傅里叶变换经典ppt.

1、第4章快遠傅里叶变换(FFT)本章主要內彖基2FFT算法进一步城少运算量的描施4.1 引 T DFT聂信号分析与处理中的一科重要炙换。但直接计算DFT的计算童与变换区间長度N的平方成正比，古N轶大肘，计算董太丸，直撰用DFT算法进行谱分析和仿号的实对处.理是不切卖际的。-1965年发现了 DFT的一种快速算出，使DFT的运算 败率提离1_2个欽量圾，为数字信号止理技衣应用于各科億号的实时处理创it 了条件，推动了教字处理技术的发11。-1984年，提出了分殺基快速算法，使运算效率进一步提為；4.2基2FFT算滋长度为N的有限长序列x(n)的DFT% :考虑x(n)为复数序列 的一舰情况，对芷一

2、 个k值，A接按上式 计算X(k)值需要N次 复救乘法、(N)次复 敘加廉。思路i N点DFT的复乘次数等于N2。4C.N ADFT分解站几个4.2.1直接计算DFT的林点及城少运算量的基本逾&1 直按计算DFTN-IX(k) = Y 班小時,k=0丄,N 12,城少运算量的脛珞和方出较经的DFT,可使乘蚩次数大大减少。另外，殊转因子如N具有周期性和对称性O4.2基2FFT算滋分解N为较小值：把序列分鮮为几个轶短的序列，分别计算-tt-DFT值，可使乘法次救丈丸减少；利用分处無因手WJ的周期性、对称性进行合幷、归类丈理, 以减少DFT的运算次救。周期性：Wf =昭S对称性：= W；广&

3、quot;'W/丁 =必'3、FFT算出恩、想不斷地把长序列的DFT分解成几个短序列的DFT,幷利用淡转因子的周期性和对称性来城*DFT的运算次数。4.2基2FFT算t鸟4.2.2对城抽取法基2FFTjL本廉理阡T算出基本上分为两丸类：肘城抽取也FFT(简称DIT-FFT)和 頻城轴取主FFT(简称DIFFFT) <> 1,对城抽取由阡T的算出思想:将序刊x(n)按n为奇，偶数分为X(n)、XqS)两组序刊；用2 个N/2点DFT来兜成一个N ADFT的计算。没序fjx(n)的长度.为N,且满足：N =2“、 M为令熱教x,(r) = x(2rK(1) 按n的奇偶f

4、ex(n)分鮮为两个N/26的子序列r = 0J,-1.v,(r) = .v(2r + I)?4.2基2FFT算t鸟N/2-i=工=0jV/2-I=Er=«N/2Tr-0(2) 用N/2AX,(k)和X2(k)裹示序列x(n)的NDFT X(k)X(A) = X工 xn)W"傅/j=奇获N/27x(2r)W；'" +工 x(2/ + l)W：s“r=O小21 =工 r=<)Nf2-召(川临2+比 Z 亠(刀昭;严XM)+呛X2伙)注盘；这里的k的取值范ffl为0, 1,，N-1-N由于X|(k)和X2(k)均以N/2为周期，且=-W$ X(k)又可表

5、忌为：/这样将N点DFT分解为两个N /2点的X伙)=X|伙)+比：2伙)NA =()丄1IAZ2X伙+y)=X|伙)-呛X2伙)X&)-WJX2(l<)X2(k)图：蝶形运算符号对上式的运算用下图所示的流图符号来渉至X】*)+WjX2(k)XJk)成一个蝶形运算烤要' 一次复數乘和两次复救 如法运算，经过一次分 联后,共需要复致乘和 数加的次效为2fN/2)2+N/2 和 N2/24.2基2FFT算法X(4) X XX(7)X(0) X X XN/2X,(O)Xj(l)点DFTX|XQ)"X/0)N/2xTiT*AUH 1X,2),X?x(0) X xS) X

6、x(1) X X x(7)N = 8点的DIT-2FFT(对城抽取03)次分解图X(Jt) = X|伙)+ 航*2 伙)Jt = O,L- -IX(k+再) = Xi 伙)一 WfX'R) R =0,1.#-14.2基2FFT算滋（3）第二次分曙： 将Xi（rj按取奇.偶可分鮮成2个长夂为N/4的子序列X3（l）=勺（21）、1=0,1,., N/4-1；乂4（1）=为+1）,垠据上面推导可得：X （k）= XsB+XX/zJXqfk），k=0,l.N/2-1 r X （k） = Xm（k）+WN/2k-X4（k）, k=0,b,.,N/4-b 1 X （k+N/2） = X3（l）X

