成考专升本高数(二)第二章笔记

1、第二章一元函数微分学§ 2.1导数与微分一、主要内容导数的概念1.导数：yf(X) 在Xo的某个邻域内有定义,limX o X2.左导数:X) f(Xo)limXXoXo右导数:f(x) f(Xo)X Xof (Xo)dydXX Xo(Xo)limXXof (Xo)定理：f ( X )在Xo的左(或右)f(X) f(Xo)Xolim f(X) f(Xo)X XoX Xo邻域上连续在其内可导，且极限存在;则 f (Xo) lim f (X)则：X Xo(或:f (Xo)lim fX Xo3.函数可导的必要条件:定理：f (X)在Xo处可导f(X) 在Xo处连续4.函数可导的充要条件:X

2、of (Xo)f (Xo),5.导函数：yX (a,b)f(x)在(a,b) 内处处可导。 y f (Xo)6.导数的几何性质:f (Xo)是曲线yf(x)上点M Xo , yo处切线的斜率。o Xo求导法则1. 基本求导公式：2. 导数的四则运算:1(U v)2(u v)3°v2(v0)lim 0凶0x 0 xyf (u), u (x), yf (x)dydy dudxdu dxf(x) f (x)(x)注意 f (X)与 f (x)的区别:f(x)表示复合函数对自变量x求导；f (x)表示复合函数对中间变量(x)求导。4.高阶导数:f (x), f (x),或 f(3)(x)f(

3、n)(x) f(n 1)(x),(n2,3,4)函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。 微分的概念1.微分：f (x)在x的某个邻域内有定义，yA(x) x o(x)其中：A(x)与x无关，0(x)是比x较高或阶的无穷小量，即:则称 y f(x) 在x处可微，记作:dy A(x) xdy A(x)dx0)12.导数与微分的等价关系:定理： f(x) 在x处可微f(x) 在x处可导,且: f (x)A(x)3.微分形式不变性:dy f (u)du不论u是自变量，还是中间变量，函数的微分 dy 都具有相同的形式。例题分析例1.设f (x)存在，且1ixm f (xo f (xo) x) f (xo

4、)f (xo)等于A.1,B.O, C.2, D.解 lim解:x ox) f(xo)22limf(xo 2 x) f(xo)2f(Xo)1(应选D)例2.设f (X) (X a ) (x),其中(X)在X a处连X 1ma NXaf (a) 2a (a) (a) (a) 2a (a)结果虽然相同，但步骤是错的。因为已知条件并没说(X )可导,所以(x)不一定存在。例3.设 f (X) 在X 1处可导，且 f (1)2 ，求:limf(4 3X)f(1)X 1解：设t43x, Xi(4t)可导偶函数的导数是奇函数。）1 时，t1lXmif(4 3x)X 1f (1)1呼ft) 131凹f(t)

5、 f(1)t 13f (1)例4.设 f （X） 是可导的奇函数，且fXo)A. k,B.k丄丄K , c.k , D. k .解：f （X)f(X)f(X)f(X)f (X)(X)f (X)f (X)f (X) f (Xo)f ( Xo) k（结论：可导奇函数的导数是偶函数;(Xo)等于:（应选A）x21例 5.设 f(X)2x1在x 1处是否可导?解法一 f(1) 2xlim f (x)x 1lim f (x)x 1lim (x2x 1lim (2x)x 11)x 122 f (x)在x 1处连续f (1)limx 1f(x) f(1)2lim x 1limx 1x2f (1)limx 1

6、-lim (xx 1f(x) f(1)1) 2limx 1lim 2x 1 x 1f (1) f (1) 2f(X)在x 1处可导。f (1) 2x解法二：、/Jlim f (x)lim(x2 1)x 1x 1lim f (x) lim (2x)x 1 x 1 f ( x) 在x 1 处连续2xx1f ( x)当 x 1 时，2x1f (1)lim f ( x)lim 2x2x1x1f (1)lim f (x)lim 22x1x1 f (1)f (1) f (1) 2 f ( x) 在x 1 处可导。1 bx x0f (x)2x设ae x0求a,b的值，使f ( x) 处处可导。例 6当 x

