初一数学角与角平分线含答案

1、角、角平分线初中数学.角、角平分线.第05讲(B级).教师版Page 13 of 10中考要求内容基本要求略局要求较局要求角、角分线会识别角并会表示；认识角、 分、秒，并会进行简单换算； 会度量角的大小并进行简单计 算；会比较两个角的大小；了 解角平分线的概念并会表示会尺规作图：作一个角等于已 知角，做已知角的角平分线； 会用角平分线的性质解决简单 问题；会结合图形认识角与角 之间的数量关系例题精讲一、角的定义定义1:有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边 角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关.这是因为角的边是射线而不是 线段.定

2、义2:角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始 边，终止位置的那条射线叫做角的终边.(1)如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角(2)如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角注意：由角的定义可知：(1) 角的组成部分为：两条边和一个顶点；(2) 顶点是这两条边的交点；(3) 角的两条边是射线，是无限延伸的.(4) 射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。、角的表示方法 利用三个大写字母来表示，如图 1.1.AOB注意

3、：顶点一定要写在中间.也可记为 利用一个大写字母来表示，如图BOA,但不能写成 BAO或 ABO等.1.2.图1.2注意：用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且 只有一个. 用数字来表示角，如图 2.1 .图2.1用希腊字母来表示角，如图 2.2.三、单位换算1 度=60 分（160 ）1 分=60 秒（1 60 ）四、角的度量（1）度量角的工具常用量角器用量角器注意：对中（顶点对中心）、重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）、读数（读出角 的另一边所在线的度数）（2）角的度量单位及其换算角的度量单位是度、 分、秒.把平角分成180等份，每一份就是

4、一度的角， 记做1 .把一度的角60等 分，每一份叫做1分的角，记做1 .把一分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记做1 .角度之间的关系1周角=3601平角=1801直角=901周角=2平角1平角=2直角角的分类：锐角 （090 ）,直角 （90 ）,钝角 （90180 ） .五、两角的和、差、倍、分（1）两角的和、差、倍、分的度数等于它们的度数的和、差、倍、分（2）从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线（3）角平分线的画法： 用量角器用折叠法在一张透明纸上画一个角，记为/ PQR,折线使射线QR与射线QP重合， 痕画一条射线，这条射线就是/ PQR的平分线.说说为什

5、么这条线平分/ PQR?把纸展开，以 Q为端点,沿折六、用尺规做已知角的平分线方法作法：（1）以O点为圆心，以任意长为半径，交角的两边于A、B两点；1（2）分别以A、B两点为圆心，以大于 -AB长为半径画弧，画弧交于 C点;2(3)过C点作射线OCo所以，射线OC就是所求作的。七、余角、补角(1) 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角.简称 互补”.(2) 如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，简称互余”.(3) 补角、余角的性质：同角或等角的补角相等.同角或等角的余角相等.八、方位角方位角一般以正北、正南为基准，描述物体运动方向.即北偏东 度”、北偏西 度”、南偏

6、东 度”、南偏西度”，方位角 的取值范围0900 .北偏东45度”为东北方向、 北偏西45度”西北方向、南偏东45度”为东南方向、南偏西45度”为西南方向.九、钟表角度问题时针12小时转动360度，每小时转动30度;分针60分钟转动360度，每分钟转动6度。秒针60秒钟转动360度，每秒钟转动6度。、角的概念及表示是这个角的顶点，角也可以看成是由【例1】角是由有 的两条射线组成的图形，两条射线的 一条射线.【解析】略【答案】公共端点 公共端点 绕端点旋转而得到的图形、角的分类【例2】如图，/ AOB是平角，则图中小于平角的角共有()A、4个B、7个C 9个D、10个【解析】当AO为角的一边时，

7、有 3个角；以OC为角的一边向右再找小于平角的角，依次类推得到所有 小于平角的角.【答案】小于平角的角为：/AOC、/AOD、/AOE、/COD、/COE、/COB、/DOE、/DOB、/EOB共9个，故选C.【点评】应有规律去寻找角的个数，注意各条射线为角的始边依次向右寻找相关角.【例3】如图，必须用三个大写字母表示且小于180。的角共有（A、10 个B、15 个 C、20 个D、25 个【解析】找到以每一个字母为顶点的角，若该顶点处有多个角，则必须用三个大写字母表示.【答案】在该题中，以 A、B、C、D、E为顶点的角有五个，且该顶点处只有一个小于180度的角，可用一个大写字母表示；以 F、