7、/n/JX4（I）, k=0J，.N/4-1 ； 49-X2（r）按I取奇，偶可分鮮成2个长N/4的子序列 X5（I）= X2（2I） ,1=0,1,.-., N/4xG） = X2（2I+1） j 同理得f X2（k） = X5（k）+WNjX6（k）,k=0,lN/4-1 ；i X/k+N/2） = X5（k）-WNX6（k） k=0J.N/4-boW>«）k=0JN/4-1 ；N = 8.i DFT的二次时城轴取分解图J X, （k） = X3（k）+WN/.Xf）J X/k） = X5（k）+WNX6（k）Xj （k+N/2） = X3k）X2（k+Z心=Xfk）-4.

8、2基2FFT算滋再次分解，对N = 8点.Xm(O)XQX/O)XQwL=3X x(6)XXX XX©)XXx(7)x(l) Xx(0) x(4)WJL=1级可分解三次。x,0)Z2X&XzX?X2(1)X5X|M/2X|(3XsfO)X2(0)X6(0)L=2N = 8ADIT-FFT运算流图4.2基2FFT算滋x(0)X(O)wL=3X(4)XXx(6)XXXX(7)x(1) Xx(3) x(7) x(0) Xwy L=1级0WnN°L=2N = 8点DITFFT运算浇谢4.2基2FFT算滋4.2基2FFT算水4.2.3 DIT-FFT算法与直接计算DFT运算量

9、的比较k直按DFT运算N点运算:复敷41次敷：NXN复救加次救：NX(NJ)2.用DIT-FFT作N$运算:复敌采次做：MX N/2 = N/2 X log2N ；a个运算流®中、 有M级蝶形，每 一级运算流图中 有Z/2个蝶形， 每个蝶形需一次 复乘和两次复数复加次救： 2 XN/2XM= NXiogzN丿可见FFTAA减少了运算次救，提疡了运算速度。4.2基2FFT算水424 DIT-FFT的运算规律及偏程®想序列长为Z=2M点的FFT.有M级蝶形，每级有N/2个蝶形运算。同一级中，毎个蝶形的两个输人救膽只对本蝶形有用，每 个蝶形的输入、输出数据节点盛用一条氷平线上。这

10、样，吿计 算兜一个螺形后，所得的输出数据可立即存入原输入数据浙占 用的存赭单元。经过M级运算后，虑来存放输入疗列救据的N个 存緒单无中可很次存放X(k)的N金值。原住计算：啊用同一存統单尢存綺螺形计算输入输出数据的方法。优点：节约存佶空间、吟低锻备成本。2.炭转因子的变化规律NADIT-FFT运算浇图中，每个嫦形都要采以炎聘因子)("川P 称为逢转因子的才&救。N = 8 =23 各级的逢转因子J=0J=OJJ=0J23第一级：L=l,有1个族J转因子i WnP=Wz/J=W2l第二级：L=2,有2个炎转因子：Wz心Wn/=X/2l 第三奴：L=3,有4个淡转因子：wy =X

11、/2l对fNrZM的一般情况，第L级共有2-1个不同的族转因子： W%J=0J.223_12L =2L-m.2M = nQL-M,JjqM-L址 WP =W2lJ =Wn.2L-M = W 驚p=JX2WL, j = 0J,223-1按肢上面两式可以确定第级运算的炎耐因子。4.2基2FFT算滋同一级中，同41因子对应蝶形数0第L级FFT运算中，同一灌转因子用应23L个蝶形中；同一级中，蝶形运算使用柏同我转因孑之间柏隔的“距震” 第L级中，嫦距：D=2L。同一蝶形运算两输入敷据的距禽虚输入使序，输出虑金的FFT麦换中，第L级的每一个蝶形 的2个綸入数据柑距：B = 2L-i。3,4.5.6. 码

