傅里叶变换__经典ppt.

1、积分变换Fourier 变换Recall:周期函数在一定条件下可以展开为Fourier级数; 但全直线上的非周期函数不能用Fourier表示； 引进类似于Fourier级数的Fourier积分（周期趋于无穷时的极限形式）§ 1 Fourier积分公式1.1 Recall:在工程计算中，无论是电学还是力学，经常要和随时间 变化的周期函数ZM）打交道.例如：1具有性质巧寸应），其中糜作周期，而1/Q代表 单位时间振动的次数，单位时间通常取秒，即每秒重复 多少次，单位是赫兹（Herz,或Hz）.最常用的一种周期函数是三角函数.人们发现，所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线

2、性组合来逼近. Fourier级数100个正弦波的逼近研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的 情况即可，通常研究在闭区间卜772,772内函数变化的 情况r 7 7 n上满足7； (Q是以丁为周期的函数，在卜Dirichlet 条件：%(门连续或只有有限个第一类间断点；齐(f )只有有限个极值点；去(八可展开成Fourier级数，且在连续点r处成立:a8/y (O = + 工(Q cosz?<ur +0 snna)t)2 /j=i其中3 = 2兀卩,27724,= 仃（J ）COSZ?6）tdt 八 T i-T/r2 =訂丁5伽"仙在间断点r处成立：(ji =0 丄 2,

3、)(刃=12)fp (Z + 0) + (/ 0) d". + 7 a COSZ2Ci)t -hZ? sinncot) 2 flftn=2引进复数形式:+W 一加么COSZ10)1 =inojf C uteae -eSin n(ot =级数化为:-inojte8 / ificct . -inojtinojt+工仏-_+勺-2 台 ”2"2/二+ y f “ -叽严+ 5 +叽严“ 一 2 幺V 22令5=¥心=迁如必=迸如，则5专匸:川皿 T /2 y* /2=f £ (/ )cosne/)t isinnM dt = f fit »T J-77

4、2"TJw/2J 丁/2JT/2=f fr (/ )1 COS舁期 +/ sinncot Jt = f(/ 斤占°山 Ac T J-772丿卩TJ772丿=F5 =1,2,)=耳)5合并为：c” =J ' Jr'i 乂 皿山 5 =0，±1,±2,)T J 厂/2说匸”宀/ » =6站严+O0 级数化为：2空皿«=一00= F(/ )的离散频谱；的离散振幅频谱；argc fj (f啲离散相位频谱；n e乙若以方(/腊述某种信号，则"可以刻画齐(门的特征频率对任何一个非周期函数f都可以看成是由某个周期 函数Zt

5、S当八T8时转化而来的.作周期为卩的函数Zzd),使其在卜7727/2之内等于 f(t在-772,772之外按周期卩延拓到整个数轴上，则卩 越大，7X0与/相等的范围也越大，这就说明当Ttoo 时，周期函数Zt便可转化为/，即有lim齐仃）=/仃）T f+00'例矩形脉冲函数为(0 IM>1如图所示:1-1 o1现以ra)为基础构造一周期为卩的周期函数Zy"), 令卩=4,则+CO工/d +4/2),n002 兀 2n 71nnCt) = = = 9 ©, =na)=742"2hr=4 T1乙5 =筋徉疋g加=扌人仃叫山=扌J $-曲山1 sin &

6、lt;y.八.-=sinc(<y ) (/? = 0,±1,±2,-)2fl777sine函数介绍sine函数定义为sinc(-v )=聖竺X严格讲函数在x=0处是无定义的，但是因为lim 沁2° X 所以定义sinc()=l,用不严格的形式就写作也"X前面计算出c” = sines”) (n =0,±l,±2)f* = neo =n号，可秤“以竖线标在频率图上现在将周期扩大一倍，令以为基础构造 一周期为8的周期函数fHO+8厶()=工.f (f +&2),H =82 兀 2龙 71n 71G)= = = ,0“ =nc

7、o =r 84"41 .L5 =JrA W叫tT r=f £(/)£*-，%刃=f e一曲dt gJ 严8 J-* /-&叫1 sin © 4叫(严Y-叭)=since)5= 0,±1,±2,)则在卩=8时，C” =扌 sine(69”)(/? =0,±1,±2,)2” n TTCO" =na = n ，再将以竖线标在频率图上9 / t/"d、 /IJ999J z、qtt1h1 r r.j"灿7"Q如果再将周期增加一倍，令卩=16,可计算出J =-sinc（0“）（Z

8、2 =（）,±1,±2,）88 ,再将5以竖线标在频率图上2nn兀<y =no)n " 16/flTIlhLuj “QDJ"般地，对于周期卩C" =Ji A（t）e Zdt=丄严d_（/叫一严 Tj畋T J-i=-*曲-g-=j_. sin® = since6y ) (n = 0,±l,±2,) T %T”当周期T越来越大时，各个频率的正弦波的频率间 隔越来越小，而它们的强度在各个频率的轮廓则总是 sine函数的形状，因此，如果将方波函数/看作是周 期无穷大的周期函数，则它也可以看作是由无穷多个无 穷小的正弦