8、G、H、M、N为顶点的角各有四个，共计 4X5=20个，而该顶点处只 有三个小于180度角，只能用三个大写字母表示.故选C.【点评】此题不仅考查了对角的概念的掌握，还考查了数角的方法：找准角的顶点，统计出该顶点处的所 有角，做到不漏数、不多数.、角度的换算及运算【例 4】(1) 20 20' 4 。 (2) 44 37' 3 【解析】(1)原式 80 80' 81 20'(2)先将度、分、秒的量数都化成3的倍数：44 37' 42 2 37' 47 156' 1' 47 156' 60'' 14 52

9、9;20''【答案】(1) 81 20' ; (2) 14 5220''【例5】在小于平角的范围内，用一对普通的三角板能画出确定度数的角有（A. 4 个B. 7 个C. 11 个【解析】用一对普通的三角板能确定度数的最小角为 于平角的范围内，能画出确定度数的角有 共11个，故选C.【答案】CD. 16 个6015 ,3045 15 ,而其它角都是15的倍数.所以在小 ,45 ,60 ,75 ,90 ,105 ,120 ,135 ,150 ,165【例6】如右图，AOB是直线,1: 2: 3 1:3: 2,求 DOB 的度数.【解析】设 1 x,2 3x

10、,【答案】1203 2x,根据题意有 x 3x 2x 180 , x四、余角和补角【例7】如图，在直线 AB上取一点 射线OF和OD分别平分O ,在AB同侧引射线COE和 BOE,求证:OC , OD,AOFOE ,BODOF使 COE和 BOE互余, 3 DOF .【解析】略【答案】 COE和 BOE互余，所以 AOC BOC 90DOF111EOF EOD EOC BOE BOC 222AOF BODBOC EOFAOC EOF BODEOD 3 DOF五、共定点角的相关计算【例8】如图，直线AB , CD相交于点O ,作 DOEBOD , OF 平分 AOE ,若 AOC 28 ,求 E

11、OF .【解析】AOC DOE BOD 28 ,EOF (1802828 ) 2 62【答案】62【巩固】 如图所示，将一副三角尺的直角顶点重合在一起.(1) DOB与 DOA的比是2 ：11,求 BOC的度数.(2)叠合所成的BOC n° (0 n 90),则 AOD的补角的度数与 BOC的度数之比是多少?【解析】略【答案】(1) BOC 70 ; (2) 1： 1.【例9】已知：如图， OC是 AOB外的一条射线， OE平分 AOC . OF平分 BOC .若 AOC 100 , BOC 40 , 问： EOF ?若 AOB n ,求 EOF的度数并说明理由.【解析】略【答案】

12、OE平分 AOC, OF平分 BOC （已知）EOC1一 AOC 21,FOC - BOC （角平分线 te 乂）2. AOC100 ,BOC 40 （已知）l EOC110021，50 ,FOC 4020 （钊代换）2. EOFEOCFOC 50 20 =30 （钊代换） OE平分 AOC （已知）AOEEOC（角平分线定义）EOCEOBBOF FOC AOEEOBBOF FOC （等量代换）OF平分BOC（已知） BOFFOC（角平分线定义）. AOBAOEEOBAOBEOB2 BOF EOBAOB 2（BOFEOB）（等量代换）EOBBOFEOF , AOB n （已知）EOF1-AOB

13、21，一1n （等量代换）2即：EOF1-n 2【巩固】如图，AOC是直角,COD 21.5 ,且 OB ,OD 分别是 AOC、BOE的平分线，求 AOE的大小.COD 902 21.5 66.5AOB 2 BOD AOB 178【解析】BOD BOCAOE BOE【答案】178【例10】已知：OA、OB、OC是从点O引出的三条射线 AOB 85 , BOC 41 36',求 AOC.【解析】注意分情况讨论，容易的到答案：43 24或126 36'.【答案】43 24'或126 36'【巩固】 已知一条射线OA,若从点O再引两条射线 OB与OC,使 AOB 6

14、0 , BOC 20 ,求 AOC 的度数.【解析】 注意分类讨论，为80或40 .【答案】80或40,正确的结果只可能是（D. 90【例11已知，都是钝角，计算16A. 26 B. 40C. 72【解析】根据题意90180 ,90180 ,1803601.30-60 , 选 B6【答案】B1一，、一【巩固】 、中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算 一()的值时，有三位同15学分别算出了 23、24、25这三个不同的结果.其中确有一个是正确的答案，求的值.【解析】0 0 9090 90 1806 () 24 所以23答案正确.15【答案】23EOB a,若以OA, OC, OD ,

