三角函数复习（课堂PPT）

1、21.1.角的概念角的概念(1)正角、负角和零角：按时针方向旋转所形成的角叫；按 时针方向旋转所形成的角叫；没有作任何旋转，称它形成一个 角负角负角正角正角零零逆逆顺顺2.2.象限角与终边相同的角的表示象限角与终边相同的角的表示: :(1)象限角：使角的顶点与 重合，角的始边与重合，角的终边落在第 象限，就说这个角是第 象限角原点原点x轴的非负半轴轴的非负半轴几几几几 | | =2k=2k + + ,k,k ZZ或或 | | =360=360 k+k+ ,k,k Z(Z( , , 终边相同终边相同) )x x轴正半轴轴正半轴 =2k=2k ,k,k Z Zx x轴负半轴轴负半轴 =2k=2k

2、+ + ,k,k Z Z 2 2y y轴正半轴轴正半轴 =2k=2k + ,k+ ,k Z Zy y轴负半轴轴负半轴 =2k=2k + ,k+ ,k Z Z3 3 2 2 2 22k2k + +2k2k ,k ,k Z Z终边相同的角终边相同的角轴线角轴线角象限角象限角2k2k + + 2k2k +2+2 ,k,k Z Z3 3 2 22k2k + + 2k2k + ,k+ ,k Z Z3 3 2 22k2k + + 2k2k + + ,k,k Z Z 2 23(2)与角与角终边相同的角的集合：终边相同的角的集合： |2k，kZ3.角的度量角的度量:451 1终边与坐标轴重合的角终边与坐标轴重

3、合的角的集合为的集合为( () )A A | |k k360360，k kZZB B | |k k180180，k kZZC C | |k k9090，k kZZD D | |k k1801809090，k kZZC C练习一练习一(3(3题题) )2.22.2弧度的圆心角所对弦长为弧度的圆心角所对弦长为2 2，则这个扇形的面积为，则这个扇形的面积为_。21sin 1AOB1sin1r1sin11sin11sin2212S67(1)(1)已知扇形的周长为已知扇形的周长为10 cm10 cm，面积为，面积为4 cm24 cm2，求扇形圆，求扇形圆心角的弧度数；心角的弧度数；(2)(2)已知一扇形

4、的圆心角是已知一扇形的圆心角是7272，半径等于，半径等于20 cm20 cm，求，求扇形的面积扇形的面积代入得r25r40，解之得r11，r24.当r1 cm时，l8(cm)， 此时，8 rad2 rad舍去；当r4 cm时，l2(cm)，此时， rad.128(1)(1)已知扇形的周长为已知扇形的周长为10 cm10 cm，面积为，面积为4 cm24 cm2，求扇形圆，求扇形圆心角的弧度数；心角的弧度数；(2)(2)已知一扇形的圆心角是已知一扇形的圆心角是7272，半径等于，半径等于20 cm20 cm，求，求扇形的面积扇形的面积910(1)定义：任意角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半

5、轴重合，终边上任意一点P(x，y)到原点的距离为r,则4 4任意角的三角函数任意角的三角函数(3)三角函数的定义域正弦函数ysin的定义域：余弦函数ycos的定义域：正切函数ytan的定义域：_|R|R.PO xy (2)三角函数的符号如图所示：即：_一全正，二正弦，三两切，四余弦一全正，二正弦，三两切，四余弦11(5)(5)特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值: :sinsin coscos tantan cotcot 0 0 6 6 4 4 3 3 2 2 3 3 2 22 2 (4) (4) 三角函数线三角函数线: : 正弦线正弦线MPMP、余弦线、余弦线OMOM、 正切线正切线ATAT

6、、( (余切线余切线) ) O M A PTxy0 01 12 2 2 22 2 3 33 3 2 22 2 3 32 2 3 32 2 3 33 31 10 0-1-11 10 01 12 21 10 0不存在不存在不存在不存在-1-10 00 0不存在不存在0 00 01 10 0不存在不存在不存在不存在0 01 1 3 3 3 312131415练习二练习二(6(6题题) )BD4.函数y= 的值域是_xxxxxxtan|tan|sin|sin|coscos3,-13,-11.1.若角若角满足条件满足条件sin2sin20 0，coscossinsin0,0,则则在在( () )A A第

