傅里叶变换与滤波器形状.

1、第7*傅里叶i换鸟谗波彬状中国科学技术大学曾凡平第7章主耍内容离散时间傅里叶变换确定滤波器的形状以及它的特性， 本章讨论：应义离散时间傅里叶变换定义数字滤波器的频率响应建立频率响应、传输函数、弟分方禅和脉冲响应之间的 联萦4.5a7.8用离散时间傅里叶变换计算滤波器在正弦输入时的输出 确宦数字滤波器的邮度响应和相位响应建立模拟频率和数字频率的关系说明极冬点位置如何决定滤波器形状研究一阶系统和二阶系统实例7.1傅里叶变换基础滤波器的特性上要通过频域的特性来描述。比如对滤 波器的分类.就是从滤波器对不同频率输入信号的过 滤作用进行分类的。离散时间傅里叶变煦DTFT)是数字信号分析的一个工 具，相当

2、于模拟信号分析的傅里叶变换(本章耒讨论) DTFT把信号或滤波器从时域变换到频域，这主耍是 为了研究信号或滤波器的频率特性.像帕面章节屮介 绍的Z变换一样，用DTFT可使讣算更容易。这一变换 主耍用來分析滤波器形状和信号频谱。B7*itrtty 址尺耶信号的频谱及滤波器的频率响应対于传号而哮，DTFT提供的信息隸卷信号的 頻确，关于信号频谱将在下一章中讨论。DTFT得创的信总隸拓谏浪 姜的殖卑询定(frequency response),它由两 部分组成；枢1 构;S (magnitude response)和 依切注(phase response),这些将在7.3.2节 讨论。福衣询注伶出了

3、流波的形狀，通过它 可以深入了解滤波器的工作情况。7.1.1雷獄讨同痔里叶变换DTFTD777的定义：.(0)二$讣水用 Q：称为数？频率 记为：X(2)二川力训相当于Z变换式中的/ill e = cos(nQ) 7 sin(/iQ)on故：工(Q) 乂 可以-*d/j5LV(Q=A/il - (tcsnQ) - j sin/Q)=-逆离散时间傅里叶变换：山X(G)计?M川的过程2龙A*积分区间氐度为2;r (积分h卜-RiZ差)从v(0的定义知：同一数字序列fnv( /?)的值取决 r数字频率当数字信号斗川包含的正弦或余 弦分M与数字余弦5附0)或正弦助(” 0)共 振”，也就是说，X门 1

4、包含的正弦分駅频率等于 0, 丫(/?)取得最犬值。见图71 (P174)，图71只考虑了川。)的实数部 分。图7.1(c)屮较大的乘积，表明所研究的信号具有接 近=0J弧度的数字频率。DTFT的计算.DTFT看起來很恐怖，因为冇无限项和耍计算，但 程实践中的信号均为冇限项，H般借助计算机 來辅助分析，实际上并不町怕.函数；J Xofn ega=freqz(xn, 1, omega) wwega为频率向量-为所乌嚓的缶号厂DTFT举例例71求图7.2所示信号的离散时间傅里叶变换。解：.只冇4个非零采样值H? IM化勺0尸几1, 2, J)对变换 有贡献，因而：X(n)= m 対 n l = 2

5、 - F + 3*声】 : .一般情况下，ormu 数值。7.1.2 DTFT的性质仁线性性质：满足穂加原理2、时延特性：厂；4川之初（2） 时域屮皿的延迟在频域巴引入一个复指数 严3、周期性山 ” -jH（n*2jr） _-Jfi2rr -yidi _ -jHCi工（0 + 2初=2）所仃的D7/T对r所仃的毎2厂重復一次，也 就是说，只需耍考虑X（ ）在Si ei（）, 2n 区间的特 性就行。S7弭星艸*u7.2频卑佝应及曳它形式721频率响应和弟分方程jfAZ如何从差分方程 中判别是高通、 低通、带通、带 阳滤波？根据频率响应与 差分方程的关 系，Mfe度频率 响应图判断。乞w価*卜工

6、 心上-3-：利用DTFT的吋延特件得NMy（QY yJWxg）滤波器W频半响应：a n*4 fYQ）工 -vH(Li)= 力| 广网=川力皿.山此HJ见，差分方程、传输函数、脉冲响应和频率响 应是吋以互换的，它们包含了滤波器的相同的信息， 都町以川来完整地描述滤波器的特性由于频率响应 可以从Z传递函数点接导出，所以认为有三种主要的 模型。例76脉冲响应与频率响应例二6 敎宇港波若的脉冲响应为！/in = 5额/| 一整/1 一 I + 0.25/1 -2 - 0.043 n -3 求濾渡器的率响应的良达式。解：响应是脉冲响应的inrr.JL式(7.3人因而得：/(H)=A切c = 5 - 十

7、 02Vd =（的极点决定的牺态儿|刃 比I刃：稳态值 其中儿I川取决于工的极点,J-/（2）sinQQ z ,-4 /y（2）sinQ-z* ,I 二z f-eLwd 十z-e_严）sin（2。.严 J-H（严） 严-g-a 十_严=（/0） - 心-H（严）-旳。频率响应H（a）= Hg 1. q=|H（血）1fW H（=H（a） 0（Q） = -6（Q）21令G = Q。则冇（严” （0。口（0胡叫）H （严）=“（-Q。）=1 （0。）屯-刪必*.-. - H（QJ 卜严严- Wg）卜昭讥一皿列H（G卜心”j（g*g_0从切+巩3）汕（皿0 + &（久）同理:xfi = A cos(/