7、0 时，解： f (x) 的定义域：x(当 x 0 时，f (x) 1bx 是初等函数，在 (,0) 内有定义，不论a和b为何值,f ( x) 在 (,0) 内连续；f ( x ) ae 是初等函数，在 ( 0,) 内有定义，不论a和b为何值，f (x)在(0,)内连续;f(0) (1lim f (x)x 0lim f (x)x 0bx)lim (1x 0lim aex 01bx) 12x只有当a1 时，f (x) 在 x0处连续；当a1时，f (x)处处连续；当a0时，(x)b x 0bx2ae2x x0a1 2e2xxf (0)lim f (x)x 0lim bx 0bf (0)lim f

8、 (x)x 0lim 2e2xx 02只有当b2时，f (x)在x0处可导；0可导0可导b 2 , f (x)处处可导。当 a 1,例7.求下列函数的导数 y cosin(1 2x)解: ycosu u In V V1 2xdy dy du dx du dvsin udv dx1 2Vsinln(1 2x)1 2x22Xyr（ r为常数）arctan(tan2 x)解:2arctan(tan x)2 (tan21(tan2 X)2X）2ta nx八 、22 (tan x)1 (tan2 X)22tanxsec x1 (tan2 X)2sin2x44sin X cos X解:ln1010Xtan

9、2x(tan2x 2xsec 2x)10xta n2x“cXta n2X .cXta n2X/ 丄(10) ln10 10(xta n2x)解法一：y/ 2 2Vr x(r2 x2)y(Jr2 x2)2Jr2 x2x/ 2 2<rx解法二：(x22、/ 2、y )(r )2x2y y 0yxxy Jr2x2ycos(xy)解法一：ycos(xy)sin(xy) (xy)sin(xy) (yxy)ysin(xy)1 xsin(xy)解法二:设 F(x, y) y cos(xy)Fx ysin (xy), Fy 1 xsin (xy)dydxFxFyysin( xy)1 xsin(xy)隐函

10、数求导! y|nxxin解法一 (yhx)(xIn y)yin x y xIn y y inxyxxyI x in y yyxyln y y2xyi nx x2解法二：设 F(x,y)yin X xin yFxy,FyindydxFxFy七iny7 Inxxyln y y2 xyln x x2(X 1)(x 2)x 3解：（对数法）In y In Kx 1)(x 2)抽（X 1）ln(x 2)In(X 3)(In y)行I n(x1) ln(x2) ln(x 3)3)1-yy(X 1)(x 2)x 3y解法一:x x:（对数法）In yInxIn xIn xIn x 1.y xx（In x解法

11、二：（指数法）xIn x ex Iny x e/ xinxxxinxz .、y (e ) e(xIn x)xx(l nx1)C jx/ - cosx y 2x (sin x)解法一：(对数法)c jxz 、cosx设y12x , y2(sinx)y2Vx In xy y1y2, yy1In 2In y In 2x憑1 , In x2 J x2x(I MX2)Iny2 cosxln sin x1月2y21(Inx 2)"Inx 2)sin xIn sin xcosx cosxsin xX X cos x XIy2 (sinx) (cosxcotxsin xIn sin x)yyiyX仮

12、 2(l nx 1) (sin x)cosx (cosxcotx sin xI nsinx解法二：(指数法)cosxIn sin X e/ / 1 cosxInsinxz- 、(vx In x) e (cosx In sin x)c TxIn xy 2ec 代 In x2e2 (In x 1) (sinx)cosx(cosxcotx sinxlnsinxy解法-：xln y y|nxIn y y In x yxyln y xy In2 y2x x解法二：设 F(x,y)xyFy 1x Ix yx y Inyyxlny 心 In y)xyxFydydx例&已知解:xylnx xyx 1x

