北京市西城区2016届高三数学二模考试试题文

1、北京市西城区 2016 年高三二模试卷数 学（文科）2016.5第 I 卷（选择题共 40 分）、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.设全集U -R，集合A = x | x . 0,B = x | x：1，则集合（巳A）B二（(B)2.3.4.(C)(1,(D)1,F列函数中，既是奇函数又在R上单调递减的是（(A) y =丄x(C) y -x3设x,y满足约束条件4(A)-3(C)4(B)(D)-x二e产 2x,x y 0,(D) 1(A)i 3开始，I(B)i 4i =2, S =1(C)i 51 s=s 江口(D)i n

2、 0”是“曲线mx2+ ny2= 1为焦点在x轴上的椭圆”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件7.某市家庭煤气的使用量x（ ml）和煤气费 f（x）（元）满足关系f（x）=C0A,已知某）?C+ B（x- A）, xA家庭今年前三个月的煤气费如下表:月份用气量煤气费一月份4 m34 元二月份25 m314 元三月份35 m319 元若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为（）(A) 11.5 元(B) 11 元(C) 10.5 元(D) 10 元8.设直线 I : 3x+ 4y+ a= 0，圆 C: （x- 2）2+ y2= 2，

3、若在直线 l 上存在一点M使得过M的圆C的(A)- 18,6(B)6 - 5、2,6+ 5 2(C) - 16,4(D) - 6- 5、2,- 6+ 5.2切线 MP , MQ （ P,Q 为切点）满足？PMQ 90o，则a的取值范围是（）第n卷（非选择题 共 110 分）34二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9.已知复数 z=(2_i)(1+i)，则在复平面内，z对应点的坐标为 _10. 设平面向量a, b满足| a|=| b|=2，a (a+b)=7，则向量a, b夹角的余弦值为 _11. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为 _ .12设双曲线C的

4、焦点在x轴上，渐近线方程为 y = ?x，则其离心率为；若点(4,2)在C上,2则双曲线C的方程为 _.,2広x 1,2-则实数k的取值范围是_ .14. 在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优.若 A 电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B 电影，则称 A 电影不亚于 B 电影已知共有 5 部微电影参展，如果某部电影不亚于其他4 部，就称此部电影为优秀影片.那么在这 5 部微电影中，最多可能有 _ 部优秀影片.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分 13 分)

5、已知函数f(x) =(1、3tanx)cos2x.(I)求函数 f (x)的定义域和最小正周期；(n)当 x(0,n)时，求函数 f(x)的值域.16.(本小题满分 13 分)已知数列an的前 n 项和 S 满足 4an-3S =2，其中 n. N ”.(I)求证：数列an为等比数列；1正(主)视图L 1 T侧(左)视图俯视图5(n)设bnan-4n，求数列bn的前n项和 .217.(本小题满分 14 分)如图，在周长为 8 的矩形 ABCD 中，巳F分别为BC,DA的中点.将矩形 ABCD 沿着线段EF折起，使得DFA =60：.设 G 为AF上一点，且满足 CF/平面 BDG .(I)求证

6、：EF _ DG;(n)求证：G为线段AF的中点；(川)求线段 CG 长度的最小值.18.(本小题满分 13 分)某中学有初中学生 1800 人，高中学生 1200 人为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层GE6抽样的方法，从中抽取了100 名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间(单位：小时)分为 5 组：0,10) , 10,20) , 20,30)，30,40)，40,50，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图(n)试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30 个小时的学生人数;(川)从阅读时间不足 10 个小时的样本学生中

7、随机抽取2 人，求至少抽到 1 名高中生的概率19.(本小题满分 13 分)x_a已知函数 f(X)2.(x+a)(I)若 f (a) =1，求a的值;(n)设 a 0,若对于定义域内的任意x,，总存在 X2使得 f (xJ：f (xj，求a的取值范围20.(本小题满分 14 分)2已知抛物线C:x =4y，过点 P(0,m)(m 0)的动直线I与C相交于 A, B 两点，抛物线C在点A和点B处的切线相交于点Q,直线 AQ,BQ 与x轴分别相交于点 E, F .(I)写出抛物线C的焦点坐标和准线方程；(n)求证：点Q在直线 y 二-m 上;(川)判断是否存在点P,使得四边形 PEQF 为矩形？

8、若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由(I)写出a的值;初中生组高中生组7北京市西城 区 2016 年高三二模试卷参考答案及评分标准高三数学(文科)2016.5一、选择题:本大题共28 小题，每小题 5 分，共 40 分.1. B.C3.B4.C5. B6.D7.A8.C_ 、 填空题: 本大题共6 小题,每小题 5 分,共 30 分.9.(3,1)103411.312.至2x2y=128413.12G，=)14.5注:第 12,13 题第一 冋 2 分， 第二问 3 分.三、 解答题: 本大题共6 小题,共 80 分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分15.(本小题满分 13 分)(I

9、)解：函数f(x)的定义域为x|x 乏 R，且亍,k Z . 2 分又因为f (x) =(1 r. 3tanx)cos2x=(1.3Sinx)cos2xcosx=cos2x3sin xcos x=sin(2 x -)1,6 22 %所以 f(x)的最小正周期为T=J=n(验证知其定义域与之相符) . 10 分2(H)解：由 x (0,n,得n: 2x -n7n，.11 分2 6 6 61n所以 si n(2x ) 2 时，4an丄 一 3&=2 ,由 d ，得4an_4an丄-3(Si - S 丄)=0,所以故an是首项为 2,公比为 4 的等比数列.(n)解：由(I),得an=2 4

