数列通项公式的十种求法

1、数列通项公式的十种求法一、公式法例 1 已知数列满足， ，求数列的通项公式。解：两边除以， 得，则，故数列是以为首项， 以为公差的等差数列， 由等差数列的通项公式， 得，所以数列的通项公式为。评注： 本题解题的关键是把递推关系式转化为， 说明数列是等差数列， 再直接利用等差数列 的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。二、累加法例 2 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例 3 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。

2、例 4 已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故因此，评注： 本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出， 数列的通项公式。即得数列的通项公式，最后再求三、累乘法例 5 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例 6 （ 2004 年全国 I 第 15 题，原题是填空题）已知数列满足，求的通项公式。解：因为所以用式式得所以由，则，又知，则，代入得。所以，的通项公式为评注： 本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式， 出数列的通项公式。最后再求四、待定

3、系数法例 7 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入式得由及式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。评注： 本题解题的关键是把递推关系式转化为， 从而可知数列是等比数列， 通项公式，最后再求出数列的通项公式。进而求出数列的例 8 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得整理得。令，则，代入式得由及式，得，则，故数列是以为首项，以 3 为公比的等比数列，因此，则。评注： 本题解题的关键是把递推关系式转化为， 从而可知数列是等比数列， 通项公式，最后再求数列的通项公式。进而求出数列的例 9 已知数列满足，求数列的通项公式。

4、解：设 将代入式，得 ，则等式两边消去，得， 解方程组，则，代入式，得由及式，得则，故数列为以为首项，以 2 为公比的等比数列，因此，则。评注： 本题解题的关键是把递推关系式转化为， 通项公式，最后再求出数列的通项公式。从而可知数列是等比数列， 进而求出数列的五、对数变换法 例 10 已知数列满足， ，求数列的通项公式。解：因为，所以。在式两边取常用对数得将式代入式，得，两边消去并整理，得，则 ，故 代入式，得 由及式， 得， 则， 所以数列是以为首项，以 5 为公比的等比数列，则，因此 则。从而可知数列是等比数列， 进评注： 本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为， 而求出数列的通项

5、公式，最后再求出数列的通项公式。六、迭代法 例 11 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以又，所以数列的通项公式为。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。数得，即，再由累乘法可推知，从而。七、数学归纳法 例 12 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由及，得由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。1）当时，所以等式成立。2）假设当时等式成立，即，则当时，由此可知，当时等式也成立。根据（ 1），（ 2）可知，等式对任何都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前公式，最后再用数学归纳法加以证明。即先将等式两边取常用对n 项，进而猜出数列的通项八

6、、换元法 例 13 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，则 故，代入得因为，故 则，即， 可化为， 所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得评注： 本题解题的关键是通过将的换元为， 使得所给递推关系式转化形式， 从而可知数列为 等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。九、不动点法 例 14 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，则是函数的两个不动点。因为 。所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。评注： 本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根， 进而可推出，从而可知数 列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。例 15 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，则是函数的不动点。因为，所以评注： 本题解题的关键是通过将的换元为， 使得所给递推关系式转化形式， 从而可知数列为 等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。九、不动点法 例 14 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，则是函数的两个不动点。因为 。所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。评注： 本题解题的