9、波构成，将那个频率上的轮廓即sine函数的 形状看作是方波函数f的各个频率成份上的分布，称 作方波函数/'的傅里叶变换.上满足Dirichlet条件,1. 2 Fourier积分公式与Fourier积分存在定理 设/丁（）为T* -周期函数，在-一,一 乙 厶 则齐）可展开为Fourier级数：+<o+00n =00n = YOs ="3=5 兀/T s =+j：；齐（皿g 切.L-即U（吹.际dr e/f =-oO由 lim （t（r）=/（r）T I +CO可知/（"忠-工” =一00当n取一切整数时，所对应的点便均匀分 布在整个数轴上：52兀fO)JLX

10、O Q 0)2 0?令 = % -0L = 27r/T （与比无关），T = 2兀I Mo Aq T 0 O厂T +OC,此时视®为Q（连续变量）+COtfT1 +8=lim 马TO 2兀T（7宠-阿（1厂2（厂严匸2J"n coLJ;齐（厂疋阿旷+COf a)= lim y Ft Q5八r/flZr、3n ->0 2 兀n厶"ZI=-cOtr/2+8 T f+s/()= Ft nQ咛dr I /(r)widr => F (coyJ 一丁/2Jco由定积分定义八认（注：积分限对称）+00 r-co uL八厂严如It*(/)付氏积分公式定理(Fourie

11、r积分存在定理丿若广仃在任何有限区间 上满足Dirichlet件，且在(-oo, + 8)绝对可积，则I /48L Q48I ,f f山、严店冲32kJ-8LJ-8"了仃)为连续点;F为间断点。= «/(+O)+.f(FO)I2在(YO,+8)绝对可积是指的ni/(Z)ldZ收敛。J -oO/(7)付氏积分公式也可以转化为三角形式+8 rf /'(CW"J00dr Re de=丄厂2兀 J-sJ00+00COf (r)cos<y (/ r)drJ -6 L J00+00p+cO-+j I f (r)sin69(Z rWr dcoJ-00_-00因f

12、f (r)sin69(z -cdz是0的奇函数,J-co1 r+8fs-|)= f (r)cos<y(r r)dr2 兀 J-co LJ-00-co又考虑到积分/（r）costy（Z rydrG）的偶函数， J-s»I1 r+Srsn从于（/）=/（r）cos69（z -r）dr d<v2兀 J-8 LJ-8-/口1 r+8厂sn可彳导/（）= f <r）cos£y（Z -r）dr dty。J 0 J co一§ 2 Fouriti变换2.1 Fourier变换的定义一.1 广+s 厂 #+c0"dr 严do已知： /（）=j rf /（

13、r）£?2龙 J-oo LJy>FSU 厂/（心 间/（实自变量的复值函数）< 00称为/（/）的Fourier变换，记为歹!/（）。 P F 13、严do）称为F Ct的Fourier逆变换， 2兀 J-s记为歹iFs）.若歹【/( )l = F(y),则歹一'|F(<y)|= /(f)；若歹 I IF 9)1 = /(/),则歹 1/a)l = F(<y)fit) F (0):对应，称为一组Fourier变换对八八称为原像函数，FS)称为像函数。Fourier积分存在定理的条件是Fourier变换存在的 种充分条件.在频谱分析中，傅氏变换F(劲又称

14、为/的频谱函 数,而它的模屮(劲称为/()的振幅频谱(亦简称为频谱). 由于4是连续变化的，我们称之为连续频谱，对一个时间 函数/作傅氏变换，就是求这个时间函数/P)的频谱.F3fS的频谱密度函数; |F<£U )1(0的振幅频谱； argF(6nT (r)的相位频谱.例1求矩形脉冲函数f(f)=(h "I*的付氏变换及其 积分表达式.b 2.F(6y) = J f U ye dt = Jiojt Ie" dt = 一ico _i丄(严”=2s】叱91 +8 1/(Z)= F (0)0 d0 = F (e)cosefde2兀一8花Jq=-J兀Jo+2sin

15、co,2 f+<«sin£ucos<yz ,cos eta® = d3TT J°COCOy dry = 5 兰4、() 因此可知当r =0时，有 f+s sinx+«d牙=Jo XJ(严 sine COS cotJo<vld<lt = ld> 1sinc(x)dx=- 0 2302+<y2t <)t =0t >0例2求指数衰减函数"Te；鳥的傅氏变换及其 积分表达式其中0>0f+oo-F(Q)=r+CO=8巳"e M才<1/ =s巳T丹何"dr =笃JoJ

16、o0 + j0 俨 2f (t、=f F='2兀 Jy2兀s1 r十8Qcos劲+QsinQr , =Zzd co"Jo2.2单位脉冲函数及其傅氏变换在物理和工程技术中，常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质，如在电学中，要 研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电 流；在力学中，要研究机械系统受冲击力作用后的运 动情况等.研究此类问题就会产生我们要介绍的单位 脉冲函数.在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为仁0)进入 一单位电量的脉冲，现在要确定电路上的电流/(/)以g(r) 表示上述电路中的电荷函数，则(0,/H0;W)=Ih r=O.dz Az-