10、n-1n 1所以bn=2% 4n=44n则bn的前n项和 Tn=(404) (41-8) 111 (4nA-4 n)=(441|H 4n丄)(4 8 III 4n)1 4nn(44n)1-4 _4n-122n2-2n . 317.(本小题满分 14 分)(I)证明：因为在折起前的矩形 ABCD 中，E, F分别为BC,DA的中点,所以EF _ FD,EF _ FA,又因为FDFA二F,所以EF平面DFA. 2 分又因为DG平面DFA,所以EF _DG. 4 分(n)证明：因为在折起前的矩形 ABCD 中，E, F分别为BC, DA的中点，所以在立体图中，AB/EF/CD .即在立体图中，四边形

11、 ABCD 为平行四边形连接 AC，设ACP|BD=0，贝UAO =CO. 6 分由 ai=2，得 an=0 ,所以电=4，其中n2.an丄10 分13 分10又因为 CF平面 BDG , CF 二平面 ACF，平面ACF门平面 BDG = OG ,8 分11所以 CF/OG ,所以在.ACF 中，OG 为中位线,即G为线段AF的中点.(川)解：因为G为线段AF的中点，.DFA =60 所以DFA为等边三角形，且 DG _FA , 又因为 EF _ DG ,EF门FA =F,所以 DG _平面ABEF.设BE的中点为H，连接GH,CH，易得四边形 DGHC 为平行四边形，所以 CH 平面ABE

12、F,所以CG2=GH2CH2.11 分设DF = x，由题意得CH= DGx, GH=CD=4_2x ,2所以线段 CG 长度的最小值为4旦.1918.(本小题满分 13 分)(I)解:a =0.03. 3 分(n)解：由分层抽样，知抽取的初中生有60 名，高中生有 40 名.4 分因为初中生中，阅读时间不小于 30 个小时的学生频率为(0.02 0.005) 10 =0.25, 所以所有的初中生中，阅读时间不小于30 个小时的学生约有 0.25 1800 =450 人，.6 分同理，高中生中，阅读时间不小于30 个小时的学生频率为(0.03 0.005) 10=0.35，学生人数约有 0.3

13、5 1200 =420 人.30 个小时的学生人数约有 450 420 = 870 人.所以 CG2=(4 -2x)2-x)2-19x2-16x 16，413 分所以当x二32时,19CG2min481914 分所以该校所有学生中，阅读时间不小于1210 分记这 3 名初中生为A,A2,AB，这 2 名高中生为 B1,B2，则从阅读时间不足 10 个小时的样本学生中随机抽取2 人，所有可能结果有 10 种，即: (A, A)， (A,A3)，(A,B1)，(A,B2)，(A2,A3)，(A,B1)，(A2,B2)，(AB,B1)，(乓月2)，(B，而事件 A 的结果有 7 种，它们是(A1,B

14、)，(A,B2)，(A2,B)，(A2,B2)，(A3,B1)，(AB,B2)，但1月2),所以 M 哈.13分19.(本小题满分 13 分)(I)证明：函数 y = f (x)的定义域 D =x | x R 且 x -a,由题意，f (a)有意义，所以 a =0.2(x a) _(x -a) 2(x a)(x+a)41解得a二 -.2(n)解：“对于定义域内的任意X1，总存在 X2使得 f(X2):：f(X1)”等价于“f (x)不存在最小值”.6 分当 a = 0 时，1由f(x)=，得f (x)无最小值，符合题意.8 分x当 a：0 时,(川)解：记“从阅读时间不足10 个小时的样本学生

15、中随机抽取2 人，至少抽到 1名高中生”为事初中生中，阅读时间不足10 个小时的学生频率为0.005 10=0.05，样本人数为0.05 60 =3 人.高中生中，阅读时间不足10 个小时的学生频率为 0.005 10 =0.05，样本人数为0.05 40 =2 人.(x a) (x - 3a)(x+a)4求导，得4a2所以fT14a2令f (x)二(x a) (x3a)(x+a)4=0，得x-a或13随着x的变化时，f (x)与f (x)的变化情况如下表:14X(-o,3a)3a(3a, -a)-a（_a,范）f (x)0+不存在f (X)极小/不存在.11 分所以函数 f（x）的单调递减区

16、间为（-：,3a）,（-a,；），单调递增区间为（3a,-a）.r,、X-ac因为当X a时，f（x）20，当X: a时，f（X）. 0,（x +a）所以 f（X）min= f （3a）.所以当 X!=3a 时，不存在 X2使得 f（X2）：: f （Xi）.综上所述，a的取值范围为 a0. 13 分20.（本小题满分 14 分）（I）解：焦点坐标为（0,1），准线方程为y =-1.2 分（H）证明：由题意，知直线I的斜率存在，故设I的方程为y =kX m.1 y = kx m,2由方程组目2得 x2-4kx-4m=0,I x =4y,由题意，得=16k216m 0.设A（X1,yJ,B（X2

17、,y2）, 则Xt+x2=4k,XtX2= 4m ,.4 分1c1由抛物线方程X2=4y，得 yx2，所以y X,42121所以抛物线在点 A 处的切线方程为 y - - Xt=xx-xj ,42化简，得 y =1x1X - - X,24同理，抛物线在点B处的切线方程为y=x2x丄冷2.念. 6分2242联立方程，得1x1x1x12=1x2x1X22,242411即一（X1X2）X（X1-X2）（X1X2）,24151因为X1= X2，所以 x =2（石-X2）,16代入 C1，得 丫二1% =-m , 所以点 Q(勺产，-m)，即Q(2k, -m).所以点Q在直线y = m上.8分(川)解：假设存在点 P,使得四边形 PEQF 为矩形，由四边形 PEQF 为矩形，得EQ _FQ，即AQ _ BQ，1 1所以kAQkBQ 1-1，即一XiX2= -1