带电粒子在有界磁场中运动的临界问题例析

1、+9带电粒子在有界磁场中运动的临界问题例析名师指路XJr -*JfL斗*Sim、电荷量为q的带正电粒子（不计重力），从左边v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采B，板间距离也L例1:如图所示，长为 L的水平极板间有垂直于纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为 为L,板不带电现有质量为 极板间中点处垂直磁感线以速度 用的办法是B .使粒子的速度v>5BmLD .使粒子的速度黔5<聲A .使粒子的速度vvBqLC 使粒子的速度v>BmL【思维导引】本题是带电粒子在有界磁场中运动的临界问题六大类型之一，所有这些问题，其答题通 用步骤是：第一步，找出轨迹圆圆心所有可能的位置，第二步，按

2、一定顺序尽可能多地作不同圆心对 应的轨迹圆（一般至少 5画个轨迹圆），第三步，根据所作的图和题设条件，找出临界轨迹圆，从而抓 住解题的关键点，利用临界轨迹圆，结合几何关系，算出对应的轨迹半径，进而计算相应的速度或者磁 感应强度、时间等。这类问题的特点是：所有轨迹圆圆心【要点提醒】 入射点和入射方向已知，入射速度大小不确定 均在过入射点、垂直入射速度的同一条直线上。【手把手】 粒子初速度方向已知，故不同速度大小的粒子轨迹圆圆心均在垂直初速度的直线上，根据 左手定则，判断出圆心在直线的哪一侧，然后作出该垂线（如图甲）(2)|»5iSiaeMi»5Mg5i&5«

3、-5«W5ii5图乙半径由小取到大，作出一系列圆（如图乙），其中图甲【手把手】 在该直线上从下往上取不同点为圆心，轨迹圆和为临界轨迹圆。轨道半径小于轨迹圆或大于轨迹圆的粒子，均可射出磁场而不打在极板 上。【要点提醒】 作图时注意只画在磁场中的圆弧部分（磁场中的轨迹），磁场外的圆弧部分不能画因为粒子在磁场外将做直线运动或其他运动，而且作多了还会遮蔽问题，影响对问题的判断。然后利用几何知识计算出临【手把手】 在答题卡上答题时，只需将最终需要两条临界轨迹作在图上，界轨迹圆的半径，结合半径公式即可算出临界速度，最后给出速度允许的范围。【解答】 AB(1)粒子擦着板从右边穿出时，圆心在2. 2

4、 , , L 2ri = L + （1 2）0点，由几何关系，有得 ri = 5L/ 曰_5BqL得 V1= 4m所以mvi尸Bq V>5BqL时粒子能从右边穿出.粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在0点，由几何关系，有L2= 4亠mv2 FBqL由 尸两，得v2= 7m 所以v<BqL时粒子能从左边穿出.4m【解后反思】 本题容易漏选A，出错的原因是作轨迹圆时，没有将r先取较小值再逐渐增大，从而未分析出粒子速度较小 一一轨迹半径较小时，还可以从磁场左边界穿出的情况。例2 :如图所示，在0Wxa 0< y<a范围内有垂直手 xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为2M2E

5、 JIII M坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为 m、电荷量为q的带 正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内，与y轴正方向a/2的夹角分布在0.900范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于 到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中 做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的（1）速度的大小；速度方向与y轴正方向夹角的正弦。【思维导引】本题是带电粒子在有界磁场中运动的临界问题六大类型之二，所有这些问题，其答题通 用步骤是：第一步，找出轨迹圆圆心所有可能的位置，第二步，按一定顺序尽可能多地作不同圆心对 应的轨迹圆（一

6、般至少 5画个轨迹圆），第三步，根据所作的图和题设条件，找出临界轨迹圆，从而抓 住解题的关键点，利用临界轨迹圆，结合几何关系，算出对应的轨迹半径，进而计算相应的速度或者磁 感应强度、时间等。【要点提醒】 入射点和入射速度大小确定，但入射方向不确定一一这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在一个“以入射点为圆心，以为半径的圆”上一一即所谓“圆心圆”上。【手把手】本题给定的情形是粒子轨道半径r大小确定但初速度方向不确定，所有粒子的轨迹圆都要经过入射点O,入射点O到任一圆心的距离均为 r，故所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆”一一以入射点O为圆心、r为半径的圆周上；作出该圆心圆（如图甲） 。r-a/2-