17、>oA/当时，询)=0,由于W)是不连续的，从而在普通 导数意义下,<7在这一点是不能求导数的.如果我们形式地计算这个导数，则得.C§() + Z)-ty(O)Z 1 z(0)= 11 m = 11 m=00Ar0 N )这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能 够表示这样的电流强度为了确定这样的电流强度，引进 一个称为狄拉克(Dirac)函数，简单记成5函数：(8 / = 0有了这种函数，对于许多集中于一点或一瞬时的量，例 如点电荷，点热源，集中于一点的质量及脉冲技术中的 非常窄的脉冲等，就能够象处理连续分布的量那样，以 统一的方式加以解决.rOt <0给函数

18、序列戈（r）=彳一 £、0定义"f）= iim戈仃）= 1°5 £loc0<f <£f+SF+cO _f )dz = lim r 二 JSZ > £/ H 0Z =0（在极限与积分可交换意义下）工程上将&函数称为单位脉冲函数.可将&函数用一个长度等于1的有向线段表示，这个 线段的长度表示*函数的积分值，称为*函数的强度.4函数有性质：f+COf+8=/（0）及 （r-厲）/）山=/do）.JcoJco（八门为连续函数）可见&函数和任何连续函数的乘积在实轴上的积分都有明确意义-005函数的傅氏变

19、换为：f+OO一一乡"75（） = F （<y） = I 5kt）c dt = 一" |f=o = J -co_I r+g石L"于是5。）与常数1构成了 一傅氏变换对.n 匚宀 e = 2Qr）5（C =歹 Tl = 一严do）1 rr J-例I证明：1和2肝（効构成傅氏变换对.证法1： 歹1 1=厂1£如dr =T 厂丘伽山=2丹9）J-8= J0O证法2：若F（劲=2加?9）,由傅氏逆变换可得/（）=一f 2兀§ （ <y| q = 12托 Jy例2：证明0皿和2;访S - £0）构成一个傅氏变换对。I G+cc证：f

20、a）=r F（e）V dco2兀 J-s1 +8 - 一 , =石匚2兀（/一"0）»"4< = ®" I砂斑=e"初.即6歸和2加吗）构成了一个傅氏变换对。1:1由上面两个函数的变换可得f）J-co匚"d F = 2n8（ e - ）在物理学和工程技术中，有许多重要函数不满足傅 氏积分定理中的绝对可积条件，即不满足条件P 4 0011/(/ )|dZ <00例如常数，符号函数，单位阶跃函数以及正，余弦函数 等，然而它们的广义傅氏变换也是存在的，利用单位脉 冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换-所谓 广义是

21、相对于古典意义而言的，在广义意义下，同样可 以说，象原函数f和象函数FS)构咸一个溥氏变换对.sin©/八例4求正弦函数/'（f）=sm卯的傅氏变换。 F d = lf <7 ） = e j" sin©/ d/8J8-+coeJ5*-e-M 材=f -严dr,2jI e +0O_ _ f （3计 _9+加/ ）d/2j J-s=12兀& （ <y,） 56 S + s） 1 IF（Q）I r uu2jTV= j;r|5（e + tyo）-/（y-<yo）.O例5单位阶跃函数“("；：,证明:(J)1 =7iS3)j3I

22、e+SI <+30 If 56(3)2 d 3+I 2兀 J-8Itt J-8 lje. cos cot + j sin 劲严dcodcoL 疋sin0/1 ,11 r+® sin cot ,dca =d(o2 兀 Jo 3CQ丄-+ 兀3 (co、 1严6 1 +龙5(69)Lj2龙，J-00Lyee叫3证：歹2广沁仏=严2>0 =Jo e-7r/2, / vO齐(加八0+肝(0)%r =0> = "(/)§ 3 Fourier变换与逆变换的性质这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质，为了叙述方 便起见，假定在这些性质中，凡是需要求傅氏变换的函 数都

23、满足傅氏积分走理中的条件，在证明这些性质时， 不再重述这些条件.1.线性性质:Jcif a )+帥仃)=a£n/a ) +b歹#(7 )歹1/尸3)+兀9)=4歹1尸9)+3歹|心9)2 位移性质：0,若Sq/") = FS),为实常数,则的 f(/-(o)=£T 如 F(G), 歹卄(0-=严丁(7) 或歹0如/ (/ 讨=F (e -)证明：歹/(F -/)1 = J/(z叫t.S = Z f» f f S 比S+b'dsU J-00=w一皿。"7($)幺一皿$ =川吓3 J-co3 相似性质:若歹l/(F)=F(e), OH(),则jry'(at)=F(-);歹 F (at) = -/(-)|n| a|fl| a证明:r+oo. m j歹L/(m)=|/(d比J-81 r+<o-j<o-I js )e "ds, a >0 a J8Sf<OJQ) f (s )e udsq d V 0J+oO+8-y513=f “s)e « ds=Fa|JYokzl a例1计算夕1"（5/2）。方法1:（先用相