三角形全等的判定_经典习题

1、三角形全等的判定本节主要通过画两个全等的三角形，引导学生发现问题：要求证两个三角形全等需要些“边边边”、“边角边”、“角，接着进一步引导学生思考证明什么条件，然后由学生动手操作发现求证两三角形全等的条件有: 边角”、“角角边”以及两直角三角形全等的“斜边直角边” 三角形全等的思路，帮助一些看到证明题就头痛的学生解决问。.三角形全等的判定这是本节的重点知识，在【知识点击】 、【典例引路】、【当堂检测】、【基础训练】中设置 了相应的例题以提高解题能力。二.易错点因为证明三角形全等的条件较多，学生很容易把“边边角”也用来证明三角形全等，值得注意的是，这“边边角”并不是三角形全等的条件。sss点击一：

2、边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“点击二：边角边公理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“ SAS ”点击三：角边角公理:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“ ASA点击四：角角边推论:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“ AAS' 点击五：直角三角形全等的条件还有“斜边直角边公理”:有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边直角边”或“HL”.点击六：全等三角形的应用：证明线段或角相等，通常先观察要证明的线段或角分布在怎样的两个可能全等的三角形中，再分析这

3、两个三角形全等已经有什么条件，还缺少什么条 件，最后证出所缺条件。点击七：证明三角形全等的思路由于证明三角形全等的方法较多，因此证明两个三角形全等的思路与其他证明题目的思路有所不同，它不是先想用什么方法去证，而是先分析条件，观察待证全等的两个三角形中, 已经具备了哪些条件，然后以其为基础，观察其他需要的条件，最后证出需要的条件。例如：易得两边对应相等，则应再找夹角相等 ，在（1）（2）中证出一个条件,（2）第三边相等则可以证出三角形的全等。类型之一 :SSS已知：如图，点 B、E、C、F在同一直线上,AB=DE、AC=DF、BE=CF。求证： ABC DEF。【解析】已知中给的条件均为线段，由

4、此可以考虑从边边边公理证明，这里又需用到等量公理。【答案】证明:/ BE=CF BE+EC=EC+CF （等量加等量和相等）AB =DE （已知）« AC = DF （已知）BC = EF （已证）L ABC DEF （ SSS）类型之二：ASA已知：如图，/ 1= / 2,/ ABC= / DCB。求证：AB=DC。【解析】证明线段或角相等时，常归结到线段或角所在的三角形的全等上，这是三角形全等判断的一种应用。本例要证明AB=DC，以它们所在的三角形全等为证明的手段，就是这种应用的一个例子。要证AB=DC，只需证明 ABC也DCB。【答案】证明：/ 1= / 2, / ABC= /

5、 DCB,/ ABC -/ 1 = / DCB -/ 2/ DBC= / ACB在 ABC和 DCB中:/ ><1NABC =2rDCBBC = BCNACB =NDBC:. ABC DCB（ASA） AB=DC类型之三:AAS已知：在 ABC中，AD为BC边上的中线,CE 丄 AD , BF 丄 AD。求证：CE=BFC问题便可解决,【解析】将CE与BF放在 CED与 BFD中，证明这两个三角形全等,而全等条件经过已知的转化是可以得到的。【答案】证明:/ CE 丄 AD , BF 丄 AD/ CED= / BFD=90 ° （垂直定义）/ D为BC中点 BD=DC （线

6、段中点定义）/dec =NBFD （已证）在 DEC与 DFB中EDC =NFDB（对顶角相等）ICD = BD （已证） DEC DFB （ AAS ） CE=BF （全等三角形对应边相等）类型之四：综合已知：如图，AB=DE , BC=EF , CD=FA，/ A= / D。求证：/ B= / E。【解析】要证/ B= / E,通常的思路是要证 ABC DEF，但如果连结 AC、DE就ABFDEC，于是可会破坏/ A= / D的条件。因此应当另想他法。观察后不难发现：/ DEF证/ ABF= / DEC，进一步即可证明/ ABC=【答案】证明：连结 BF、CF、CE在 ABF和 DEC中A

7、B =DEFA =CD ABF DEC ( SAS)/ 1= / 2, BF=EC在 BFC和 ECF中'BF =EC* BC = EFCF =FC BFC ECF ( SSS)/ 1 + / 3= / 2+/4,即：/ ABC= / DEF说明：如果直接证明线段或角相等比较困难时，可以将线段、角扩大（或缩小）或将线 段、角分解为几部分，再分别证明扩大（或缩小）的量相等；或证明被分成的几部分对应相等，这是证明线段、角相等的一个常用手段。1. 如图两根长度相同的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？说明你的理由.【解析】审好题目相当于做对这道

8、题的一半！所以，实际应用的题目一定要仔细审清题目，找出各个量之间的关系.“由长度相同的绳本题关键是要将实际生活的语言说明转化为数学上的各个量的关系.子”可知 AB= AC而要求的是木桩 B、C与O之间的距离关系， 即求证BO= CO有了明确的已知、求证，剩下的就是纯粹的全等证明了.【答案】相等.证明：由题意 AO! BC / AOB=/ AOG 90°NE 在厅和肮g中込皿 Rt AOi§ Rt AOC( HL)- BO= CO2.已知：如图， AD为 ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F,且有BF=AC ,FD=CD，求证:BE 丄 AC。【解析】本题考察“ HL”