12、住颠倒输入厚列x(n)经过M级肘城奇，傷抽遶后，输出序列X(k)的顺序和输入序列的顺序关糸为例住关糸.4.2基2FFT算滋7. 蝶形运算的规律应用原位计算，蝶形运算可表示成妇下Xl(J)= Xl-Q+WnAX" (J+B)序列经过时城抽递后，存入数组中，如黑嫦形运算的两个 输入数据和距B个点， 彤式.：Xl(J)=X3(J)X/nPXlj(J+B)P=JX2SL,J=0J,22" 14.2基2FFT算水7F 4fi*I&Aam). a/yt"I M:7=0 jj-1：Ip 二；Vik = J .N-i , 2W XMH X(A + ”吆X<A* Wl

13、= X(*)- XU * W>W/ , I / 愉 ft! 7(M JS8, DIT-FFT程序柜图根itDlT-FFT序.rt和述, DIT-FFT的丸jt«声机® 包标以下几部分：倒易：綸入自然顺4列x(n),根据倒厚规 律，进行例堤处.理；(2)循环屢1：确走运算的级菠，L=UM (Z = 2M)；确X-嫦形用输入叙据館為B = 2Li 猶环层2:确走Lfi.的(B = )2L】个從转因孑 ；疵辖因子福救p=2Mlj, J = OB-1 :(4) 循环层3：对子同一谶L需因孑.用子同一 级2ML个媒形运算中；k的取值从J到N-1,步 长为0 (使刚冏一旋斗专因子

14、的嫌形相距的距青)(5) 兜成一个螺形运算。4.2基2FFT算t鸟9.序刊的倒序N = 2叫 用M住二 进制 数(g Em 2门小2表示序列的序号mM次偶奇肘城抽选过程为：对最低佞按0、1分为偶、奇两组, 次低位也按0、1分殂，傢此类推，倒4 a)234567(XX)001010()11 l(X)I0I110111M次分解后形成例厚03% : 倒序后000100010(门 2叩0)2 110 001101011111二邁创負(Z=8)分解例序C30426可见.只要 将毗序黄的 二进创住例 i可得到对 应的二逡制 例序值O4.2基2FFT算t鸟思考題：已知Z = 166,在DIT-FFT运算中，

15、序数为2的二进制经数倒序后为多少？ (0010->0100)顺序和側序二釵对照表4.2基2FFT算法側序it的十进*1运算现律N=2M,用M位二吐制釵 袅示，flj从左i.>右的 十A制权值为：N十吐钢救值J>, N八三>N/2? YN/2. N/4. N/82J对倒序4LI >其下一个序 敘是A谅序做的二进制 看住码加1,柏古于十进 制运算J+N/2 C,N N 八亍I J=JN/2 IJ>N/2MJ>N/4Y计算机上側序救的实现 过税为：NY 结束 ,N 八2'f4.2基2FFT算法使序程序Ai图为丁实现廉住运算，以羊约存壮空呵，捉高运算遠

16、丰。在 倒厚做J形成后，需将廉存儲春*存放的输入序列4新排刊。 下面丸分析N = 8点的例序规律。x(0) A(0)A(0) x(0)Ax(4)X A (2)x(4) Ax(5) A (5)X Ax(3) A (3)A x(l)A7)AQ) xQ) 分析上EgNn点例序规律，顺序救1与例序做J存农关余： -i =.不交换；T<J时，K换存僑甕内哀。 1> Jftf,不交换，盒按更斛序做诡;心A (7)x(7) 04.2.5 频城抽取法FFTDIF-FFT)应基2快速算法中，频城抽取法PPT也是一种用的快速算空。 L算出忍憩和运算过程沒序列x(n)长度.为N=2叫 将序?Jx(n)1

17、t后对半分为Xi(n)、X2(n)两组序列，«2个N/2盘DFT采尧成一个N A DFT的计算。Ni27N-X(斤)=QF7VS) =«=(»N/2-Nf2-=z xs)wy+ X/i=G«=0N t2-xs)wy' = £ xn)W + £ n-02Nt21,k=«裂一 I2=22 M2)+昭5xs+仪)卩片也fJ(T)2将X(k)分解成偶数俎与奇數组，劣k取偶教(k=2r.r=0JZ/21)肘NZN4 NZ2X (2r)=艺【x()+x(«+)|W："= V lx(n) + x(n+)阿川n-