13、ylnx - yxy(X In y)xy xyln y y2 (Y In x)xy xyl nx x2(-In x yFyf (Vx)vx,sinx,求 f(X)。xt2f(t)sint2f(x)- 2 sin x.f (x)2 / 2cosx (x )9.求下列函数的二阶导数y ln(1x2)2xy 1x2例2xcosx2解:设t2(1x2)2x2x“ 22(1 x )2 2x2“22(1 x )xyIn y 01 xy yyy解法一：2yxyy y2y1 xy22y(1(1 xy)2xyh, y (y xy)(1xy)22y3(1xy)y2y(1 xy) xy22yy(1xy) y2(y

14、xy)(1 xy)33y3 2xy4(1y解法二：xyxy)3y 0 yyxyy y 0y(n)2n e2xn 102y1 xy(y2xyy y)02yyyy x(y)xyy3yy x(y)21 xy2 2 y1 xy1 xy3y3 2xy4(1 xy)3例10.设9 2xy x e ，求:(10)yy(n), n 10。解：y9x8 2e2x9 8x722e2x33y (1 xy) xy(1 xy)39 8 7x6 23e2xy(9)9 8 799 c9 2xc9 2x1x 2 e 9! 2 ey(10)210e2xm结论：对于 y x ，若 nm ，则 y(n)例 11设x49 ln，求

15、y(50) 。解： y49x(48)4948x(47)(1)24948 47 x(46)3 1 31) 1 2 x(50)y(50)( 1)501(5050 501)! x 49! x例 12 求下列函数的微分x2 y e sin xx2解法一： y e sin x2sin xcos xex (sin 2 x sin 2x).dy ex(sin2 X sin2x)dx解法二： dy d(ex sin 2 x)d (ex) sin2 x ex d (sin 2 x)ex sin2 xdx ex 2 sin xd (sin x) ex(sin2 xdx 2sin xcosxdx)X z 2e (s

16、in xsin 2x)dx0eyy0解法一:解法一:y ey 1(x2y) (ey)2xy x2y2xyy - yx edy 2xy dxdy2y dxx ed(x2y) d(ey)02xydx x2dy eydy 0. 2xy .dy 一 dxx e§ 2.2中值定理及导数的应用一、主要内容中值定理1.罗尔定理：f ( X )满足条件： 1°在a,b上连续；2°在(a,b)内可导;o在(a,b)内至少存在一点3° f (a) f (b).10在a,b上连续,2°在(a,b)内可导;在(a, b)内至少存在一点，使得：f ( ) f(b) f(

17、a) b a0罗必塔法则：（0,型未定式）定理:f（X）和 g（x） 满足条件:可以继续使用法则，即:(或)(或);lim f (x)0x a1° lim g(x) 0x a则:2°在点a的某个邻域内可导，且lim 33°X a() g (x)lim他x a( ) g(x)limX a(g（X）0 ；A,(或)f（X）)g(x)A,(或)注意:1°法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。2°若不满足法则的条件，不能使用法则。即不是0型或型时，不可求导。3°应用法则时，要分别对分子、分母求导，而不是对整个分式求导。4

18、76;若 f （x）和g （x） 还满足法则的条件,lim 3X a( ) g(X)lim 3 X a( ) g (X)lim丄 X a( ) g (X)A (或型可采用代数变5。若函数是00形，化成0或型;若是1 ,00,0型可采用对数或指数变形，化成00或型。导数的应用1. 切线方程和法线方程:设：yf (x),切线方程:yof (Xo)(XXo)yy。门加X0),(f (Xo)0)2. 曲线的单调性:f (X) 0X (a,b)f (X)在(a,b)内单调增加;f (X)0 X (a,b)f(x)在(a,b)内单调减少;( x) 0 x (a,b)在(a,b)内严格单调增加;( x) 0