7、一象限第一象限 B B第二象限第二象限C C第三象限第三象限 D D第四象限第四象限B B1615.0 2 sin()2xx在 ，上满足的 的取值范围是525A.0, B. C. D.666636，6. 利用单位圆写出符合下列条件的角利用单位圆写出符合下列条件的角x的范围的范围1(2) cos.2x 1(1) sin;2x B B522,66kxkk22,33kxkk171.1.关系式关系式( (三倒二商三平方三倒二商三平方):): (1)sincsc=1;cossec=1;tancot=1 (2)tan= ; cot= (3)sin2+cos2=1;1+tan2=sec2;1+cot2=cs

8、c2cossinsincos2.2.利用上述关系利用上述关系, ,可以解决以下问题可以解决以下问题: : (1)(1)已知某角的一个三角函数值已知某角的一个三角函数值, ,求其他各三角函数值求其他各三角函数值; ; (2) (2)化简某些三角函数式化简某些三角函数式; ; (3) (3)证明某些三角恒等式证明某些三角恒等式. .18解解: : sincos= ,而sin2+cos2=1, (cos-sin)2=sin2+cos2-2sincos =1- = 又 cos, cos-sin=- 18143424 3 32 2例:已知sincos= ,且 ,则cos-sin=_.1842192.已知

9、tan= ,则 =_.cos+sincos-sin2提示提示: :显然显然coscos 0,0,分子分母同除以分子分母同除以coscos 后代入即得后代入即得1.已知是第三象限角,则 sec1+tan2+tansec2-1=( )(A)(A) 1 (B)1 (C)-1 (D)1 (B)1 (C)-1 (D)以上都不对以上都不对3.已知:(0, ),化简1+2sincos-1-2sincos.2-3-2-3-2 2 2C C解解: :原式原式= = (sin(sin +cos+cos ) )2 2- - (sin(sin -cos-cos ) )2 2 =|sin=|sin +cos+cos |

10、-|sin|-|sin -cos-cos | | 当当00 时时,0sin,0sin coscos ; ; 当当 时时,0cos,0cos sinsin 原式原式= =2sin2sin 2cos2cos (0, (0, ( , )( , )2 2 4 4 2 2 4 4 4 4 4 4 练习三练习三(4(4题题) )提示提示: :原式原式=sec=sec|sec|sec |+tan|+tan|tan|tan |,|,又又 为第三象限角为第三象限角, , sec sec 0,tan0,0,从而得从而得. .201.1.常用的六组诱导公式常用的六组诱导公式: : (1) (1)2k2k + + (

11、 (即即k k 360360 + + ) )组组 (2)(2) - - ( (即即180180 - - ) )组组 (3)(3) + + ( (即即180180 + + ) )组组 (4)-(4)- 组组 (5) -(5) - ( (即即9090 - - ) )组组 (6) +(6) + ( (即即9090 + + ) )组组 2 2 2 2用公式时都是把用公式时都是把 看看作锐角作锐角, ,先化简式子先化简式子, ,最后再转化最后再转化 ! !2.2.利用诱导公式求任意角的三角函数值利用诱导公式求任意角的三角函数值, ,一般步骤一般步骤: :任意角的任意角的三角函数三角函数0 0 到到360

12、360 角角的三角函数的三角函数任意正角的任意正角的 三角函数三角函数0 0 到到9090 角的角的 三角函数三角函数21练习四练习四(4(4题题) )3.3.计算计算:sin:sin2 21010 +sin+sin2 28080 +tan10+tan10 tan80tan80 =_.=_.1964.4.化简求值化简求值:(1)sin(- )=_.:(1)sin(- )=_.tan(tan( + + )cos)cos3 3(-(- - - ) )cot(cot( +4+4 )cos()cos( + + )sin)sin2 2( ( +3+3 ) )(2) =_.(2) =_.C C2 21 1

13、2 21 12.2.若若cos(cos( -x)= ,x-x)= ,x (-(- , , ),),则则x x的值为的值为( )( ) (A) (A) 或或 (B)(B) (C) (C) (D) (D) 32676565623o1.tan600_.= =3221.1.正、余弦函数、正、余切函数的图象与主要性质正、余弦函数、正、余切函数的图象与主要性质x|xx|x R R且且xx k k + ,(k+ ,(k Z)Z) 2 21 1-1-1 2 2 x xy yO O1 1-1-1 2 2 x xO O 2 2 2 2x xy yO O- -函数函数y=sinxy=sinxy=cosxy=cosx