15、OE为始边的各角之和【例12如下图，AOC COD DOE等于380° ,求 AOB .【解析】解以OA为始边的角的总和以OD为始边的角的总和依条件，有10a 6a 3aa 2a 3a 4a 10a;以OC为始边的角的总和a 2a 3a 6a.a 2a 3a ;以OE为始边的角的总和就是 a .a 380° ,解出 a 19° .于是 AOB 4a 76°【答案】76【例13如图，已知/ AOB=90 ,在/ AOB的外部画/ BOC,然后分另画出/ AOC与/ BOC的角平分线 OM 和ON.(1)下面的两个图形是否都符合题意？若符合，选择其中的一个图

16、形，求/ MON的度数；(2)若/ AOB=a,且当/ AOB+/BOCX 180°时，/ MON 的度数是多少？当/ AOB+Z BOO 180°时，/ MON的度数又是多少？【解析】(1)结合题意，易知两个图形都符合题意，然后根据角平分线的定义，结合图形进行计算即可；(2)根据(1)中的结论即可发现结论.【答案】(1)两个图形是否都符合题意.对于图，有/ MON= / MOC - / NOC=2 / AOC / AOB=45 ;一一_ _ 1 _ 11 _ 1 ,对于图，有/ MON= / MOC+ / NOC=2 / AOC+j / BOC=j ( / AOC - /

17、 BOC) q (360 90 ) =135°（2）当 / AOB+ / BOC v 180°时，/MON=/a； 当 / AOB+ / BOC >180°时，ZON=180【点评】此题综合运用了角平分线的定义和角的和差计算方法.【例14在同一平面内有射线 OA,OB,OC,OD平分 BOC, AOC的3倍比 AOB的2倍多5,AOD 10 ,求 AOC的度数.【解析】因为 AOC的3倍比 AOB的2倍多5 ,所以 AOC小于 AOB ;（1）射线OC在AOB的外部，如图（1）,设AOC x, AOB y ,根据题意有3x 2y 51，、“ '（x

18、y） x 102 x 45 解得：，即 AOC 45y 65（2）射线OC在 AOB的内部，如图（2）,设 AOC x, AOB y,根据题意有3x 2y 5x 91 ,解得：，即 AOC 9（x y） x 10y 112图（1）【答案】45或9【例15】以 AOB的顶点O为端点引射线 OC ,使得 AOC: BOC 5: 4，且BOC均小于180 ,若 AOB 30 ,求【解析】如图（1）, AOC如图（2）, AOC如图（3）, AOCAOC的度数.5 30(162)935 30 15059 (36030 )16 40'1八(1833)183 20' 180 ,舍去【答案】

19、16 40或150【巩固】已知 AOB 40 ,从O点引射线OC,若AOC: COB 2:3 ,且 AOC,COB均小于180 ,求OC与 AOB的平分线所成的角的度数【解析】OD是 AOB的角平分线，注意分类讨论：情况1,如图(1), OC与 AOB的平分线所成的角的度数为100 ;情况2,如图(2), OC与 AOB的平分线所成的角的度数为【答案】100或4六、钟表角度问题【例16】钟表上的时针、分针和秒针我们把钟表看成一个圆周，其上共有12个大格，故每个大格度数为360- 30，每个大格中又有5个小格，故每个小格度数为 迎 6125(1) 12时时，钟表上的时针与分针重合，问每多长时间两

20、针再重合？(2)分针和秒针每隔多长时间重合一次？【解析】(1)可设x分钟后相遇，这是追及问题，分针每分钟走6 ,时针每分钟走0.5 ,分针比时针多走一圈可列方程：6x 0.5x 360,求解为x约为65分27秒(2)可设x分钟后相遇，也是追及问题，分针每分钟走6 ,秒针每分钟走360 ,秒针比分针多走一圈可列方程：360x 6x 360 ,求解为x约为1分1秒【答案】(1) 65分27秒；(2) 1分1秒【例17】钟面上从2点到4点有几次时针与分针夹成 60的角？分别是几点几分？【解析】共有4次时针与分针夹成 60的角.(1)第一次正好为2点整.(2)第二次设为2点x分时，则x 10 10,解

21、得x 21.1211(3)第三次设为3点y分时，则y 10 215,解得y 5.1211(4)第四次设为3点z分时，则z 15 -z 10,解得z 27 1211【答案】4次成60角，分别是：2点整；2点21义分；3点5包分；3点27旦分.111111【例18】钟表在12点钟时三针重合，经过 x分钟后，秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分，则x的值是多少？【解析】因为秒针，分针，时针的速度分别是 360度/分，6度/分，0.5度/分，显然x的值大于1而小于2,14401440则有 6x 360(x 1) 360(x 1) 0.5x,解得：x 1440 .故 x 的值是 1440 分钟.14271427144014277点回到家时，发现时钟上1分)？【例19】小王下午6