19、 x (a,b)在(a,b)内严格单调减少。3. 函数的极值： 极值的定义：设 f (x)在(a,b)内有定义， xo 是 (a,b)内的一点;若对于Xo的某个邻域内的任意点Xxo ，都有：f (Xo) f (x)或f (Xo) f (x)则称f(Xo)是f(X)的一个极大值(或极小值)称x0为f(x) 的极大值点(或极小值点) 。极值存在的必要条件：定f (xo ) o1o.f (x)存在极值f (x0)20. f (x0)存在。xof ( x)称为的驻点极值存在的充分条件：定理一：10. f（X）在Xo处连续;20. f (x0)0或f (Xo)不存在;3o.f（X）过Xo时变号。Xo是极

20、值点。当X渐增通过Xo时，f（x）由（+）变（-）；则f（Xo）为极大值;当X渐增通过Xo时，f（X）由（-）变（f（Xo）；则o 为极小值 。10.f (X0) 0;f（x0）是极值;定理二2o.f （Xo）存在。Xo是极值点。若f（Xo）0，则f（Xo）为极大值；若 f（Xo）o，则f（Xo）为极小值。注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。4 曲线的凹向及拐点：o,X若 f (X)a,b ；则f（x）在（a,b）内是上凹的（或凹的），（U）;若 f (X)0,Xa,b ；则f（x）在（a，b）内是下凹的（或凸的），（n）；1o.f （Xo）0,2o.f（X）过沧时变号5。曲线的渐

21、近线:水平渐近线：若limX或limXf(x)f(x)铅直渐近线:若limX C或limX Cf(x)f（X）二、例题分析f （x）例1.函数 '丿X3足，求出的值。Xo, f (Xo)称为f（X）的拐点。y A是f（X）X C 是 f（X）的铅直渐近线。X在-1 , 0上是否满足罗尔定理的条件？若满解f（x）X32X是初等函数，在-1, 0上有定义;f（X）X32X在-1 , 0上连续。 f(X)3x22X在（-1 , 0）内有定义;f（X）32X X在（-1 , 0）内可导。又 f(1),32(X X )1f(0) (x3 x2) f（X）满足罗尔定理的条件。由定理可得:解得:不在

22、（-1,0）内，舍去;例2。证明:0 X -2时，不等式x tan x成立。证法一：（采用中值定理证明）F(t)设：tant, t 0, x, x（0'2） F(t)tan tta t是初等函数，在0,x上有定义, F(t)tant在0,x上连续。F(t)sec t2 ,COS t 在（ 0,x）内有定义n ftan t 在( 0,x)内可导。.F (t) tant由定满足拉格朗日定理的条件,理可F ( ) 2COSF(x) F(0)tanxx cos2 tan x,(0, x), x(0,2)2COS1, tanx 02COStanxtanxtanx,2；证毕。证法二：（采用函数的单

23、调性证明）f (x) tanx设：x,(%)f (x) seC2tan20, x (0-)f (x),（0，-） f(x)f(0)tan0即：tanx x 0X tanx X (0,)2；证毕。证明X2, (x 0)设丿1 X2, (X 0)X(X J1 X2)(Xxln(xf(x) 1f (x)Jl X2) yRxln(xln(xIn(X Jl x2)Jl X2)x(17rx2)(X J1 X2)2x2xxTTx2ln(x Jl X2) y=x( XV1 x2(x V1 X2)xL2xJl X2ln(x Vi x2)0, x 0f (x) f (0)1 xln(x Tlx2) Jl X2xo