14、y=tanxy=tanx一周期一周期 图象图象定义域定义域值域值域单调性单调性奇偶性奇偶性周期周期2k2k + + (k(k Z)Z) 2 22k2k - ,- , 2 22k2k + + (k(k Z)Z)3 3 2 22k2k + ,+ , 2 2R RR R-1,1-1,1R R在在2k2k + + ,2k,2k (k(k Z)Z)在在2k2k ,2k,2k + + (k (k Z)Z) 2 2k k - ,- , 2 2k k + )+ )在在( ( (k k Z)Z)上都是上都是 增函数增函数奇函数奇函数偶函数偶函数奇函数奇函数2 2 2 2 -1,1-1,1232.2.周期函数和最

15、小正周期的意义周期函数和最小正周期的意义 对于函数对于函数y=f(x),y=f(x),如果存在一个常数如果存在一个常数T0,T0,使得当使得当x x取定义域取定义域中的每一个值时中的每一个值时, ,都有都有f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x)成立成立, ,那么函数那么函数y=f(x)y=f(x)叫做叫做周期函数周期函数, ,T T叫做叫做f(x)f(x)的的周期周期. . 对于一个周期函数来说对于一个周期函数来说, ,如果在所有的周期中存在一个最小如果在所有的周期中存在一个最小的正数的正数, ,就把这个最小正数叫做就把这个最小正数叫做最小正周期最小正周期. . 三角函数的周期概指最小正

16、周期三角函数的周期概指最小正周期. .243.3.正弦型函数正弦型函数y=Asin(y=Asin( x+x+ ) )的振幅、周期、相位、初相的振幅、周期、相位、初相 及其图象与函数及其图象与函数y=sinxy=sinx之间的关系之间的关系(1)(1)当当A0,A0, 00时时,A,A称为该函数的称为该函数的振幅振幅, ,2 2 =T=T称为函数的称为函数的周期周期, ,( ( 为角速度为角速度) ), , x+x+ 称为函数的称为函数的相位相位, , 称为函数的称为函数的初相初相. .(2)(2)当当A0,A0, 0,x0,x R R时时,y=Asin(,y=Asin( x+x+ ) )的图象

17、的图象, ,可以看作把可以看作把y=sinxy=sinx的图象上的所有的点向左的图象上的所有的点向左( (当当 0)0)或向右或向右( ( 0)1)1)或伸长或伸长(0(0 1)1)(A1)或或缩短缩短(0A1)(0A1)到原来的到原来的A A倍倍( (横坐标不变横坐标不变).).25题型一：求三角函数的值域和最值题型一：求三角函数的值域和最值(1)sin3cos ,2yxx x.求函数的值域2sin()3yx1.,值域为，22(2)cossin ,4yxx x.求函数的值域22151 sinsin(sin),24yxxx 12 524.值域为，注注:最终化为一个角的三角函数式或其复合式.26

18、xxxx22例1.求y=sin +2sin cos +3cos 的值域 1yxxx 2解：2cos2sin cos1 (1) xx cos2sin22xx cos2sin222)4x sin(21) 1.4xRx Qsin(222, 22.函数的值域为题型一：求三角函数的值域和最值题型一：求三角函数的值域和最值27sincossin cosyxxxx. (2)求的值域 sincos ,2sin()22 .4txxtx 解：令则，2221111(1)1.2222ttttty 11,22.函数的值域为28(1)sin(2 )yx例2.求的单调递减区间32,3xy = - s解：函数可化n为：i2k

19、 -22k,.232xkz由题意可得5k -k,.1212xkz5k -k().1212kz函数的单调递减区间为，题型二：三角函数的单调性题型二：三角函数的单调性29题型二：三角函数的单调性题型二：三角函数的单调性(2)比较tan1,tan2,tan3的大小.,tan 3tan 3tan,2231.22yx解: tan2=tan 2-在上是增函数,且-0,A0)的图象如右, 则函数的解析式为_.yxO-(0,- )352-5.已知函数y=log0.5cos2x.(1)求定义域、值域;(2)判断函数的奇偶性;(3)求函数的单调区间.B BD D 3 3-1-1y=2sin( + )y=2sin(

