北京物资学院线性代数期末练习汇总

1、244第一章行列式、行列式的计算注意三种类型:1、数字行列式：如第7题，有两种方法（1）化为上三角形行列式；（2）利用行列式的性质先将某行（或某列）化为只剩一个非零元素，再按该行（或列） 展开降阶计算。2、行（列）和相等的行列式：如第 8题的（2）（3），先用归边法，再化为上（或）下三角形行列式。3、箭形行列式：如第8题的（4）（5），化为上（或）下三角形行列式。二、行列式的性质、克拉默法则要掌握。参加第16 题。t+3, -5。第1行元素的A -5C -20205、已知线性方程组汎 Xj +X2 +X3 = 0X1 +几X2 +X3 =0有非零解，则X1 +X2 + X3 =0几的值应为（A

2、. 1B. 1C. -1D. 0&齐次线性方程组卜 +2x2 +x3 = 02x1 +kX2=0有非零解的充分必要条件是（I X1 X2 中 X3 = 0A . k =2或k =3B. k =0或k =3Xyz3x3y3z1、已知3阶行列式123=2，则abcabc1+2a2+2b3+2ca112a123a13a11a12a132、若2a214a226a23=96，则a21a22a234a318a3212a33a31a32a333,2a11b1a11a12qa11a,23、设a22a21b2=1，a21a22C2=2，则a21a22a -Qa32a31b3a31a32C3a31a32D的值为四

3、阶行列式它的第1行元素为2， 3,91,4、余子式依次为-1，0，6，9，则t=（7、计算行列式D =1-34-631038、计算以下行列式(1)(4)-1-11x+1x_1-11X +11 +a1111 +2a1-2-2-2x1-12 +a22333 +a3-1-144 +aa210a301IHIHIHan00(5)INa -ba2a3a1a2 -ba3a1A+a2ra3 - b+a1pa2+a31 +a1a2 a3 IN-11 10川-1+0r1 IHp+-1r0 1h0 IHDD =IIIIIIIHIIIan00、求A的逆矩阵：方法第二章矩阵1,伴随矩阵法；方法2,初等行变换法;anan

4、anan - b两种方法都要掌握。二、解AX=B型矩阵方程：在该类型矩阵方程中，一般 A都可逆。方法1:先求A，再做乘积X = AB，从而求得X。方法2:初等变化法，(A B)-初等行T (E : AdB)，从而求得X.三、1、矩阵的运算及各种运算性质要掌握。2、方阵行列式的性质，逆矩阵、伴随矩阵的性质要掌握。3、矩阵的秩的定义及性质要掌握。、填空题1、2、设q则An =o 0已知n阶矩阵A满足矩阵方程A2 -2A-3E =0，则A E可逆，且3、设 A =-2 2 0，A*是A的伴随矩阵，贝U*A375”4、1 0 0(A-E)-1 =.A,B均为n阶矩阵，则(A -B)2 = A2-2AB

5、 +B2成立的充要条件是5、设A为5阶方阵，|A|=5，则I -2A|=，|A2|=6、设A、B均为三阶矩阵，且丨A I =3,丨B I = 3,则(3B)，A =7、1A,B 均为 3 阶矩阵，|A|= ,|B|=3，则 |2Bt| =28、A 均为 4 阶矩阵，AL1 , |3A-*-2A*|=29、1 0 -1 2L1，已知r(A)=2，贝则几=10、设A是4咒3的矩阵，且A的秩为2,而B =10L11103，则 r(AB) =、选择题1、设n阶矩阵A,B,C满足ABC = E，则必有 (B. CBA=EC. ACB = ED. BAC = E2、3、4、2A. (BA)=EB. a4=

6、BABC . B = ABAA, B均为n阶可逆矩阵，则下列各式成立的是(A. (AB )T= aTbT设A, B均为n阶方阵，且满足).B.AB = BAAB = O，则必有(A+|b| = 0A. A=O或B=O B . A + B=O C .45、A,B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（)A. I A+ B 1=1 A| + | B |B . (A+ B)/ = A -1 + B -1D . (A + B)T= aT+bT6 mxn矩阵A的秩为r的充分必要条件是（).A . A中有r阶子式不等于零B . A中有r+1阶子式全为零C. A中非零子式的最高阶数小于r+1 D . A中非零