7、aZ2-a X图甲图乙这和前一个题型要求“半径从【要点提醒】考虑到粒子是向右偏转，我们从最左边的轨迹圆画起小逐渐取大”是同样的目的：避免打乱仗和漏掉其中一种情况。【手把手】 取“圆心圆”上不同点为圆心、r为半径作出一系列圆，如图乙所示；其中，轨迹对应弦长大于轨迹对应弦长 半径一定、圆心角都较小时（均小于180°，弦长越长，圆心角越大，粒子在磁场中运动时间越长。【手把手】 最后一个离开磁场的粒子在磁场中运动时间最长，由题意，该粒子在磁场中做圆周运动周 期的四分之一，其圆心角为90°由前述分析可知，轨迹对应圆心角为90°【手把手】最后将轨迹作在答题卡的题图上，利用几何

8、关系 求出该临界轨迹圆的半径，进而求解速度的大小和方向。【解答】设粒子的发射速度为 V,粒子做圆周运动的轨道半径为R,根据牛顿第二定律和洛伦兹力得:2VmvqvB = m ， 解得：R =RqB圆弧与磁场的边界相切,当a/2<R<a时，在磁场中运动的时间最长的粒子，其轨迹是圆心为 C的圆弧,如图所示，设该粒子在磁场中运动的时间为t,依题意，t=T/4时，/ OCA=n /2 大。设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为a,由几何关系得:aRsina=R， Rsin a=a-Rcosa22 2sin a +cos a =14676 aqB.6-76解得：R=(2-J)a,

9、v=(2-)亠，sina=!22 m10【解后反思】 本题容易出现由于作图不仔细而把握不住轨迹对应弦 0* -tP长大于轨迹 对应弦长一一半径一定、圆心角都较小时（均小于180°，弦长越长，圆心角越大，粒子在磁场中运动时间越长 ”的错误，从而误认为轨迹对应粒子在磁场中运动时间最长。应对这种失误的办法是：按一定顺序作图一一按粒子偏转方向移动圆心作图 。【例3】如图所示，无重力空间中有一恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy平面向外，大小为B，沿x轴放置一个垂直于 xOy平面的较大的荧光屏， P点位于荧光屏上，在 y轴上的A点放置一放 射源，可以不断地沿平面内的不同方向以大小不等的

10、速度放射出质量为m、电荷量+q的同种粒子，这些粒子打到荧光屏上能在屏上形成一条亮线， P点处在亮线上，已知 OA= OP= l，求：（1 ）若能打到P点，则粒子速度的最小值为多少？（2）若能打到P点，则粒子在磁场中运动的最长时间为多少？【思维导引】本题是带电粒子在有界磁场中运动的临界问题六大类型之三，所有这些问题，其答题通 用步骤如前文所述。【要点提醒】 已知入射点和出射点，但未知初速度大小（即未知半径大小）和方向一一这类问题的特 点是：所有轨迹圆圆心均在入射点和出射点连线的中垂线上。【手把手】粒子既经过A点又经过P点，因此线上，作出该直线 OM （如图甲）。AP连线为粒子轨迹圆的一条弦，圆心

11、必在该弦的中垂A'；：OG°p图甲【手把手】在OM上取不同点为圆心、以圆心和其中轨迹对应半径最小，而轨迹对应粒子是AP图乙A点连线长度为半径由小到大作出一系列圆（如图乙）， Oi点上方轨道半径最大的，由图可知其对应圆心角也最算出对应的速度和【手把手】将轨迹和作在答题卡上，然后有几何关系得出轨迹半径和圆心角, 时间。屈BI2m（2） 42qB【解答】（1）粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，设粒子的速度大小为V时，其在磁场中的运动半径为 R，则由牛顿第二定律有：2VqvB = m R【答案】（1） v=定是以AP为直径的圆（如图若粒子以最小的速度到达 P点时，其轨迹-中圆Oi

12、所示）由几何关系知：Sap = J2l返I22 nmV qB设粒子在磁场中运动时其轨迹所对应的圆心角为0,6met= T -2 n qBO2所示，此时粒子的初速度方向竖直向则粒子在磁场中的运动时间为:由图可知，在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹如图中圆0=3 n2上，则由几何关系有:则粒子的最小速度屈BIV =:2m2 nR（2）粒子在磁场中的运动周期T= 则粒子在磁场中运动的最长时间:丄3 nmt =2qB【解后反思】注意作好入射点和出射点连线的中垂线后，作轨迹圆时半径一定要由小到大取至少五个不同的值，这样才能领会到题意所需的临界轨迹。本题容易出错在把最小半径当做是OA=I，这是因为作图不