24、 0.1 xln(x Vl_)7l_, (x 0).证毕。.-、arctanxln(1 x)例4.证明：当x 0时，1 x 。解：设：f(x) (1 x)ln(1 x) arctanx x 01 x 1f (x) ln(1 x) c cx2ln(1 x) c0, (X 0)f(x) , X 0f(x) f (0)(1 x)ln(1x) arctanxx 00, x 0,、arcta nxIn (1 x),x 01 x:证毕。例5.求下列极限:xxe elim X 0 tanxxxe elimx 0 tan X解:xim0limxIn xlim解: xIn xlimxxa 1axxe2sec x

25、7 0limx 0 11x11lim0lim解法解法二:limlimlimtx ex e1limx -x ex ex ex exx1xxx ex elime2x2x elimlimet - t2xe2xlimlim/ x(e/ X(e(ex,X(elimX xe )eX xe )eX xe )eX、 xe )e2e2x2e2x解:mo H XmomoH X0-0limx 0mo NXmo H Xx20-0mo NXIn x(0)xlim0In X工2xlimx 0X2x-lim x22x01(In x)xlimx解法一：（对数法）（0未定式）1设:y Qn X)匚1In yIn (In x)&

26、#39;In In xIim In yxIimxIn In xIimx1xin XIimx0xIn xIim.x解法二：（指数法）Iimx丄(In x)xIimx(In X)0) xlimIn In x eIimexIn In xxIimex1xin xe°1（1未定式）解法一：设：yx1 x解法二:In yIn x|xmiln y01In xIxm1x1 X解法三：设：tlimx(1x1 xIn x01 e1 xIim皿 ex 11 xIimex 1x,1时,lim X厂x 1limx 0（00未定式）_ 1 1x(1)啊Cl ty 啊(1 tV1 e1ln xTlimx 0 解：

27、xx lim(00)x 0xin x(0lim e x)x 0xim0lim ex 0例6.limx 0(1丄x)x11 ；(1 X)x1I.(1 X)'In y In e1ln(1 X1X)'In e1 1Tn(1 X XX)1ln(1X) X2Xlim In y0XimlimX 0limX 011 X2x1ln(12(1X)例7.解limX 0limXnXXelimX 0(1X) X2XlimX 0 2x(1 X)11x)x0,n为正整数)xlimxlimxn 1 nxxelimxn n 1 xn 22e Xlimxn(n 1) 1xlimx2"卩 sin(x2

28、1)ax例&设：lim sin(x21) 0x 13，求a、b的值。解：/x2 .x ax b lim2x 1 si n(x2 1)lim (x2.x 1ax b)1 a b.si n(x22lim J 2.X 1 sin(X1)0w1) (x2ax b1)，(xx21)axx2 101lim 2x ax 12x a式，得：当 a4, b5时原式成立。例9.求曲线2 x和法线方程。在点(1, 2)处的切线方程解：yx2x3切线方程:x3-4法线方程:即:4(x1)4x4(x1)1即:例10.曲线y12x3的切线在何处与直线y25x 4平行?解: y16x2y2/ 丫1的切线与丫2平行

29、6x2X11,X2y1(2x32)y1(2x32)所要求的点为:1, 3),(1,1)例11.求曲线xy2a上任意点x0 (0)处的切线与坐标轴组成的三角形的面积。解：求切线方程:a2a2y。Xo切线方程为:a2求A、B的坐标:A： XAXXoa2a22XoyoXo2a2Xoo代入（1）式，得:XoB： yBo代入（1）式，得: B 2xo,o2 a TX Xo2XoyaXbXo)（1）2a2Xo2xo求三角形的面积:2OBOA(2Xo)旦2a2为极大值;f(x)Xo和极值。f ( x )的定义域:X(,0)(0,1X2 1f(X) 122XX令 f(X)0，解得:X1当X 0时，f(X)无定义，X0是间断点列表如下：例12.求函数解:的单调增减区间X(-8,1) -1 (-1,0)(0,1) 1 (1,+8)f (X)0 - 0 +f(X)极大值JJ 极小值t当X11 时，f(1) (X) XX 1211时,为极大值。f(1) (x -)xf(x)