8、zQo) n 儿 M =1 (Qo)IJ cosQiQo + 0(0。) =.v|w = sin(Qo+/?J y/t = H(,) | J sin (L2 + (O J+6*J73频率响应和滤波器形状（续）所以，滤波器对止弦信号的稳态输出为同频率 的IE弦信号，幅度和相位的变化収决丁滤波器 （传输函数）对该频率的频率响应.23731滤波器对正弦输入的作用-询提；假定滤波器是稳定的航曲卩両g),厂 yg2(Q)dg冇时増益|(Q)| 用201og|(G)| 表示(血)i4zil = 7l-|77(Q)Hsin(zfQ+i9(Q)+6,)吋以证明，余弓玄信号.ww/k吨他+2）的频谱为（QJ=z

9、f心屮见图7.4 O在求逆傅里叶变换时，3（刚好消掉 了，所以为了简便起见，K因子被齐抻B7*例7.7例7.8计算特宦频率的正眩输入作用卜的输出 7.7毂字興皐外1.5必凡的余*垃通垃垃沐；8,程此卓下濤发器增*为-21朋,輛仗 走为!6。,*罠崛入度为20.梱仕力12则輸出幅A和材tijl戛少？霹：*Afi/iA2Ol2%ii是命号2(2( 1.5“ + 才)写，虚1 ，那虞址*敢Sti 为-2Z几僧达个隹不傥川于计鼻.必績閉U)4 =0.W1卅换j!U创1值 W为棚ftl 力86。.頓*旳虫的久为down貯 綸出足和繪人焙号租悼*.*1愛擬域*1*_ 柳，印：xn) - /(n)A(n).

10、(20辻驾)(o ow 丨迪).1.782lor将肾式扩晨？仔输出佶号为：yin I.782cM*(I.5ft + 98*)7 8席于” H 10和-20,求出上例嫌出ft号y5-l.782*(lSn +剜)的址 解：0聘哦咸抵度寻贞变送：rn = I.782(xM(I.5n +0.5444)叭# J0= -0.9593 和 y20j=J.7054e73.2幅度响应和相位响应(=|(C)|0Qg1(2) =1/() I或2()log I厅(0)1幅度响丿亂 幅频特件 (n)= z/;(n)：相位持性，相频特性表示在图形I称为幅度、相频特性图。 乎匸计算时，一般以群M为步氏汁算滤波器的 频率响应

11、。见例7.9 (P181)next ppt2i732幅度响应和相位响应(续) H2)rf=- (2)：奇换数只需绘制Q30, rjZiHj的特件，乂它数字频率的频 率响应可以推断出來.另外，Q n的频率特性没 冇总义，因为采样后的高频信号会折返为0n内 的数字频率(混1規家)。例 7.1(Pl 84JO川幅度丫旳对数表示邮频特性的优点是可以表示很大 的增益范由；仃时数字频率也用対数表示，可以表 示观宽的频率范围，尤梵可以把低频特性非常突出 的表现出来(凸i低务精世0占X8 的MitJA矢梱社右A4期 7.7 *4i：4 4l宇AJLrlfLMSX A4 rtliJt：h.2 rlh . 4 n

12、alIU 2 RU1 IteJtMtrtA *4；值是-44 (IB - Mb 3 nd-XT 总嗔值乏429 cifi R 8 *i-I - U11SZ洌 711 Pl 84例7,H 把4fc字信号第“102（彳n）水#1*宇JfeStS上。的换隼响虫钿7点卿示求输出住号。M：戟入偵号的伺學丸ff/4=0.785 4 rarl 庭 7.8申用-实线轧斥。在此师豪鼻注S增&17.4 dBA?-4u相位JL为37炉u 1応尺】妁MK为05堡幷以：tt 了 tt寸tt片耶欲914矶Pl 85H7.12 对洌7.9中的系址闺7.9分*IA出7坨A.分貝增对擴*的*战以观用峯尺和 角ZtH示的栩位A对

13、策辜的由41。根捉上面药分析对于4fc字頻隼，只要#虑0-S的范Bk團7.9lt出了分坪益与集的姜柔。国79(b)a)是柑僮星(孤農)与無皐的臬*, 15 7-9 (b)(ii)送相仅菱(朮)坳頓弗的戋*。增A*i4比297上(“)更渝楚地表明，务有丸 (7.6)爾承皱皐响应杓渡減S相时皋讲低频仕号餃霍频住号更易遇过比校图7.9a)(i)曷(ii)可以出隻揍到分貝对幅度旳曲竹状*3旳扶天.但是从 到用農影联并没有变化以图79(h)(i)与GO只)ifcU*的草位牙円。atSP 二 UUf90|B sOO0OO00O0& SS-S度应明滤器类，图o刃 幅响说了波的型如口 HJIAnM旨單家弘矽4

14、甲w?r字号奋新側审W*駅。粉|?軍羊tf*屮#MW：r 印廿廿#3寸步场11歼裕*9第*样。廿杆絆布W的孝片丄审智7工 g+ - 0-0 t T3二0剤esb炉*卑甲* Zt Li&98T1例714 P188tt7J4海its的脉冲4直为：(7.7)hn & ea1 - k25A/i -； 求诵沁護S的M卓构应#衣出前戏(戏社增亘根拉(戍”0 W：:H雋丈(H2)車碍HCn) .= I - L25r -卄鼻的度*A乌48位?直見袁知由7t2*d債明4式(7.7)卅眛*片哺 A*4X*%ti4aSattrfiytt*ttcfluuii洌7.15 Pl89W7.15 字*汶的丄nJ I ” - 1 - 0.15|( - 3J | I 4LX-AA4AikA(ll)t4.HU(Jt).：由久OJ).N車祐直輪表迪久为$g. I. “苗工卜人环見以祓件AASR轨的*牧仇11一*第ttrtsy址尺皐4M7.| fl7JS7 MY艸*豪4例716 P19()状滤波器，模