13、够多，且分析不到位所致一一以AP为弦的所有圆周中，以 AP为直径的圆周半径是最小的 。解题咼手【例1】在xOy平面上的某圆形区域内，存在一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为 B个质量为m、带电量为+q的带电粒子，由原点 0 开始沿X正方向运动，进入该磁场区域后又射出该磁场；后来，粒子经过 轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30° （如图所示），已知P到0的距 离为L,不计重力的影响。（1 ）若磁场区域的大小可根据需要而改变，试求粒子速度的最大可能值；（2）若粒子速度大小为 V ='qBL，试求该圆形磁场区域的最小面积。6m【提示】 本题是带电粒子在有界磁场中运动的临

14、界问题六大类型之四：已知初、末速度的方向（所在直线L但未知初速度大小（即未知轨道半径大小）这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在初、末速度延长线形成的角的角平分线上。型、末速度所在直线必定与粒子的轨迹圆相切，轨迹圆圆心到两条直线PA y430°的距离（即轨道半径）相等，因此，圆心必位于初、末速度延长线形成的角的角平分线QC上（如图甲）；在角平分线QC上取不同的点为圆心，由小到大作出一系列轨迹圆（如图乙），其中以C点为圆心轨迹是可能的轨迹圆中半径最大的，其对应的粒子速度也最大。【解答】过P点作末速度所在直线，交 X轴于Q点，经分析可知，粒 子在磁场中作圆周运动的轨迹的圆心必在NOPQ的

15、角平分线QC上，:图甲所示。设粒子在磁场中作匀速圆周运动的轨道半径为r，则由牛顿第二定律，有2C v qvB = m r则-qBV由此可知粒子速度越大，其轨道半径越大，由图乙可知，速度如x图丙最大的粒子在磁场中运动轨迹的圆心是y轴上的C点。（1）如图丙所示，速度最大时粒子的轨迹圆过0点、且与PQ相切于A点。由几何关系有O Q =Lan 3© 几=OQtan30°，由、求得v律3mPQ相切故可知磁场面积最小时必定是以DE为直径（如图丁中所示）。即面积最小的磁场半径为r=1de则磁场的最小面积为s= nR2 = nL)212n-48（2）将 "詈代入式，可得2詁，粒子

16、的运动轨迹是 如图丁所示的轨迹圆 ，该轨迹圆与x轴相切于D点、与 于E点。连接DE,由几何关系可知DE = 73r2由于D点、E点必须在磁场内，即线段 DE在磁场内,X出射点全部分布在Oa边出射点全部分布在ab边出射点分布在ab边出射点全部通过b点O点），bf'1乂：r从 d、O'XXb点，从O、XX:_2sX X詁聚X 5 XX/ :fi为从d点射入粒子的轨迹（圆心在【例2】如图所示，长方形 abed的长ad=0.6m，宽ab=0.3m，O、e分别是ad、be的中点，以e为圆 心eb为半径的圆弧和以 O为圆心Od为半径的圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（eb边界上无磁

17、场）磁感应强度 B=0.25T。一群不计重力、质量m=3X10-7kg、电荷量q=+2 X10-3C的带正电粒子以速度v=5 Xl02m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射入磁场区域，则下列判断正确的是（）A. 从Od边射入的粒子，B. 从aO边射入的粒子，C. 从Od边射入的粒子，D. 从ad边射人的粒子，【提示】本题是带电粒子在有界磁场中运动的临界问题六大类型之五：已知初速度的大小（即已知轨道半径大小）和方向，但入射点不确定.这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在将入射点组成的边界沿. . . .，. . .“. . - I -” . .-I -” . . U- . . U垂直入射速度方向平移

18、一个半径距离的曲线上。mv【解答】所有进入磁场的粒子的入射点均在dOb线上，将该曲线垂直速度向上平移一个半径r= 后qB _-_n_-得到曲线 Oaf,此即所有粒子在磁场中做圆周运动的圆心所在曲线,在该曲线上从下到上取点作为圆心、mvr =为半径作一系列轨迹圆，其中qBey /e为从O点射入粒子的轨迹（圆心在 a点），为从a点射入粒子的轨迹, 之间入射粒子在磁场中转过1/4圆周后沿eb边界作直线运动最终汇聚于 a之间入射粒子先作直线运动再进入磁场做圆周运动, 于b点。【答案】D【例3】如图所示，现有一质量为m、电量为e的电子从y轴上的P （0, a）点以初速度v。平行于x轴射出，在y轴右侧某一

