初中几何反证法专题(75[1]5K).

1、初中几何反证法专题学习要求rr9 了解反证法的意义，懂得什么是反证法。理解反证法的基本思路，并掌握反证法的一般证题步骤。知识讲解对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命 题结论的反面不能成立。从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一 种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提高推理论证的能力、探 索新知识的能力都是非常必要的。下面我们对反证法作一个简单介绍。1. 反证法的概念：不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而 证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。2反证法的基本思路：

2、首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个矛盾的结论来，并据此否定原先的假设，从而确认所要证明的结论成立。这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件 矛盾，或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与日常生活中 的事实相矛盾，甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相 互矛盾(即自相矛盾)。3反证法的一般步骤：(1) 假设命题的结论不成立；(2) 从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；(3) 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。简而言之就是 反设-归谬-结论”三步曲。例1.已知：AB、CD是O O内非直径的两弦(如图 1)

3、,求证AB与CD不能互 相平分。(1)证明：假设 AB与CD互相平分于点 M、则由已知条件 AB、CD均非O O直径, 可判定 M不是圆心 0,连结0A、OB、OM。 0A = 0B , M 是 AB 中点 0M丄AB (等腰三角形底边上的中线垂直于底边)同理可得：0M丄CD，从而过点 M有两条直线 AB、CD都垂直于 0M这与已知的疋理相矛盾。故AB与CD不能互相平分。例2.已知：在四边形 ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点,且 MN =2 (AD + BC)。 求证：AD / BCC8证明：假设 AD*BC，连结ABD，并设P是BD的中点，再连结 MP、PN。在 ABD中/ BM =

4、 MA , BP = PD丄 MP= 2 AD，同理可证 PN= 2 BC丄从而 MP + PN=2 (AD + BC)这时，BD的中点不在MN上 若不然，则由 MN / AD , MN / BC,得AD / BC与假设AD* BC矛盾,于是M、P、N三点不共线。从而MP + PN> MN I.(AD + BC)由、得 2 (AD + BC )> MN，这与已知条件 MN =相矛盾，故假设AD* BC不成立，所以AD / BC。课堂练习1.求证:三角形中至少有一个角不大于60 °求证: 已知：设 求证：m2.一直线的垂线与斜线必相交。m, n分别为直线I的垂线和斜线(如图

5、)，垂足为A，斜足为B 和n必相交。AD与BE不能被点H互相平分。CD3. 在 ABC中，AD丄BC于D, BE丄AC于E, AD与BE相交于H , 求证：求证：直线与圆最多只有两个交点。求证：等腰三角形的底角必为锐角。已知： ABC 中，AB = AC求证：/ B、/ C必为锐角。参考答案：/ B、/ C都大于60°O1证明：假设 ABC中的/ A、 则/ A + / B + / C>3X60° = 180 这与三角形内角和定义矛盾，所以假设不能成立。故三角形中至少有一个角不大于60°。2. 证明：假设m和n不相交则m / n/ m 丄 I n 丄 I这与

6、n是I的斜线相矛盾，所以假设不能成立。 故m和n必相交。H互相平分，则ABDE是平行四边形。BCC点矛盾，3证明：假设AD、BE被交点 AE / BD，即 AC / 这与AC、BC相交于 故假设AD、BE被交点H平分不能成立。所以AD与BE不能被点H互相平分。4. 证明：假设一直线 I与O O有三个不同的交点 A、B、C,M、N分别是弦AB、BC的中点。 OA = OB = OC在等腰 OAB和 OBC中 OM 丄 AB , ON 丄 BC从而过O点有两条直线都垂直于 I，这是不可能的，故假设不能成立。 因此直线与圆最多只有两个交点。5证明：假设/ B、/ C不是锐角，则可能有两种情况：(1)

7、/ B=/ C= 90°/ B=/ C> 90°若/ B =/ C = 90° 则/ A + / B + / C> 180° 这与三角形内角和定理矛盾。若/ B =/ C>90° 贝U /A + / B + / C> 180° 这与三角形内角和定理矛盾。所以假设不能成立。故/ B、/ C必为锐角。本讲小结对于一个几何命题，当用直接法证比较困难或甚至不能证明时，则可采用简接证法，反证法就是一种最常见的间接证明方法、掌握并 运用好这种方法，对思维能力的提高大有裨益。所谓反证法，就是先假设命题的结论不成立，从结论的反

8、面入手,进行正确的逻辑推理，导致结果与已知学过的公理、定理，从而得 出结论的反面不成立，于是原结论成立。反证法证题的一般步骤是:(1) 反设：将结论的反面作为假设；(2) 归谬：由反设”出发，利用已学过的公理、定理，推出与已知 矛盾的结果；(3) 结论：由推出的矛盾判断反设”错误，从而肯定命题的结论正确。运用反证法”的关键:反证法的主要手段是从求证的结论的反面出发，导出矛盾的结果, 因此，如何导出矛盾，就成了使用反证法的关键。反证法”宜用于证明否定性命题、唯一性命题、至少”至多”PBV PC。APB >/ APC,求证:C60°命题和某些逆命题等，一般地说正难则反”凡是直接法很

9、难证明的命题都可考虑用反证法。课后作业1. 求证：在平面上，不存在这样的凸四边形ABCD，使 ABC、 BCD、 CDA、 DAB都是锐角三角形。2. 在 ABC中，AB = AC , P是内部一点且/C3. 求证：在一个三角形中，至少有一个内角大于或者等于4. 求证：在 ABC的BC边上任取一点 D、AC边上任意取一点 E,连结 AD、 BE,则AD和BE必定不能互相平分。c5. 已知 ABC为不等边三角形， AD丄BC于D点，求证：D点到AB、AC边的 距离必不相等。D参考答案:1证明：假设存在凸四边形 ABCD使ABC BCD CDAADAB都是锐角三角形。则/ A+/ B+/ C+/

10、D< 360 °。这与四边形ABCD中/ A+/ B+/ C+/ D= 360° 矛盾。故假设不能成立,所以原命题成立。2.证明：假设P联PC,即PB>PC或 PB=PC(1)当 PB>PC时（如图）在PBC中，可得< PCB>/ PBC A吐 AC/ ABC=/ ACB 从而/ ABP>/ ACP 在 BAP与 CAP 中 A吐 AC, A吐 AP, PB>PC / BAP>/ CAP 由和三角形内角和定理，可得/ APBc/APC这与已知/ APB>/APC相矛盾。C(2)当P吐PC时，在APB与APC中 A吐 AP

11、, B吐 CP AB= AC ABPAACP / APA/APC这与已知/ APB>/APC相矛盾,由(2)可知假设P舒PC不成立。故 PB>PGC3证明：不妨设三角形的三个内角为/ A、/ B/C假设/ A、/ B/C中设有一个大于或等于60°,则它们都小于60 °。即/AV 60°、/ BV 60°、/ CV 60° / A+/ B+/ CV 180°这与三角形内角和定理矛盾,这说明假设不成立。故/ A、/ B/C中至少有一个大于或等于 60°。4.证明：假设AD和BE互相平分于P点，则ABDE应是一个平行四边形。所以 AE/ EB 即 AC/ BC这与AC与 BC相交于C点矛