双曲线方程与性质教案1

1、双曲线方程与性质教案 1教学目的(1)使学生掌握双曲线的定义、方程和性质;(2)在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力.教学过程、复习(1)椭圆定义是什么?(2)椭圆的标准方程是什么?(学生口述，教师板书.)二、新课把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离之差”，那么点的轨迹会 怎样？它的方程是怎样的呢？激发学生求知欲望.我们来看一下简单的实验:(边画、边操作、边说明.)如图1,定点Fi、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条线分别拴 在按钉上且穿过套管，点 M移动时，IMF1| - |MF2|是常数，这样就画出曲 线的一个分支，由|MF2| - |MF1|是同一常数

2、，可以画出另一个分支.注意：|MFi| - |MF2|的绝对值要小于|FiF2|，否则作不出图形.这个曲线就叫做双曲线.我们能否说出双曲线定义？这里有几个问 题先考虑一下：（1）定点Fi、F2与动点M不在一个平面上，能不能得出双曲线?（回答是否定的.）观察图形，|MFi|、|MF2|哪个大?（回答是不定，当点 M在双曲线右支时，|MFi | > |MF2| ；当点M在双 曲线左支时，|MFi| < |MF2| .）点M与点（回答是未必,Fi、F2距离差是否就是|MFi| - |MF2| ?也可以是|MF2| - |MFi| .正确表示是|MFi| - |MF2| .)点M与点Fi、

3、F2的距离之差是否会大于|FiF2| ?（回答是应小于|F iF2| .）在上述基础上，引导学生概括出双曲线定义:平面内与两个定点Fi、F2的距离的差的绝对值是常数（小于|FiF2|）的 点的轨迹叫做双曲线.随即指出：这两个定点 Fi、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的 距离叫做焦距；双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记.现在来研究双曲线的方程.我们可以参照求椭圆的方程的方法来求 双曲线的方程.首先建立直角坐标系，即以两定点连线为x轴，两定点的垂直平分线为y轴.然后，观察双曲线（图2）的特征，猜测双曲线方 程的结构与椭圆方程的结构是否有类似处？弓I出量2a、2c, |FiF2| =

4、2c.把点M移动到x上的点 A、A处，可 以看出|AiA2| = |FiF2| - |FiA| |F2A2| = |FiF2| 2|F2A2|=|FiA2| |F2A2| = 2a,所以Ai、a的坐标是(一a, 0)和(a , 0).把同学们观察的结果归纳成:(1)双曲线与x轴相交于两点 Ai( a, 0)、A(a , 0),与y轴不相交;(2) 曲线关于X、y轴都对称;随点M移动，点M的坐标(X , y)的绝对值同时增加(或减少).根据上面的性质，对照椭圆定义及其方程，设想出双曲线方程的形 式.由可猜得方程变数只含有平方项与常数项，由可以猜得恼I聲即有2 3 2a" b可能与-由可

5、以猜得冷-7 形式上与舊圆相类似.这个方程的结构虽然可以反映出上述三个归纳出来的特征，但设想 出来的结论是否可靠，需要在理论上加以证明.下面进行推导，以证明 设想的正确性.由定义可知，双曲线就是集合P= M| |MFi| - |MF2| =± 2a.将这个方程移项，两边平方，得37十3十-37十537+i+-1v>+(x + i;)2 +y卫=4/ 士 4a J(x- u)，+b + (x - c) +护化简得X - J i+ 7两边再平方，整理得“22、 2 2 2 2 2 2、(c a )x ay = a (c a ).（以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导.由双曲线定义，2

6、c>2a，即c>a，所以c a >0.设C2 a2= b2（b > 0），代入上式，得bx也就是这证明我们的设想是对的.以上推导是可逆的，由曲线与方程关系 来衡量，可以确信这就是双曲线的方程.我们把它叫做双曲线的标准方 程./o4求得双曲线的方程后，可结合图形再一次理解 特别注意c2= a2+ b2与椭圆中a2 = b2 + c的不同处, 一样，如果双曲线的焦点在y轴上（图3）,焦点是 只要将方程的x、y互换就可以得到它的方程a、c的几何意义， 并指出：与椭圆方程Fi（0 , C）、F2（O , C）,这个方程也是双曲线的标准方程.我们一起把学过的椭圆与双曲线 作一比较

7、便于更好记住它们的方程与性质.方程 图形 宦义椭矗2 2 十 731a bIMFiHIMFI=3ajjg曲线J b''IMFil-m=士 3ay 4F范围对称 性a> c> 0呂（bAQ）|z|疼 a, |yWbJEz换成一盘，或把y换成一y 或把X、y同时换成一 Ky时方程 不变图总关于坐标轴对称，也关于瘵 点中心对称0<a< C戶一只=( b> 0 )同左顶点Ca, 0). ( a, 0 ) » < 0 f b) , CD* t )（让学生回答，教师引导、启发与订正并板书.）三、练习（口答.）+ , 1与双曲线宀15宀1啲焦点相

8、同.2.已知两点F（ 5, 0）、F2（5 , 0），求与它们的距离的差的绝对值 是6的点的轨迹方程.如果把这里的数字 6改为12,其他条件不变，会 出现什么情况？3求已知焦点Fi（0 , 3）、F2（O , 3），且2a = 4的双曲线的标准方 程.四、布置作业课本习题：略预习：1阅读教材中双曲线的几何性质4（渐近线）与性质 5（离心率 ）2.推出|MQ|（此为双曲线上任一点到渐近线的距离，见教材）的表达式，以此再重新研究双曲线与渐近线的关系（从以上两题可以明确量 b的几何意义，由此对方程的理解可以深入 步 ）教案说明（1）双曲线的定义、方程与性质的教学通常是分开讲解的，本节 （包 括课内外

9、 ） 是集中处理的.我的想法是它们构成一个比较完整的知识系 统，集中研究能使学生在一开始就能看到系统知识的全貌，理解各个知 识在系统中的地位和互相关系，这样理解就更深刻些、全面些，尤其 和b对双曲线形状的决定作用，这些都是全面理解方程所不可缺少的.（2） 集中处理系统的基本知识也是双基训练的一种形式， 是巩固基本 知识较好的方法.从记忆方面来讲，集中系统的记忆知识，比孤立各个 记忆知识要好.因为从一个知识容易联想另一个有关知识，互相补充和 完善.学生进入新的知识领域时就可以用分解和组合的 或者灵活地解决本知识系统中更难的问题.如以 到180°变化时，曲线X2+y2cosa= 1怎样变

10、化” a的值进行分类，再组成各种曲线.（3）本节对定义和方程的分解合成方法， 是把一个知识分解成更小的 知识，弄清它们的含义和互相关系，再组成一个完整概念，这是掌握知 识系统的一种方法.这不仅能够掌握知识本身，而且能培养学生灵活运 用知识和创新的能力. 方法去定义新的概念， 后遇到“当 a 从 0° 这类问题，就能够把（4） 本教案注意发挥类比和设想的作用学生在思考中有自己的特 点，只要思考得合理，这不仅是允许的，而且应当鼓励因为一些异常 的思路可能是将来发明创造的预兆因此，不能把学生的思考都纳入教 师预先设计的轨道不然，长此下去有使学生的思维僵化的危险在研 究双曲线性质方面，学生的研究方法和内容都不尽一致，我们只归纳一 些共同点，而保留不同点在作业中，列表对比双曲线与椭圆，也不规 定统一内容， 由学生自己决定 （当然下节课要做讲评 ） 由于学生受知识、 能力、经验等限制，也