19、圆形区域加一垂直于xoy平面向里匀强磁场，磁感应强度大小为B.为了使电子能从x轴上的Q（ b, 0）点射出磁场。试求满足条件的磁场的最小面积，并求出该磁场圆圆心的坐标。【提示】本题是带电粒子在有界磁场中运动的临界问题六大类型之六：已知初速度方向（所在直线）和出射点，但入射点不确定这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在以初速度所在直线为准线、出射 点为焦点的抛物线”上。【解答】本题中，电子初速度所在直线已知，电子进入磁场的 入射点在该直线上，则可知电子在磁场中作圆周运动的轨迹圆与该直线相切、且经过 Q点，所以电子轨迹圆圆心到该直线和到Q点的距离相等，即电子轨迹圆圆心在以该直线为准线、Q点为焦点的

20、抛0【答案】1物线上。在该抛物线上从左向右去不同点为圆心，做出一些列轨迹圆, 可以看出所有这些轨迹中轨迹 所需圆形磁场的直径最小。-* -:* 1X2 a、 n , ( b,)42练习【练习1】两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x轴和y轴，交点0为原点，如图所示。在 y>0, 0<x<a的区域有垂直于纸面向里的匀强 磁场，在y>0, x>a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内 的磁感应强度大小均为 Bo在0点处有一小孔，一束质量为m、带电量为q （q>0 ）的粒子沿x轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水 平荧光屏上，使荧光屏发

21、亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值 之间的各种数值.已知速度最大的粒子在 0<x<a的区域中运动的时间 与在x>a的区域中运动的时间之比为 2: 5,在磁场中运动的总时间 为7T/12，其中T为该粒子在磁感应强度为 B的匀强磁场中作圆周运 动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）X X :1XX：*hXX：*X X ； -1X X二*-yJT【提示】本题是带电粒子在有界磁场中运动的临界问题六大类型之一， 速度大小不确定一一这类问题的特点是：所有轨迹圆圆心均在过入射点、【答案】竖直屏上发亮的范围从0到2a，水平屏上发亮的范围从入射点和入射方向已知，入射垂直入射

22、速度的同一条直线上。2/32a 至U X = 2a +a3【解答】 粒子在0<x<a的区域中的运动属于初速度方向已知、大小不确定的情况，在垂直初速度的直线（即y轴）上取不同点为圆心， 半径由小取到大，作出一系列圆（如图甲），其中轨迹圆与直线x=a相切，为能打到y轴上的粒子中轨道半径最大的;若粒子轨道半径大于轨迹圆 ，粒子将进入x>a的区域,yXX J'yXa图甲CO口a2a J图乙由对称性可知，粒子在 x>a的区域内的轨迹圆圆心均在在x=2a直线上，在x=2a直线上取不同点为圆心,半径由小取到大，可作出一系列圆（如图乙），其中轨迹圆'为半径最小的情况，轨

23、迹圆 为题目所要求 的速度最大的粒子的轨迹。mv粒子在磁感应强度为 B的匀强磁场中运动半径为：r =qB速度小的粒子将在 x<a的区域走完半圆，射到竖直屏上。 半圆的直径在y轴上，半径的范围从0到a,屏上发亮的范围 从0到2a o轨道半径大于a的粒子开始进入右侧磁场，考虑r=a的极限情况，这种粒子在右侧的圆轨迹与X轴在D点相切（虚线），OD=2a,这是水平屏上发亮范围的左边界。速度最大的粒子的轨迹如图中实线所示，它由两段圆弧组成，圆心分别为 对称性可知 C'在x=2a直线上。设t1为粒子在0<x<a的区域中运动的时间，t1 -2 t +1 _7Tt2512由式和对称性