7、子式的最高阶数等于r7、设A是秩为2的3咒4矩阵,P是3阶可逆矩阵，Q是4阶方阵且秩为4,若PAQ=B，则秩（B）=（8、下列结论正确的是（A . AB均为方阵，则(AB)kB . AB为n阶对角矩阵，则AB = BA ;A,B,C 满足 AB=AC，且 AHO，贝U B= C .三、计算题1、社矩阵A =2、设 A =-3-21J 2厂04012-11丿5、-2（1）判断A是否可逆，如果可逆，用 伴随矩阵法求A ；(2)设 AX =B，求 X .0-1-111-24-6236-93、已知A =11-272、449丿,求A的秩.四、证明题1、设A是n阶对称矩阵,B是n阶反对称矩阵，证明 A-B

8、2是对称矩阵.（可按定义证）2、设A为n阶可逆矩阵，且A2 =| A | E，证明A的伴随矩阵A = A .（按伴随矩阵的性质证）3、设A为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，证明：若 A2 = E，且A壬E ,则A+ E为非可逆矩阵.（可用反证法）4、35页第10题；44页第10、11题；61页第3题。第三章向量及方程组、掌握方程组有解判别定理，会判断，会求解。如第8题。、会判断一个向量组的线性关系（线性相关或线性无关）三、线性相关、线性无关的定义及性质要掌握理解。1x1 -X2 =a,1、线性方程组屜-X3 =a2有解的充分必要条件是1X3 - X1 = 332、设向量组 8 =(a,1,1)Ta

9、2 =(1,a,1)T,a3 =(1, 1,a)T，贝a =时,8。2,0 3线性相关.1宀2,3、设 W =(2, -1,3,0), 口2 = (1,2,0, -2), 5 = (1, 5,3,4), = (1,3,t,0)线性无关,4、向量组 S =(1,1,0)T 2 =(0,2,0)丁,4 =(0,0,3)T 线性5、若存在一组数kj = k2 =川=kn = 0，使得k1-10r371 101010113101010111111222丿(2)AX =B，A可逆，所以XB。丄I1o!-355V 35-5535丿3、r(A) =3。第三章向量及方程组1、a1+a2+a3=02 、一 1

10、或 23、t H -94 、无关3 =- 58、(1)当a-1hO时，即aHl时，r( A) h r( A)，原方程组无解。(2)当a-1=0,即a=1时，r(A)=r(A)=2 ,原方程组有解，且有无穷多组解,IX1 1 + k + k?，IX3 ：= k1，X4 = k2 一般解为严少-兆，(k1,k2为任意常数)9、解 方法一 令 P =Xr X2aX3为 + 2x2 = -1-为 + X2 + X3 = 0X2 +2X3 =33为 一 X2 + X3 = 6该方程组有唯一解X1 = 1, X2 = -1, X3 = 2，故P可由2, 口3唯一线性表示为1宀2,H2方法二因为怦1炉2 0

11、31-10L 3211-10I1II2II1I0T361000-2 I 03 41丨27丨1113910T0L0210010002 I 01 2I0 ； 1I0 0I13T20100001-io lo1120可见，r(O1,O2N3)=(1,0 2，3,P)=3，故P可由m线性表出，且10、解 方法一：利用定义判别设有数 k1,k2,k3使得+k2a2=0即有方程组K 中 k 2 + k 3= 0，K + 2k 2 + * 3=0出 +3k2 + tk 3=0此方程组的系数行列式(1)当 t 一 5 = 0 时，即 t = 5 时,方程组有非零解,所以口1 02,03线性相关。k ：= k2 ：= ks = 0， 所以 Ct 1, Ct 23(2)当t-5h0时，即tH5时，方程组仅有零