20、 + )2x2x3 35 5 3 3答案答案:(1):(1)定义域定义域(k(k - ,k- ,k + )(k+ )(k Z);Z);值域值域y|y0;y|y0; (2) (2)偶函数偶函数;(3);(3)在在(k(k - ,k- ,k , ,在在 k k ,k,k + )+ )(k(k Z) Z) 4 4 4 4 4 4 4 433( (五五) )方法指导方法指导1.1.坐标法坐标法 2.2.主元法主元法 3.3.递归法递归法 4.4.几何模型法几何模型法 5.5.图象变换法图象变换法3.3.递归法递归法: : (1)诱导公式可化任意角三角函数为锐角三角函数. (2)诱导公式中的角为任意角,

21、确定符号时当锐角处理. (3)研究周期函数图象性质时,可先归到一特殊周期研究.1.坐标法(数形结合法的表现): 角的概念在平面直角坐标系中出现,能直观地说明角的内涵,终边相同的角、象限角等概念能把众多角归类.2.2.主元法主元法: : 当问题涉及多种三角函数或多个角时,据条件选取其中一个三角函数或一个角为主元,把其他各三角函数或角进行变换,化为主元三角函数或同角三角函数.简单说成: 化同名化同名, ,化同角化同角, ,切割常化弦切割常化弦. .返返 回回34证明:在平面直角坐标系中,取单位圆(如图). 依定义可知,sin=MP,tan=AT,而即 为弧AP的长.考虑三角形OMP和OAT及扇 形

22、OAP的面积,有SOMPS扇形OAPSOAT, 再据三角形及扇形面积计算得:MP弧长AP0,0)的图象作法,除了用“五点法”外,还有图象变换法(平移变换、伸缩变换).O M APTxy例例: :已知已知(0(0 ,90,90 ),),求证求证:sin:sin tantan . .35( (六六) )注意问题注意问题1.1.区分区分“角角” 2.2.判断符号判断符号 3.3.恒等变换恒等变换4.4.活用公式活用公式 5.5.由形察数由形察数 6.6.对称问题对称问题1.区分“角”: 主要指当角相同时,三角函数值相等;而当三角函数值三角函数值 相等时相等时, ,角不一定相等角不一定相等!特别是终边

23、相同的角并不就是相终边相同的角并不就是相 同的角同的角!初学三角函数时常会把它们混在一起.2.判断符号: 一指诱导公式诱导公式中各符号的判断;二指利用“一倒二商三 平方”的 “平方关系平方关系”求值时,需根据角的范围来确定平方 根号前的“+”或“-”号. 如如:sin:sin =0.5,=0.5,(360(360 ,450,450 ),),则则 =390=390 , ,千万千万 不能写成了不能写成了3030 ! !如果用弧度制写更易出错如果用弧度制写更易出错! !返返 回回363.恒等变换: 主要指在化简或证明过程中,必须在定义域上对式子进行保“值”变“形”,避免会改变定义域的变换.4.活用公

24、式: 在化简求值等变形中,要合理决定变换的简捷程序,善于观察角,如x+30和60-x互余,x+45与135-x互补等.例例: :函数函数y= y= 在在x x (- , )(- , )时为奇函数时为奇函数, ,而而 在在x x R R时却是非奇非偶函数时却是非奇非偶函数, ,原因即在此原因即在此. .1+sinx-cosx1+sinx-cosx1+sinx+cosx1+sinx+cosx2 2 2 2 5.由形察数: 这是数形结合思想的一个方面.既可从图形中发现一些函数性质, 又可从图形中得到函数解析式.376.对称问题: 函数y=Asin(x+)的对称轴可由图象的直观性得到,为“过最高(低)

25、点且与x轴垂直的直线”,即x= (kZ).又令x+=k,就得到函数图象的对称中心是点( ,0)(kZ). k+ -2 k-38题题:下面函数中, 图象以直线x= 为对称轴的是( ) (A)y=sinx (B)y=cosx (C)y=tanx y=cotx12解解:y=sinx的对称轴由x=k+ 得到,即x=k+ , (kz),令k=0,即得x= ; y=cosx的对称轴由x=k得到,即x=k,(kz); 而y=tanx和y=cotx的图象都不是轴对称图形. 故选(A)(A)22 121答案为答案为-1,-1,你做对了吗你做对了吗? ?注注: :若把这种题变形若把这种题变形, ,出这样一道题出这样一道题, ,看会不会做看会不会做: : 如果函数如果函数y=sin2x+acos2xy=sin2x+acos2x的图象关于直线的图象关于直线x=-x=- 对称对称, ,那么那么a=_.a=_. 8