24、可得NMC ' P = 3 傢 40 =12C和C', C在y轴上，有由此解得：tit2为在x>a的区域中运动的时间,T5r= 1 = 612NOCM =60*NM C' N= 6 0“ 1 0 所以 NNC' P= 150。-60° = 90。由题意可知即弧长NP为1/4圆周。因此，圆心 C '在x轴上。设速度为最大值粒子的轨道半径为R,有直角L COC '可得2巧32Rsi n60° = 2a由图可知0P =2a+R，因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标【易错提醒】本题容易把握不住隐含条件从而造成在x>a的区域

25、内的作图困难；另一方面，在x>a的区域内作轨迹圆时,始取值，致使轨迹圆 '未作出，从而将水平荧光屏发亮范围的左边界坐标确定为【练习2】如图所示，在正方形区域abed内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为 B的匀强磁场。在t=0时刻，一位于ad边中点0的粒子源在 abed平面内发射出大量的同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方 向与Od边的夹角分布在0180°范围内。已知沿Od方向发射的粒子在t=t0 时刻刚好从磁场边界 ed上的P点离开磁场，粒子在磁场中做圆周运动的半 径恰好等于正方形边长L,粒子重力不计，求：（1）粒子的比荷q/m；（2） 假设粒子源发射的粒子在0

26、180。范围内均匀分布，此时刻仍在 磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比；（3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。273X = 2a +a3所有在x>a的区域内的轨迹圆圆心均在在x=2a直线上，半径未从轨迹圆半径开XXXxI1XX11X；1KXX1 x!11XXX1X i11x=a。0d P【提示】本题是带电粒子在有界磁场中运动的临界问题六大类型之二，入射点和入射速度大小确定,但入射方向不确定这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在一个以入射点为圆心，以为半径的圆1275t= (一ares in )怙兀4上一一即所谓圆心圆”上。q兀【答案】 一=,5/6 ,m 6Bt0【解答】以

27、L为半径、0点为圆心作 圆心圆”（如图甲）；由于粒子逆时针偏转，从最下面的轨迹开始画起（轨迹），在圆心圆”取不同点为圆心、以 L为半径作出一系列圆（如图乙）；其中轨迹与轨迹对称，在磁场中运动时间相同；轨迹并不经过c点，轨迹对应弦长短于轨迹 对应弦长一一即沿轨迹运动的粒子最后离开磁场。(1)初速度沿 Od方向发射的粒子在磁场中运动的轨迹如图，其园心为几何关系有:粒子做圆周运动的向心力由洛仑兹力提供，根据牛顿第二定律得2兀2Bqv =m(y)2R,q _兀m 6Bt02iRv =T依题意，同一时刻仍在磁场中的粒子到O点距离相等。在to时刻仍在磁场中的粒子应位于以园心，Op为半径的弧pw上。由图知N

28、pOw =6此时刻仍在磁场中的粒子数与总粒子数之比为5/6(3)在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹应该与磁场边界b点相交,.0 45 sin =244512arcs int0兀设此粒子运动轨迹对应的圆心角为0,则9在磁场中运动的最长时间t=T2+ /12.罷七t = ( arcsin )t0。_4【易错提醒】本题因作图不认真易错误地认为轨迹经过c点，认为轨迹 对应弦长等于轨迹弦长，于是将轨迹 对应粒子作为在磁场中运动时间最长的粒子进行计算；虽然计算出来结果正确，但依 据错误。【练习3】如图所示，xOy平面内存在着沿y轴正方向 的匀强电场.一个质量为m,带电荷量为+ q的粒子从坐标原点O以速度V0

29、沿x轴正方向开始运动.当它经过图中 虚线上的M(2寸3a, a)点时，撤去电场，粒子继续运动一段 时间后进入一个矩形匀强磁场区域(图中未画出)，又从虚线上的某一位置 N处沿y轴负方向运动并再次经过M点.已知磁场方向垂直 xOy平面(纸面)向里，磁感应强度大小为 B,不计粒子的重力，试求：(1) 电场强度的大小；(2) N点的坐标；(3) 矩形磁场的最小面积.所以从粒子发射到全部离开所用时间为对应【提示】 本题是带电粒子在有界磁场中运动的临界问之六：已知初速度方向（所在直线）和出射点，但入射点不确定这类题六大类型之四：已知初、末速度的方向（所在直线），但未知初速度大小（即未知轨道半径大小）这类问题的特点是:所有轨迹圆的圆心均在初、末速度延长线形成的角的角平分线上。【答案】2匚 mv06qa Xn =2>/3a4m2v2 Smin = Li X L2 =22q B【解答】Vy=VotM做类平抛运