18、n2粽 2- Nf2ik 取斗如 k=2r+1=01N/2J)财：、心NX(2小)=Z 1心)-心+亍必"；龙匚汇5+约收昭;2"n=02将X, (n)和勺(n)分别代入上式,N 12 C X(2厂)=X)叽<n-QLNf2X(2厂t 1)= X榔小咋2n-u可得表阴：X(k)檢奇k值分笛两殂: 網 It 殂聂X (n)的 N/2 ADFT 奇放俎走X2 (n)的N/2 ADFTn=OJN/2-1那么对序列x,(n), X2(n)和x(n)可用螺形运算符号表示 X (n)X (n) =x(n)+xn+N/2)x(n+N/2) M n X2(n) = x(n)-x(n+

19、N/2)-WNWnDIF-FFT螳形运算邊関苻暑N=8时第1次分譽的运算沆图x(0)x(1)Xx(3)Wnx,(0)二 X2(0)1-勺N/2ADPT ，< 1 *X21I X2*1冷0N/2点 DFT；X (0):* X (2): :X； -X (6)/ 产汽 ' X (1) X:IX X(7/4.2基2FFT算t鸟N=2M, N/2仍聂偶数，堆将2/2点进行分解。桥綸入厚列x"),X2(n)分别按話、后对半分解成4个长N/4的子序列，其20.，N/4-1J- Xjfn) = X|(n) +X(n+N/4)r X5(n)= Xjfn)+ X2(n+N/4)t x/n)

20、 = x,(n)-x/n+N/4)' gn)=凶-勺叶“/幼 囲DIF-FFT二次分解适算浇图fN=8)v<o)X(4)X(2) XX(I)X(s)X(3)X(7).1(0)t<l)a(2)-43)M4)MS) N x(7)11/ ilz I/4 5 6 7 /I /I, zl zl' X X X XJ* 1/ ilz 11/0 0 2 3 zlX X X X4.2基2FFT算t鸟经过三次分聲后，DIF-FFT运算流阕(N = 8)为：4.2基2FFT算弘2. DIF-FFT运算规律DIF-FFT算法也可釆用盘鱼计算；N=2M对，共冇Mfll运算,号«.共

21、有N/2个堆形，DIT与DIF算决的运鼻次Jk柑同。D1T与DIF不同的是: DIFFFT弹出綸入序列为旬侏序列输出例声含列。0此.石Mfil运 算老成后，需对输出救据UL行创序才能得列勺撚顺序钓X(k)。 螺形运墓爸号不同：DITFFT嫦形是丸相乘，后加/減,；而DIF-PFT嫦形 是丸如/减.后和乘OX,(k)X】(k)+WjX2(k)XjWWJX|(k)WjX2(k)DIT-FFT形运算苻号x(n)X|(n)=X (n) +x (n+N/2)X (n+N/2) WJX3(n) = x(n)-x(n+N /2)3(DIFFFT«形运算减图再号4.2基2FFT算弘3.其它形式的DI

22、TFFT运算渝图通过敌i输入/输岀*点中间节点的2*列顺声可以得刑不同变形的FFT运 算流田。因此，前血介绍的DIT-FFT和DIF阡T运算不是唯一的 綸入序刊x(0)XXXx(4)x(5)Xx(7)0XJl)Xed)00 NUQlX4(0)Xjx,o)0"N00Xi (2)綸出序刃釈(0)釈釈釈x,(i)N1(3)X2NDITFFT的一种4形运耳流S3 r输入顺序.输出例序丿釈 釈 釈用同样的方變可得DITFFT的另外一种变形运算沆Sb綸入 和綸出均为顺糜桃刊.但不能采用廉位计算。 X0)a(D) >a(7) wDIT FFT的一科 i形i算iL®a(4> a(5).v(6)A(l) a(2> x(3) X(l X(2) X(3) W) X(5>X(6)第4韋快速傅里叶雯换(FFT) X4.2.6 IDFT的壽效算法1. DFT和IDFT的公瓦比较上述FFT算比流图也可以用于禽散傅里叶逆变换1DFTN-lX(k )=DFTm| = Wzt-O.V-Ix(/o = /£>Fnx(k)=X xa)w/N R 二o抿据运算公比可以看出，只需将DFT的余致Wjn支为Wn叽 最后结黑采以1/N,就是IDFT的运算公丸。第4章快遠傅里叶变换(FFT)2 用FFT流图卖现IDFT快速算法将D1TFFT或DIF阡T蝶形运算流图中