9、公理的应用。要证 BE丄AC,可证/ C+/ 1=90°，而/ 2+ / 1=90° ,只需证/ 2= / C。从而转化为证明它们所在的 BDF与 ADC全等，而这由“ HL”公理不难得证。【答案】证明：AD 丄 BCBDA= / ADC=90 1 + / 2=90在 Rt BDF 和 Rt ADC 中BF =ACIFD =CD Rt BDF 也 Rt ADC ( HL )/ BEC=90 BE 丄 AC当1.已知：如图AC=BD ,/ CAB= / DBA。求证：/ CAD= / DBC。【解析】由已知，再加上一组公共边等，可以得到ABC与 BAD全等，由性质得对应角相等

10、，再由等量公理可得证。【答案】证明：在 ABC和 BAD中,AB =AB（公共边） «NCAB =NDBA（已知）AC = BD （已知） ABC BAD （ SAS） / CBA= / DAB （全等三角形对应角相等）又/ CAB= / DBA （已知）/ CAB- / DAB= / DBA- / CBA （等量减等量差相等）/ CAD= / DBC。2.已知，如图，HI / BC , JI/ AB。BIH IBJ求证:【解析】从已知寻找三角形全等的条件:由平行,可以得角等，又有一组公共边，因此选择用角边角公理可证明。【答案】证明： HI / BC/ HIB= / JBI（两直线平

11、行，内错角相等）/ JI / BA/ HBI= / JIB（两直线平行，内错角相等）2HIB =NJBI(已证)在 BIH 与 BIJ 中Bl = BI (公共边)NHBI =NJIB(已证)备目1.已知：如图， AB=DC , AE=DF , CE=FB，求证:【解析】要证 AF=DE，可证 AFB与 DEC全等,先证 AEB与 DFC全等。【答案】证明： CE=FB CE+EF=FB+EF，即：CF=BE在 AEB和 DFC中:AB = CDAE = DFBE = CF AEB N DFC ( SSS)在 AFB 和 DEC 中:j AB = CDbF =CE AFB N DEC ( SA

12、S) AF=DEAF=DE。但还缺少相关角相等的条件，所以B说明：本例是一个通过两次全等才能得到结论的题目，第一次全等的证明为第二次全等的证明创造必要的条件。2.已知：如图， ABC中，D是BC的中点，/ 1 = / 2,求证：AB=AC 。1= /2; BD=CD ,全等，于是要利用角平分线来构造两个全等的三角形。【答案】证明：作DE1AB于E, DF丄AC于F/ 1= / 2, DE 丄 AB 于 E, DF 丄 AC 于 F DE=DF （角平分线上的点到角的两边的距离相等）/ D是BC的中点【解析】此题看起来简单，其实不然。题中虽然有三个条件（/AD=AD ），但无法证明 ABD也AC

13、D。因此一定要找到别的角相等才能证明这两个三角形 BD=CD DE 丄 AB 于 E, DF 丄 AC 于 F / BED=90 , / CFD=90在 Rt BDE 和 Rt CDF 中BD =CDDE =DF Rt BDE 也 RtA CDF ( HL ) BE=CF同理可证AE=AF AE+BE=AF+CF 即 AB=AC课时作业:A等级1、指出下图中的全等三角形各有几对，分别是哪些三角形。 ABC 中，AB=AC , D 为 BC 中点，DE 丄 AB , DF 丄 AC2、指出下图中的全等三角形各有几对，分别是哪些三角形。OA=OB , OC=OD3、指出下图中的全等三角形各有几对，

14、分别是哪些三角形。 ABC 中，AB=AC，AE=AF，AD 丄 BC 于 D4、判断)1.三个角对应相等的两个三角形全等 )2.顶角及腰上的高相等的两个等腰三角形全等 )3.全等三角形对应的中线相等)4.有一边相等的两个等腰直角三角形全等5、 ABC和 A B C '中，已知/ A= / B ，AB=B C '，增加条件可使 ABC BA B 'C A (ASA).6、A ABC中/ C=90,BC > AC , E 在 BC 上，且 BE=EA. / CAE :/ B=4 : 7,则/CEA=7、A ABC 中，/ C=90,BE为角平分线，ED丄AB于D，若

15、AE+ED=5cm,贝U AC=8、四边形ABCD 中,边 AB=DC , AD=BC , / B=40 °，则/ C=9、厶 ABC中，AB=AC，两中线BE, CF交于O,则按条件所作图形中共有.对全等三角形.10、如图,AC丄BE,AC=CE,CB=CF，把 EFC绕点 C逆时针旋转 90° ,E落在点上，F落在点上.B等级11、判断）1.全等三角形的对应角相等，反之也成立 ）2.周长为16,一边长为5的两个等腰三角形全等 ）3.有两个角及一条边相等的两个三角形全等 ）4.有锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等12、BP为/ ABC平分线，D在BP上，PA丄BA于A

