走到D,然后从D折往B,可望最早到达目的地 B.用现代的数学语言表达出来就是：已知在驿道和砂地上行走的速度分别为V1和V2 ,在AC上找一定点D,使从A至D、再从D至B的行走时间最短.于是，问题在于如何去找出D点.这个古老的“胡不归”问题风靡了一千多年，一直到十七世纪中叶，才由法国著名科学家费尔马揭开了它的面纱.二、模型解决4 O1 OR第一步（设出时间t,将数学问题字母化）,谩总时间为

4、h则十里J这里匕吨IK匕要求的就是的最小信,这是一个系数不为1的最11问题，而且有两个系数均不为1；第二步（提取“大系期r ?优为只有一个系数不为1的最值问题）:一般情况下,遇 到两个系数不为1的最值问题，首先要将其转化为单个系薮不为1的最值问题，这个转化 还是比较好实现的只需提取一个系数出来即可m问题是，该提取哪个系刿比较好呢？一般情况下，提取数值比较大的那个系数：堂本例耒说，由匕 上知1的表达式中两个系额因而应该提取,出来，即仁.匕%注意这里匕与匕均为常数？这样要求t的最小值，只要求皿）十口3的最小值即可从而问题被转化为单个系数不为I的最值问题?第三步（构造三角函麴，化为系糊均为1的常提量

5、值问题）：如何求解Z /Q+DB的最小值问题呢？还是要想办法处理不为1的系数，将系额都化为L但是问题来了，此时明显不能再用提取系数的办法了！那咋办？数学是门神奇的科学，只有你想不到,没有她做不到的！联想到初中阶段学到的锐角三角的数.可以构造一个直角三隹形，将不为1的系数无 形中化为1,这也是解决所谓“胡不归”问题的核心与难点所在,具体操作如下；由与H联想到三角函数值，如图L2所示，过定点A在直线AC的下方构造锐角NCAE=ct 使fti两足 s ino(= - 5y DQy再过动点D作DG1AE于点G,则sinct = - =，从而有DG=二，月Dj 匕，。匕0图12要求生4D+DB的最小值问

6、题,就被顺利转化为的最小值同瓶，变成了一个系教均为1的常规最值问题，需要特别提醒大家的是，这里的关键角“是依托于哪些考虑作出来的呢？注意到最原始的“胡不归”问题是一个“两定一动型”最值问题，只不过系数不为1 了而已；如图1-2，点A和点B是两个定点，点 D是一个动点，且定点 A与动点D在同一条定直线 AC上；上面的角a其实就是依托 于这里的定点 A及定直线AC做出的，即过定点 A作一条射线与定直线 AC所交锐角为角 a即可！说到底就是“抓不变量”的解题策略，依托于定点A及定直线AC作角”，使其满足sin a =V2/V1 ,即可顺利将所谓“胡不归” “难题”转化为系数均为1的常规最值问题！ 第

7、四步（利用“垂等段最短嫁理3解决去教均为1的常摄最侑问墨）：注意到构造 的AE也是一条定射线，要求QG+DB的最小值问题上其实就是在两定直线AC、AE±分别找点D、G,且DG_LAE?使DG + QH最小.先利用两点之间线段最短内易知DG 4。耳之EG ,当且仅苜B、D、G三点共缄时取等号；如图1-3所示，再利用门垂线图是短只需过点B作BG1AE于点G,此时BG最小， 则BG与AC的交点即为所要寻找的点Dm因而广工（匕_"）+。）=193+口的 > J_BG = ，苴中工二、V. V. XH 匕*AB及/5，G均为常值,故所求时间的最小值为-dBrin/8HG.匕至此

8、，“胡不归"模型得到完美解;夬！如果建竟一息的父亲能够坚持到工.45通也/左1。这个时间，那么就熊第见他的儿子最后一面了！I三、原题解决回到找们最初的考题上,设蚂蚁从点A到点E所需的时间为如图1-4,则AD DE4DE小工匕曰 -B j. _42?£田日心+ -AD +，要求的武正t的服小值，EH AD的取小值；11.2555很明显，这就是一个典型的“胡不归"问题,可按照上述解决模型的步舞进行操作；图】第一步（构三甬函数，化系氮（为1）；由系数3vl脏想到三角函数值，如图1-5所示,过定直线EB上的定点E在直线EB的上方构道锐雷/EEF=使其满足飒二3 .VmVn

9、n 5_4 DG4再过动点D作DG_LEF于点G，则siua = 一 = ,从而有DG= -DE）5 DE54DE这样也dD +士空=AD珏寅转化为了常规的系数均为1的最值问题s5第二步寻题目特殊性，重新调整图形）；但先不要忙于计算，我们还要较祝地意识到此题有个角很特殊,那就是tanNE电二士，由此易知nnNEEAr3 ,因而刚刚我们所作 35的/EEF=/E郎？从而发现此题的特殊性即EFh轴,接下来我们把图形调整成图L6 3第三步（利用“垂线段最姮原理”'解法系剂均为1的常规曷值问题）:注意到构造 的珏也是一条定射线,要求如+国的最小值问题，其实就是在商定直线EB、EF上分别找 点D

10、、G且DG1EI j使AD+DG最小.先利用“两点之间缄段最短“易知dD + DG之HG7当且仅当A、D、G三点扶线时 取等号3如图1-7所示/再利用“垂线段最短”只需过点A作AG1EF于点G此时AG最小? 则AG与EF的交点即为所要寻找的点因而t=/D十=ADtD&> AG,故所求时间工的最小值即为AG的长，即点E的纠坐5行的值，下面求出有E的坐标即可；第四步（求定点 E的坐标）：这里提供两种方法求点 E的坐标；方法一（求交苴坐标）：设直线EE与七轴交于点如图1-宫所示，由题易知点B的坐标为，在中由三知51=4,则点M坐标为0, 4） ?34由B （3, 0）及“必4）可得直线

11、ER的解析式为尸-二肝制4.V =汗+4«4联立直线EE与抛物线的解析式得： i ，即 L2h3 = 4 ,即r3y =32x-33r-2.ir21= 0,解之得为=-2 , £ =3 （舍去）.故点F的坐标为 -,）;3 a39图1-8方法二（谩坐标法）：设点E的坐标为（如t2-2t-3）；过点E作轴干点H,如图1-9所示.在RtAEHB中由MriNEB4二一可得 3477-（r + i） = -T解得f = .故袅E的坐标为（ 3334DE64因此j所求时间=，刀+士丝的最小值为”.59此题搞定，所谓的“难题“看耒也不是太难啊.里，即"3X1 + 1），即BH 3玩的都是“套路”！解题后反思：平时“套路”积累多了，真的遇到了所谓的“套路题”，同学们就能立于不败之地了！这题也给 我们的教学一定的启发性，即应该重视模型教学这一块！有人说“成也模型，败也模型”，但我想说如果真的 不讲模型或者说不先经历模型过程，真的想跳出模型达到更高境界也是痴心妄想！初中阶段学生还是应该重视 模型的积累与应用过程，可以这样说，每一节新课，每一