16、 , PC丄BC于C,若/ ADP=35贝BDC=13、若 ABCA B C ,且 AB=10cm , BC=6cm,则 A C '的取值范围为14、在 ABC和 DEF中，/ C= / D, / B= / E,要使两三角形全等， 需增加条件（）A. AB=EDB. AB=FDC,AC=FDD. / A= / F15、下列条件能判断 ABC DEF的是（）A. / A= / D, / C= / F, / B= / E B. / A= / D,AB+AC=DE+DFB. / A= / D, / B= / E,AC=DFD. / A= / D,AC=DF,BC=EF16、A ABC 中，/

17、 C=90 ° , AD为角平分线，BC=32 , BD : DC=9 : 7,则点D到AB的距离为（）A.18cmB.16cmC.14cmD.12cm17、/ MON的边OM上有两点A、C, ON 上有两点 B、D，且 OA=OB , OC=OD , AD ,BC 交于 E,则 OAD OBC,ACE BA BDE，连 OE.则OE平分/ AOB，以上结论（）A.只有一个正确B.只有一个不正确C.都正确D.都不正确18、A ABC 中，/ C=90° ,AC=BC , AD 为角平分线，DE丄AB 于 E,且 AB=6cm，则 DEB的周长为（）A.4cmB.6cmC.8

18、cmD.IOcm19、B为AC上一点，在 AC同侧作等边 EAB及等边 DBC,那么下列式子错误的是A. ABD EBCB. / BDA= / BCEC. AABE N BCDD.若BE交AD于M , CE交BD于N，那么NBC MBD20、线段 OD=DC ,A在OC上，B在OD上,且 OA=OB , OC=OD , / COD=60 °，/C= 25 , AC , BC 交于E,则/ BED的度数是（A. 60°B.70C.80D.50C等级21、已知： ABC中,D、E、F分别是 AB、AC、BC 上的点，连结 DE、EF,/ ADE=/ EFC，/ AED= / A

19、CB ,DE=FC。求证： ADE BA EFC22、已知： ABC 是等边三角形，/ GAB= / HBC= / DCA , / GBA= / HCB= / DAC。求证： ABG BA BCH CAD。23、已知：如图/ 1 = / 2,/ 3=/ 4，求证： ABC ABD。D24、已知：AB=CD , AB / DC。求证： ABC CDA。A/ABE= / ACD。25、已知：DA 丄 AB，CA 丄 AE，AB=AE，AC=AD。求证：DE=BC。26、已知： ABC中，AB=AC , D、E分别为AB、AC的中点。求证:27、已知：如图 AC=BD , / CAB= / DBA。

20、求证：/ CAD= / DBC。28、如图，AB=CD , AE 丄 BC, DF 丄 BC,垂足分别为 E, F, CE=BF.求证：AB / CD .29、如图，AE 丄 BC, DF 丄 BC , E, F 是垂足，且 AE=DF , AB=DC ,求证：/ ABC= / DCB.c30、我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等?阅读与证明:对于这两个三角形均为直角三角形,显然它们全等。对于这两个三角形均为钝角三角形,可证明它们全等（证明略）对于这两个三角形均为锐角三角形,它们也全等，可证明如下:已知： ABC、 A1B1C1 均为锐

21、角三角形，AB=AiB, BC= B1C1 , / C= / Ci .证明：ABCAi BiCi.（请你将下列证明过程补充完整 ）证明：分别过点 B、Bi，作BD丄CA于D, BiDi丄& A,于D ,则/ BDC= / BiDiCi =90o.- BC= BiCi ,/ C= / Ci .BiCi D1 , BD= Bi Di .归纳与叙述:由可得到一个正确结论，请你写出这个结论A等级答案1.3 对， ADE ADF , DBE DCF , BDA CDA2.3 对， OEC OED , ECA EDB , OEA OEB3.3 对， ABD ACD , AED AFD , ABE

22、ACF4.1.)X 2.)V 3.)V4.)X5.6.707.5cm1409.10. A、BB等级答案11.1.)x2.)x3.)x4.)V12.7.14513.4< A C'v 1614.15.16.17.18.19.20.C等级答案21.在 ADE 与 EFC 中ZADE =NEFCDE =FCNAED =nacb22.TA ABC是等边三角形 AB=BC=CANGAB =NHBC 在 ABG 与 BCH 中AB = BCjGBA =NHCB ABG BCH (ASA )同理可证： BCH CAD ABG BCH CAD23.: L ABC 与/ 3 互补，/ ABD 与/ 4 互补，又/ 3= / 4,/ ABC= / ABD在 ABC 与 ABD21 =N2 中 4AB = ABNABC =NABD(ASA)24. V AB / CD在 ABC 与 CDA:AB = CD中 Y1 =Z2lAC =CA(SAS)25. V DA 丄AB , CA 丄 AE L DAB= / EAC